Câu 2 xét hàm $g(x)=f(f(x))=\frac{2x^{2}+4x+2}{x^{2}+2x+5}$ Xét tính đơn điệu hàm $g$

Chia dãy $x_{n}$ thành $2$ dãy chẵn và dãy lẻ với các số hạng đầu là $0$ và $2$. Từ tính đơn điệu hàm $g$ ta có dãy chẵn tăng và chặn trên bởi $1$ (quy nạp)

Tương tự dãy lẻ giảm và chặn dưới bởi $1$. Và cả $2$ dãy này đều có giới hạn $1$ suy ra giới hạn của $x_{n}$ là $1$

chứng minh quy nạp được $u_{n}$ thuộc đoạn $[0,2]$. Xét 2 dãy $a_{n},b{n}$ như sau:

$a_{1}=0, a_{n}=\frac{a_{n}+1}{3-\sqrt{u_{n-1}}}$

$b_{1}=2, b_{n}=\frac{b_{n}+1}{3-\sqrt{u_{n-1}}}$ 

2 dãy này đều có giới hạn bằng $1$ 

từ đây chứng minh được quy nạp $a_{n} \leq min{u_{2n},u_{2n+1}}$ , $b_{n} \geq max{u_{2n},u_{2n+1}}$. theo nguyên lí kẹp thì giới hạn của dãy $u_{2n}$, $u_{2n+1}$ bằng $1$ suy ra giới hạn của $u_{n}$ là $1$..

$f,g$ bất khả quy nên chúng nguyên tố cùng nhau trên $Z$ giả sử chúng phân biệt thì tồn tại các đa thức $P,Q$ hệ số nguyên và số nguyên $a$ khác 0 sao cho:

$f.P+g.Q=a$ với mọi $n$ theo định lí $Bezout$. Gọi $p$ là ước của $f,g$ suy ra $p$ ước của $a$ mà theo định lí $schur$ thì tập ước nguyên tố của đa thức $f$ là vô hạn nên suy ra $a$ có vô hạn ươc nguyên tố (vô lí vì $a$ khác 0). Đpcm

Xét đa thức $H(x)=-e^{x}P(x)$ có $n$ nghiệm dương phân biệt do $P(x)$ có $n$ nghiệm dương suy ra $H'(x)=e^{x}(P(x)-P'(x))$ có ít nhất $n-1$ nghiệm dương theo $Rolle$ suy ra đa thức $P(x)-P'(x)$ có ít nhất $n-1$ nghiệm dương.

Đến đây chỉ ra thêm $1$ như cách giải trên nữa là được.

Sử dụng tính chất: phương trình hàm đa thức $P(f).P(g)=P(h)$, $deg f+deg g=deg h$ với mỗi $n$ nguyên dương trình thì tồn tại nhiều nhất $1$ đa thức bậc $n$ thỏa mãn phương trình trên. Tính chất 2: Nếu P(x) là đa thức thỏa mãn thì $P(x)^{n}$ cũng vậy, tính chất này suy ra từ việc nếu P,Q thỏa mãn thì $PQ$ cũng vậy. Với $n=1$ thì phương trình thỏa mãn là $P(x)=2x+3$ suy ra các đa thức thỏa mãn là $(2x+3)^{n}$

Bài 2: Giả sử phương trình $x^{2}+x+1=0$ có nghiệm phức $r$ ta chứng minh $(r+1)^{n}+r^{n}+1=0$

Mà $(r+1)^{n}+r^{n}+1=r^{2n}+r^{n}+1$ Bây h chứng minh đa thức $x^{2n}+x^{n}+1$ chia hết $x^{2}+x+1$. Đến đây xét $modulo 3$ của n ta nhóm hạng tử $x^{3}-1$ là bài toán giải quyết xong.

Lời giải bài 14 https://diendantoanh...ông-góc-với-hn/

Đây là lời giải của 1 đứa bạn sử dụng tam giác đồng dạng và tứ giác nội tiếp đơn thuần, hồi lớp 9 cũng nghĩ lâu phết nhưng không ra bây giờ thử cách khác xem sao.  

Lời giải bài 9  Đây là được coi là $1$ bổ đề cơ bản của đường đối trung. Chứng minh:

Kẻ $GM,GN$ vuông góc với$AB,AC$ thì ta cần chứng minh $\frac{AB}{AC}=\frac{d(G,AB)}{d(G,AC)}=\frac{GM}{GN}$. Mặt khác ta có tam giác $EBG$ đồng dạng tam giác $CFG$ (g.g) nên $2$ đường cao tương ứng có tỉ lệ bằng $\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{AC}$. Ta có điều phải chứng minh.

Liên quan đến đường đối trung thì mình sẽ đề suất tiếp $1$ bài cũng về đối trung.

Bài 10. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn $(O)$ và $(I)$.$(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $(ABD)$ cắt $AC$ tại $E$ và $(ACD)$ cắt $AB$ tại $F$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $DE,DF$. Chứng minh rằng $OI \perp AD$ khi và chỉ khi $AD,BN,CM$ đồng quy. 

thử bài 6 với lời giải khác. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,AC$. $E,F$ là tiếp điểm của $(I)$ với $AB,AC$. Gọi $T$ là giao của $MN,EF,AI$ (theo tính chất quen thuộc thì 3 đường này đồng quy). Bằng định lí $Sin$ ta chứng minh được $\frac{GD}{DK}= \frac{ED}{DT}$ mà $\frac{ED}{DT}=\frac{DB}{DM}$ hay $BG \parallel KM$ hay $K$ là trung điểm $CL$

Mình có biết bổ đề sau nhưng không biết tên nên không tìm được trên mạng.

Cho dãy $a(n)$ là $1$ dãy số nguyên dương tăng vô hạn. Nếu $\lim_{n \to \infty } \frac{a(n)}{n}=0$ thì tập các số tự nhiên $N$ là tập con của tập {${\frac{n}{a(n)},n \to \infty}$}. Nếu chứng minh được bổ đề này thì ta có 1 kết quả rất mạnh trong số học như sau:

$f(n)$ là 1 hàm số $N \to N$ và đồng biến, $\lim_{n \to \infty } \frac{f(n)}{n}=0$ thì tồn tại vô hạn số $n$ nguyên dương sao cho $f(n)$ là ước của $n$

Ví dụ: Chứng minh rằng tồn tại vô hạn $n$ nguyên dương sao cho $1+[\sqrt{n}]+[\sqrt{n+1}]+[\sqrt{n+2018}]$ là ước của $n$

Sử dụng kết quả $\binom{p-1}{k}\equiv (-1)^{k} (mod p)$ với $p$ nguyên tố và $0\leq k \leq p-1$

Với đẳng thức $k.\binom{p}{k}=p\binom{p-1}{k-1}$ thì ta có điều phải chứng minh.

Mở rộng là: $B=\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{4}}.(-1)^{k-1}.\binom{p}{k} \equiv 3(2^{p-1}-1) (mod p^{2})$ (VMO 2017)

Hình như chỉ có một cách giải dễ hiểu đó thôi. Chứng minh tổng quát luôn cho số bội của $k$

bài shortlist 2009 N7 không sử bổ đề này mà. Nhầm với bài $a,b$ là số nguyên dương thỏa mãn $ab$ không là số chính phương. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn $n$ nguyên dương sao cho $(a^{n}-1)(b^{n}-1)$ không là số chính phương. Bổ đề trên có thể chứng minh bằng thặng dư trung hoa với $drichlet$. Phản chứng ngược lại bổ đề ta có đpcm.

Vẫn chưa hiểu lời giải bài 1 cho lắm  . 

Bài toán 2: (VMO 2002 ?) Tìm hiểu kết quả ở 1 lớp học, người ta nhận thấy rằng hơn $\frac{2}{3}$ số học sinh đạt điểm giỏi ở môn toán cũng đồng thời đạt điểm giỏi hơn môn vật lí, hơn $\frac{2}{3}$ số học sinh đạt điểm giỏi ở môn vật lí cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn văn, hơn $\frac{2}{3}$ số học sinh đạt điểm giỏi ở môn văn cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở môn lịch sử, và hơn $\frac{2}{3}$ số học sinh đạt điểm giỏi ở môn lịch sử cũng đạt điểm giỏi ở môn toán.

a) Chứng minh rằng trong lớp học nói trên , có ít nhất $1$ học sinh đạt điểm giỏi ở cả $4$ môn toán, vật lí, văn, lịch sử.

b) Hỏi có thể thay thế số $\frac{2}{3}$ ở trên bởi 1 thực $k$ thuộc $(0,1)$ nào hay không để bài toán vẫn đúng ?

Lâu ngày a cho 1 bài khá hay nhé  

Bài 15: Cho $x,y,z$ thỏa mãn $0 < x,y,z < 1$ và $xy+yz+zx+2xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P= \sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}$

Bài số 1.2: Chưa ai giải à .-.

 Nếu $n$ là hợp số thì gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Lúc đó $n=pq ( q \in \mathbb{N}, q /geq p)$

 Ta có $q+1 \mid pq+1 \Rightarrow p(q+1)-(p-1) \Rightarrow q+1 \mid p-1$ 

 Suy ra nếu $p /not{=} 1$ thì $p-1 /geq q+1$ (Vô lí) $\Rightarrow p=1$ ( Vô lí ).

 Vậy $n$ là số nguyên tố. Thử lại thấy t/m

Cả $2$ bài mình đều có lời giải cả rồi nhưng không biết có cách nào nhanh hơn nữa không,

Bài 1 ước nguyên tố không quá $5$ mà bạn tức là có thể dưới dạng $3^{x}5^{y}$

Bài toán 1: Cho dãy số tự nhiên lẻ $u_{1},u_{2},..,u_{n}$ sao cho $u_{i}$ khác $u_{j}$ nếu $i$ khác $j$; ngoài ra nọi số $u_{i}$ đều không có ước nguyên tố vượt quá $5$. Chứng minh rằng $u_{1}+u_{2}+....+u_{n} > \frac{8n^{2}}{15}$

Bài toán 2: Dãy số ${u_{n}}$ xác định như sau :

         $\left\{\begin{matrix} u_{1}=20; u_{2}=100\\ u_{n+1}=4u_n+5u_{n-1}-1976 \end{matrix}\right.$

      Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ số hạng của dãy số trên chia hết cho $1996$

Trên là tất cả các bài toán hình học phẳng trong kì thi China TST 2017-2007 còn tiếp theo đây là những bài hình học ChinaTST các năm trước 2007 mà mình cảm thấy hay và độc đáo chứ không tổng hợp toàn bộ như trên nữa.

Bài toán 48 [CHINA TST 2006-TST- Ngày 1]. $ABCD$ là hình thang có $AB\parallel CD$. Kí hiệu đường tròn $\omega_1$ tiếp xúc $DA,AB,BC$ và $\omega_2$ tiếp xúc với $BC,CD,DA$. $l_1$ là đường thẳng đi qua $A$ và tiếp xúc với $\omega_2$, $l_2$ đi qua $C$ và tiếp xúc với $\omega_1$.
Chứng minh rằng $l_1\parallel l_2$.

Bài toán 49 [CHINA TST 2005-TST- Ngày 1]. Cho tứ $ABCD$ nội tiếp $(O)$, $P$ là giao điểm của $2$ đường chéo $AC,BD$. $(O_1)$ đi qua $P,B$, $(O_2)$ đi qua $P,A$. $(O_1)$ cắt $(O_2)$ tại $P$ và $Q$. $(O_1),O_(2)$ cắt $(O)$ tại $E,F$. Chứng minh rằng $PQ,CE,DF$ đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Bài toán 50 [CHINA TST 2005-Quiz 1]. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\omega$. Dường tròn $A-mixtilinear$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc $\omega,AB,AC$ lần lượt tại $S,P,Q$. $AS\cap PQ=T$. Chứng minh rằng $\angle{BTP}=\angle{CTQ}$.

Bài toán 51 [CHINA TST 2004-Quiz 3]. Cho $2$ đường tròn có cùng bán kính có tâm là $O_1,O_2$ cắt nhau tại $P,Q$. Gọi $O$ là trung điểm $PQ$. $2$ đường thẳng $AB,CD$ đi qua $P$ sao cho $A,C$ nằm trên $(O_1)$ và $B,D$ nằm trên $(O_2)$. $M,N$ lần lượt là trung điểm $AD,BC$. Giả sử $2$ tâm đường tròn nằm ngoài phần chung của $2$ đường tròn. Chứng minh rằng $M,N,O$ thẳng hàng. (Nguồn gốc của bài toán kinh điển trong nhiều sách toán cấp $2$ mà không ghi nguồn )

Bài toán 50 [CHINA TST 2003-TST-Ngày 1]. Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D$ nằm trên $BC$ sao cho $AD$ là phân giác trong $\angle{A}$. $E,F$ là hình chiếu của $D$ nằm trên $AC,AB$. Giả sử $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $(AFH)$ cắt $BE$ tại $G$. Chứng minh rằng tam giác được tạo ra bằng các giao điểm của $BG,GE,BF$ là tam giác vuông.

Bài toán 35 [CHINA TST 2009-TST ngày 1]. Cho tam giác $ABC$. $D$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $ \angle CAD = \angle CBA.$ $(O)$ đi qua $2$ điểm $B,D$ cắt $AB,AD$ lần lượt tại $E,F$. $BF \cap DE =G$. $M$ là trung điểm của $AG$. Chứng minh rằng $CM\perp AO$.

Bài toán 36 [CHINA TST 2008-Quiz 1]. $P$ nằm trong $\triangle{ABC}$, $A_1$ là giao điểm thứ $2$ của đường thẳng $AP$ với $(PBC)$ và ta xác định tương tự các điểm $B_1,C_1$. \\ Chứng minh rằng $\left(1 + 2\cdot\frac {PA}{PA_{1}}\right)\left(1 + 2\cdot\frac {PB}{PB_{1}}\right)\left(1 + 2\cdot\frac {PC}{PC_{1}}\right)\geq 8$.

Bài toán 37 [CHINA TST 2008-Quiz 2] . Cho $\triangle{ABC}$, đường thẳng $l$ bất kì cắt $ BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $ O_{1},O_{2},O_{3}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $ AEF,BFD,CDE$. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác $ O_{1}O_{2}O_{3}$ nằm trên $l$.

Bài toán 38 [CHINA TST 2008-Quiz 3] . Cho $P$ và $Q$ là $2$ điểm liên hợp đẳng giác của $\triangle{ABC}$.$ O_{1},O_{2},O_{3}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ PBC,PCA,PAB$. $ O'_{1},O'_{2},O'_{3}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ QBC,QCA,QAB$. $O$ là tâm $(O_{1}O_{2}O_{3})$, $O'$ là tâm $ O'_{1}O'_{2}O'_{3}$. Chứng minh ràng $OO'\parallel PQ$.

Bài toán 39 [CHINA TST 2008-Quiz 4]. Cho hình chữ nhật $ABCD$, $AB=b,AD=a (a \geq b)$. $X,Y,Z$ là $3$ điểm nằm trên biên của $ABCD$. Tìm giá trị lớn nhất của các khoảng cách giữa $2$ điểm trong $3$ điểm đã cho. (Tính theo $a,b$)

Bài toán 40 [CHINA TST 2008-Quiz 5]. Cho $\triangle{ABC}$ nhọn, $M,N$ là điểm chính giữa các cung $\widehat{CA},\widehat{AB}$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác. $D$ là trung điểm của đoạn $MN$, $G$ nằm trên cung $\widehat{BC}$.$ I,I_{1},I_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ ABC,ABG,ACG$. $P$ là giao điểm thứ hai của $(GI_1I_2)$ với $(ABC)$. Chứng minh rằng $3$ điểm $D,I,P$ thẳng hàng.

Bài toán 41 [CHINA TST 2008-TST-Ngày 1]. Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $AB>AC$. $BC$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác tại $E$. $D$ là giao điểm thứ hai của đường tròn nội tiếp với $AE$. $F$ nằm trên $AE$ sao cho $CE=CF$. Tia $CF$ cắt $BD$ tại $G$. Chứng mnh rằng $CF=FG$.

Bài toán 42 [CHINA TST 2007-Quiz 1]. $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của $\triangle{ABC}$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. $D,E$ nằm trên $AB,AC$ sao cho $ BD=CE=BC.$ Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $IM$ cắt đường thẳng qua $E$ vuông góc với $IN$ tại $P$. Chứng minh rằng $AP\perp BC$.

Bài toán 43 [CHINA TST 2007-Quiz 2]. Cho $n \geq 3$ điểm nằm trên mặt phẳng . Chứng minh rằng tồn tại $3$ điểm $A,B,C$  thỏa mãn $ 1\le\frac{AB}{AC}\le\frac{n+1}{n-1}.$

Bài toán 44 [CHINA TST 2007-Quiz 3]. Cho tam giác $ABC$. $\omega$ là đường tròn đi qua $2$ điểm $B,C$. $\omega_1$ tiếp xúc trong với $\omega$ và tiếp xúc $AB,AC$ tại $T,P,Q$. $M$ là điểm chính giữa cung $BC$( chứa điểm $T$) của $\omega$. Chứng minh rằng $PQ,BC,MT$ đồng quy.

Bài toán 45 [CHINA TST 2007-Quiz 5]. Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. $BA,CD$ cắt nhau tại $H$. $AC,BD$ cắt nhau tại $G$. $O_1,O_2$ là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AGD,BGC$. $O_1O_2$ cắt $OG$ tại $N$. $HG$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AGD,BGC$ lần lượt tại $P,Q$. $M$ là trung điểm $PQ$. Chứng minh $NO=NM$.

Bài toán 46 [CHINA TST 2007-Quiz 6]. Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\omega$.$zeta$ là đường tròn tiếp xúc trong với $\omega$, và tiếp xúc với $BC,AD$ tại $M,N$. $I_1,I_2$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle{ABC},\triangle{ABD}$. Chứng minh $4$ điểm $ M,I_1,I_2,N$ thẳng hàng.

Bài toán 47 [CHINA TST 2007-TST- Ngày 1]. $A,B$ là $2$ điểm nằm trên đường tròn tâm $O$. $C$ nằm ngoài đường tròn, $CS,CT$ là các tiếp tuyến tới $(O)$.$M$ là điểm chính giữa cùn $AB$ của $(O)$. $MS,MT$    cắt $AB$ tại $E,F$. $2$ đường thẳng đi qua $E,F$ vuông góc với $AB$ cắt $OS,OT$ tại $X,Y$. đường thẳng qua $C$ cắt $(O)$ tại $P,Q$ ($P$ nằm trên cạnh $CQ$). $R$ là giao điểm của $MP$ và $AB$, và $Z$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$. Chứng minh rằng $X,Y,Z$ thẳng hàng.

China TST là kì thi chọn đội tuyển dự thi $IMO$ của Trung Quốc. Những năm gần đây kì thi được chia thành $4$ vòng thi $TST$ (TST1,TST2,...). Những năm phía trước nữa thì phải chia thành $2$ giai đoạn đó là trước $TST$ và kì thi $TST$ chính thức. Trước hết các thí sinh phải trải qua các bài kiểm tra hay còn gọi là Quiz (Quiz 1,Quiz 2,...). Rồi sau đó mới chính thức thi $TST$, điểm ở mỗi bài phần Quiz ít hơn ở TST nhưng độ khó sẽ nhẹ hơn. Là một đội rất mạnh nên các bài thi $TST$ cũng rất khó và vô cùng độc đáo, các bài hình học cũng không phải ngoại lệ. Vì thế và cũng nhân dịp ngày cuối cùng của năm 2017 và năm mới 2018 mình đã tổng hợp các bài hình học ChinaTST dưới dạng pdf và đăng lên diễn đàn để mọi người có thể thảo luận và làm bài, đồng thời đưa ra nhận các nhận xét cùng các mở rộng thú vị. Sau đó mình sẽ tổng hợp tất cả lại vì viết thành $1$ tài liệu quý giá cho diễn đàn. 

Phan Nhật Hoàng

Lớp A1 Khóa 46, THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An

Bài toán 1 [CHINA TST 2017-TST 1-Ngày 2]. Cho tam giác $ABC$ không cân, $D,E,F$ lần lượt là trung điểm cạnh $BC,CA,AB$,. Đường thẳng đi qua $D$ tiếp xúc đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ cắt $EF$ tại $X$. Xác định các điểm $Y,Z$ tương tự. Chứng minh rằng $3$ điểm $X,Y,Z$ thẳng hàng.

Bài toán 2 [CHINA TST 2017-TST 3-Ngày 1]. Cho tứ giác lồi $ABCD$. Chân đường vuông góc từ $A$ đến $BC,BD,CD$ lần lượt là $P,Q,R$. $P,Q$ nằm trên đoạn $BC,BD$ và $R$ nằm trên đoạn $CD$ kéo dài. Chân đường vuông góc từ $D$ đến $AC,BC,AB$ lần lượt là $X,Y,Z$. $X,Y$ nằm trên đoạn $AC,BC$ và $Z$ nằm trên đoạn $BA$ kéo dài.$H$ là trực tâm tam giác $ABD$. chứng minh rằng dây cung chung của $2$ đường tròn ngoại tiếp $\triangle{PQR}, \triangle{XYZ}$ chia đôi $BH$. 

Bài toán 3 [CHINA TST 2017-TST 4-Ngày 1]. Cho $\triangle{ABC}$, đường tròn bàng tiếp góc $A$ tiếp xúc cạnh BC, đường thẳng $AB,AC$ lần lượt tại $E,D,F$. $EZ$ là đường kính của đường tròn. $B_{1},C_{1}$ nằm trên $DF$ sao cho $BB_{1}\perp BC, CC_{1}\perp BC$. Đường thẳng $ZB_{1},ZC_{1}$ cắt $BC$ lần lượt tại $X,Y$. Đường thẳng $EZ,DF$ cắt nhau tại $H$, $ZK \perp FD$ tại  $K$. Giả sử $H$ là trực tâm $\triangle{XYZ}$. Chứng minh rằng $H,K,X,Y$ đồng viên.

Bài toán 4 [CHINA TST 2016-TST 1-Ngày 1]. $ABDCEF$ là lúc giác nội tiếp đường tròn thỏa mãn $AB=BC=CD=DE$. $K$ là điểm nằm trên cạnh $AE$ thỏa mãn $\angle{BKC}=\angle{KFE}, \angle{CKD}=\angle{KFA}$. Chứng minh rằng $KC=KF$.

Bài toán 5 [CHINA TST 2016-TST 1-Ngày 2]. Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $O$. Tia phân giác trong các góc  $A,C$ cắt nhau tại $I$, $B,D$ cắt nhau tại $J$. $AB,CD,BC,DA$ cắt $IJ$ lần lượt tại $P,R,Q,S$. Trung điểm các cạnh $PR,QS$ lần lượt là $M,N$, Giả sử $O$ không nằm trên $IJ$, chứng minh rằng $OM\perp ON$.   

Bài toán 6 [CHINA TST 2016-TST 2-Ngày 1]. $P$ là $1$ điểm bất kì trong tam giác $ABC$. $D,E,F$ lần lượt là điểm đối xứng với các cạnh $BC,CA,AB$ của $P$. Tia $AP,BP,CP$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle{ABC}$ tại $L,M,N$. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp $\triangle{PDL},\triangle{PEM},\triangle{PFN}$ đồng quy tại điểm $T$ khác $P$.

Bài toán 7 [CHINA TST 2016-TST 2-Ngày 2]. Các đường chéo của tứ giác nội tiếp $ABCD$ cắt nhau tại $P$ và $1$ đường tròn $\gamma$ tiếp xúc đường thẳng $AB,BC,AD,DC$ lần lượt tại $X,Y,Z,T$. Đường tròn $\omega$ đi qua $A,B$ và tiếp xúc ngoài $\gamma$ tại $S$. Chứng minh rằng $SP\perp ST$.

Bài toán 8 [CHINA TST 2016-TST 3-Ngày 1]. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp thỏa mãn $AB>BC,AD>DC,I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle{ABC},\triangle{ADC}$. Đường tròn đường kính $AC$ cắt cạnh $IB$ tại $X$, cắt đường thẳng $JD$ tại $Y$. Chứng minh rằng nếu $4$ điểm $B,I,J,D$ đồng viên thì $X,Y$ đối xứng qua $AC$.   

Bài toán 9 [CHINA TST 2015-TST 1-Ngày 1]. Đường tròn $\gamma$ đi qua $A$ của tam giác $ABC$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $P$. Chứng minh rằng điểm đối xứng của $P$ qua $EF$ nằm trên $BC$ khi và chỉ khi $\gamma$ đi qua $O$ ($O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.   

Bài toán 10 [CHINA TST 2015-TST 2-Ngày 1]. Cho $\triangle{ABC}$ là tam giác nhọ với $O,G$ lần lượt là tâm ngoại tiếp, trọng tâm tam giác. $D$ là trung điểm của $BC$ và $E$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ sao cho $E$ nằm trong tam giác $ABC$ và $AE\perp BC$. $F=EG\cap OD$ và $K,L$ nằm trên $BC$ sao cho $ FK \parallel OB, FL \parallel OC . $. Điểm $M$ thuộc $AB$ sao cho $MK\perp BC$ và $N$ thuộc $AC$ sao cho $NL\perp BC$. Đường tròn $\omega$ tiếp xúc $OB,OC$ tại $B,C$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp $\triangle{AMN}$ tiếp xúc với $\omega$.

Bài toán 11 [CHINA TST 2015-TST 3-Ngày 1]. $\triangle{ABC}$ là tam giác cân tại $A$. $D$ nằm trong tam giác sao cho $DA=DB+DC$. Đường trung trực của $AB$ cắt phân giác ngoài $\angle{ADB}$ tại $P$, $Q$ là giao điểm của trung trực $AC$ và phân giác ngoài $\angle{ADC}$. Chứng minh rằng $B,C,P,Q$ đồng viên.

Bài toán 12 [CHINA TST 2014-TST 1-Ngày 1]. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp sao cho $2$ đường chéo $AC,BD$ vuông góc với nhau. $F$ nằm trên cạnh $BC$, $E$ thuộc $AB$ sao cho $EF\parallel AC$, $FG\parallel BD$ ($G\cap CD$). $P,Q,R$ lần lượt là hình chiếu của $E,F,G$ trên $CD,DA,AB$. Chứng minh $QF$ là phân giác $\angle{PQR}$.  

Bài toán 13 [CHINA TST 2014-TST 2-Ngày 2]. Cho đường tròn $(O;R)$, tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ thỏa mãn $AB$ là cạnh lớn nhất.$AH_{A},BH_{B},CH_{C}$ là các đường cao. $D$ là điểm đối xứng với $H_{A}$ qua $H_{A}H_{C}$. $P$ là giao điểm của $AD,BE$, $H$ là trực tâm $\triangle{ABC}$. Chứng minh $OP.OH$ không đổi và tìm giá trị đó. 

Bài toán 14 [CHINA TST 2014-TST 3-Ngày 1]. $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle{ABC}$. $H_{A}$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. $AO$ cắt $(BOC)$ tại $A'$. Hình chiếu của $A'$ trên $AB,AC$ là $D,E$ và $O_{A}$ là tâm của $(DH_{A}E)$. Xác định $H_B, O_B, H_C, O_C$. Chứng minh $H_AO_A, H_BO_B, H_CO_C$ đồng quy.

Bài toán 15 [CHINA TST 2013-Ngày 1]. $\triangle{ABC}$ nội tiếp đường tròn $\omega$. $F$ là giao điểm của $AC,BD$ và $E$ là giao điểm của $BA,CD$. Hình chiếu của  $F$ lên $AB,CD$ là $G,H$. $M,N$ là trung điểm $BC,EF$. Giả sử $(MNG)$ cắt $BF$ tại $P$, $(MNH)$ cắt $CF$ tại $Q$. Chứng minh rằng $PQ\parallel BC$.   

Bài toán 16 [CHINA TST 2013-Ngày 2] Cho $P$ là điểm nằm trong $\triangle{ABC}$. $L,M,N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC,CA,AB$ và $PL:PM:PN=BC:CA:AB$.Các đường thẳng $AP,BP,CP$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle{ABC}$ tại $D,E,F$.Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp  của các tam giác $APF,APE,BPF,BPD,CPD,CPE$ đồng viên. 

Bài toán 17 [CHINA TST 2013-Ngày 5] Cho $\triangle{ABC}$ có tâm ngoại tiếp là $O$. $P$ là điểm chính giữa cung $BAC$ và $QP$ là đường kính. $I$ là tâm nội của $\triangle{ABC}$, $PI\cap BC=D$. $(AID)$ cắt đường thẳng $PA$ tại $F$. $E$ nằm trên $PD$ sao cho $DE=DQ$. $R,r$ lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của $\triangle{ABC}$. Chứng minh rằng nếu $\angle{AEF}=\angle{APE}$ thì $\sin^{2}\angle{BAC}=\frac{2r}{R}$. 

Bài toán 18 [CHINA TST 2012-TST 1 -Ngày 1]. Cho $\triangle{ABC}$, đường tòn nội tiếp tam giác tiếp xúc $BC,AC,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $L,N,M$ lần lượt là điểm đối xứng với $D$ qua $EF$, với $F$ qua $DE$, với $E$ qua $FD$. $AL$ cắt $BC$ tại $P$, $BM$ cắt $CA$ tại $Q$, $CN$ cắt $AB$ tại $R$. Chứng minh rằng $P,Q,R$ thẳng hàng.

Bài toán 19 [CHINA TST 2012-TST 1 -Ngày 2]. Cho 2 đường tròn $\omega_1, \omega_2$, tập $S$ là kí hiệu tất cả các $\triangle{ABC}$ thỏa mãn $\omega_1$ là đường tròn ngoại tiếp $\triangle{ABC}$, $\omega_2$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $\triangle{ABC}$, $\omega_2$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Giả sử tập $S$ không là tập rỗng, chứng minh rằng trọng tâm $\triangle{DEF}$ là $1$ điểm cố định. 

Bài toán 20 [CHINA TST 2012-TST 3 -Ngày 1]. Cho tam giác nhọn $\triangle{ABC}$, $\angle{A} \ge 60^{\circ}$, $H$ là trực tâm. $M,N$ là $2$ điểm nằm trên $AB,AC$ sao cho $\angle HMB=\angle HNC=60^{\circ}$. $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HMN$. $D$ là điểm nằm cùng phía với $A$ bờ $BC$ sao cho $\triangle{DBC}$ là tam giác đều. Chứng minh $H,O,D$ thẳng hàng.

Bài toán 21 [CHINA TST 2011-TST 1 -Ngày 1]. Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $BC>CA>AB$, đường tròn chín điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp và các đường tròn bàng tiếp góc $A,B,C$ của $\triangle{ABC}$ tại $T,T_A,T_B,T_C$. Chứng minh cạnh $TT_B$ và đường thẳng $T_{A}T_{C}$ cắt nhau.
 

Bài toán 22 [CHINA TST 2011-TST 1 -Ngày 2]. $1$ trong $2$ giao điểm của $2$ đường tròn $(O_1),(O_2)$ là $P$. Tiếp tuyến chung của $2$ đường tròn lần lượt tiếp xúc tại $A,B$, đường thẳng qua $A$ vuông góc $BP$ cắt $O_1O_2$ tại $C$. Chứng minh rằng $AP\perp PC$. 

Bài toán 23 [CHINA TST 2011-TST 2 -Ngày 2]. $AA', BB', CC'$ là các đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $P$ là $1$ điểm bất kì trong tam giác, và $D,E,F$ lần ượt là hình chiếu của $P$ lên $BC,CA,AB$. Gọi $X$ là điểm sao cho $D$ là trung điểm $A'X$, $Y$ là điểm sao cho $E$ là trung điểm $B'Y$, và $Z$ là điểm sao cho $F$ là trung điểm $C'Z$. Chứng minh rằng $\triangle{XYZ} \sim \triangle{ABC}$

Bài toán 24 [CHINA TST 2011-TST 3 -Ngày 1]. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $\gamma$. $P$ nằm trên cung $BC$ không chứa $A$, $M$ nằm trên cung $AC$ không chứa $B$ sao cho $H$ nằm trên $PM$. $K$ nằm trên $\gamma$ sao cho $KM$ song song với đường thẳng $Simson$ của $P$ với tam giác $ABC$. $Q$ nằm trên $\omega$ sao cho $PQ\parallel BC$. Cạnh $BC,KQ$ cắt nhau tại $J$. Chứng minh ràng $\triangle{KJM}$ là tam giác cân.

Bài toán 25 [CHINA TST 2010- Quiz 1 ] Cho tứ giác lồi $ABCD$. Giả sử đường thẳng $AB,CD$ cắt nhau tại $E$,  và $B$ nằm giữa $A,E$. đường thẳng $AD,BC$ cắt tại $F$, và $D$ nằm giữa $A,F$. $(BEC)\cap (CFD)={C;P}$. Chứng minh rằng nếu $\angle{BAP}=\angle{CAD}$ khi và chỉ khi $BD\parallel EF$.

Bài toán 26 [CHINA TST 2010- Quiz 2] Cho $\triangle{ABC}$ là tam giác nhọn với $AB>AC$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp.
$M,N$ là trung điểm $AC,AB$. $D,E$ nằm trên $AC,AB$  sao cho $BD\parallel IM$ và $CE\parallel IN$. $1$ đường thẳng đi qua $I$ song song $DE$ cắt $BC$ tại $P$. $Q$ là hình chiếu của $P$ trên $AI$. Chứng minh $Q$ nằm trên $(ABC)$.

Bài toán 27 [CHINA TST 2010- Quiz 3] Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. Giả sử $\triangle ADC$ nhọn và $\frac{AB}{BC}=\frac{DA}{CD}$. $\gamma$ là đường tròn đi qua $A,D$, tiếp xúc với $AB$, $E$ là $1$ điểm nằm trên $\gamma$ và nằm trong tứ giác. Chứng minh rằng $AE\perp EC$ khi và chỉ khi $\frac{AE}{AB}-\frac{ED}{AD}=1$.

Bài toán 28 [CHINA TST 2010- Quiz 4] Cho $\triangle{ABC}$ nhọn, $D$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. $M,N$ là trung điểm $AB,AC$. $\gamma_1$ và $\gamma_2$ là đường tròn ngoại tiếp $\triangle BDM$ và $\triangle CDN$. $K=\gamma_1 \cap \gamma_2$. $P$ là điểm bất kì thuộc $BC$ và $E,F$ nằm trên $AC,AB$ sao cho $PEAF$ là hình bình hành. Chứng minh rằng nếu $MN$ là tiếp tuyến chung của $\gamma_1$ và $\gamma_2$ thì $K,E,A,F$ đồng viên.

Bài toán 29 [CHINA TST 2010- Quiz 6] Cho $\omega$ là nửa đường tròn với $AB$ là đường kính. $\omega_1,\omega_2$ là $2$ đường tròn đều tiếp xúc $\omega$ và $AB$ đồng thời $\omega_1,\omega_2$ tiếp xúc với nhau. $P,Q$ lần lượt là điểm tiếp xúc của $\omega_1,\omega_2$ với $AB$, $P$ nằm giữa $A,Q$. $C$ là tiếp điểm của $2$ đường tròn $\omega_1$ và $\omega$. Tính $\tan \angle{ACQ}$.

Bài toán 30 [CHINA TST 2010-Ngày 1] Cho $\triangle{ABC}$ nhọn với $AB>AC$. $M$ là trung điểm của $BC$. $P$ là điểm nằm trong tam giác $AMC$ sao cho $\angle MAB=\angle PAC$. $O,O_1,O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC,\triangle ABP,\triangle ACP$. Chứng minh đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm $O_1O_2$.

Bài toán 31 [CHINA TST 2009-Quiz 1]. Cho đường tròn $\omega$ tiếp xúc trong với $\Gamma$ tại $S$. $\omega$ tiếp xúc với dây cung $AB$ của $\Gamma$ tại $T$. $O$ là tâm của $\omega$. $P$ nằm trên đường thẳng $AO$. Chứng minh rằng $PB\perp AB$ khi và chỉ khi $PS\perp TS$.

Bài toán 32 [CHINA TST 2009-Quiz 3]. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp với $CB,DA$ là phân giác $\angle{DCA},\angle{CDB}$. Các điểm $E,F$ nằm trên tia $AC,BD$ sao cho tứ giác $CEFD$ nội tiếp. $P$ là điểm thỏa mãn $DA,CB$ là các phân giác giác trong của  $ \angle PDE,\angle PCF$. $AD$ cắt $BC$ tại $Q$. Chứng minh rằng $P$ nằm trên $AB$ khi và chỉ khi $Q$ nằm trên đoạn $EF$.

Bài toán 33 [CHINA TST 2009-Quiz 4]. Cho điểm $D,E$ nằm trên các cạnh $AB,BC$ của $\triangle{ABC}$, $P$ nằm trong $\triangle{ABC}$ sao cho $PE=PC$ và $ \bigtriangleup DEP\sim \bigtriangleup PCA.$ Chứng minh rằng $BP$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp $\triangle{PAD}$.

Bài toán 34 [CHINA TST 2009-Quiz 5]. Trong tam giác $ABC$, $P,Q$ nằm trên các cạnh $AB,AC$. $(ABC)$ cắt $(APQ)$ tại $X$. $Y$ là hình chiếu của $X$ trên $PQ$. Cho $PX>PB$. Chứng minh rằng $S_{\triangle{XPQ}}=S_{\triangle{YBC}}$.

bài này sử dụng thặng dư trung hoa mà chưa có thời gian latex

Bài 5: Số nguyên dương $k$ có liên quan gì đến bài toán ?

Bài toán 24: Kí hiệu $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $S(n)$ khi cho $n$ chạy trên các bội của $2003$.