Cho em hỏi có cách nào chứng minh dãy bị chặn mà không sử dụng định lý L'Hospital không ạ?

Cho em hỏi thêm về trù mật ạ... 

Trên lớp thầy em có nói về khái niệm này nhưng em vẫn chưa rõ lắm

Chứng minh không tồn tại $\lim sin(2n)$ với  $n \to \infty$ 

Chứng minh không tồn tại $\lim cos(2n)$ với  $n \to \infty$ 

Cho $f(x)=x^{3}$ trên $\left ( -\infty ,2 \right )$, $f(x)=ax^{2}+bx+c$ trên $[2,\infty )$. Tìm a,b,c để f là hàm khả vi liên tục trên $\mathbb{R}$

ahhh, cho em hỏi liên thông là gì ạ....

Cái này em chưa học ạ (

1, Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn f(0)=2017

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^{2}$

Tính giá trị f(2017).

2, Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn f(0)=0

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^{2}$

Tính giá trị f(2017).

1, Given $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ satisfying f(0)=2017

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^{2}$

Compute f(2017).

2,1, Given $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ satisfying f(0)=0

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |^{2}$

Compute f(2017).

Chứng minh mọi hàm số liên tục đều trên $(a,b)$ là bị chặn. 

Các bạn giúp mình một số bài tập về giải tích với
1, Chứng minh dãy số $\left ( 1+\frac{1}{k} \right )^{k}$ có ít nhất một dãy con hội tụ

2, Chứng minh dãy số $\left ( 1-\frac{1}{k} \right )^{k}$ có ít nhất một dãy con hội tụ