Cho tam giác ABC vuông tại A, H thuộc BC, biết $HB.HC = HA^2$. Chứng minh AH vuông góc với BC. 

Cho tam giác ABC. D là một điểm di động trên cạnh AC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD. Các đường thẳng CG và BD cắt nhau tại E. Chứng minh  rằng:$\frac{EB}{ED}$  - $\frac{CA}{CD}$ không đổi khi điểm D di chuyển trên cạnh AC 

Vì $x,y,z$ thuộc đoạn [0;1] nên ta có $\left\{\begin{matrix} x\leq 1 & & \\ y+z\leq yz+1& & \\ 0\leq yz & & \end{matrix}\right.$

=> 0<x+y+z<(=) 2yz+2

$\Rightarrow\frac{1}{yz+1}\leq \frac{2}{x+y+z}=2$

Tương tự rồi cộng các bất đẳng thức lại ta thu được $P\leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị

Mình thấy không đúng lắm nếu thay các giá trị khi xảy ra dấu bằng thì dấu bằng sẽ có giá trị là $\frac{5}{2}$ chứ không phải là 3 . 

                                                                 Bài Làm

Vì  0$\leq$ x, y$\leq$ 1, $\leftrightarrow$  (1-x)(1-y)$\geq$0 <=> 1+xy $\geq$ x+y <=> $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{1}{x+y}$

Mặt khác x+y+z=2 => x+y=2-z => $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{1}{2-z}$  

Ta sẽ chứng minh :  $\frac{1}{2-z}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ 

                                <=> 2$\leq$ (2-z)(z+1) <=> 0$\leq$ z-z² <=> z-z² $\geq$ 0 <=> z(z-1) $\geq$ 0 -> Đúng ( vì  0$\leq$z $\leq$ 1)

=>$\frac{1}{2-z}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ => $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ 

CMT =>  $\frac{1}{xz+1}$ $\leq$ $\frac{y+1}{2}$

               $\frac{1}{yz+1}$ $\leq$ $\frac{x+1}{2}$

=> $\frac{1}{xy+1}$ + $\frac{1}{xz+1}$ + $\frac{1}{yz+1}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ + $\frac{y+1}{2}$ + $\frac{x+1}{2}$                                                                                                                                      = $\frac{x+y+z+3}{2}$ = $\frac{5}{2}$

(vì x+y+z=2)

                                            Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị

Vậy maxp= $\frac{5}{2}$  khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị

Cho x,y,z $\epsilon$ [0,1] , x+y+z=2. Tìm GTLN của P = $\frac{1}{xy+1}$+$\frac{1}{yz+1}$+$\frac{1}{xz+1}$

Cho $a,b,c \in [1,2]$. Tìm GTLN của $P=(a+b+c)\left( {\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \right)$

Cho $a,b,c \in [0,2]$ và $a+b+c=3$. Tìm GTLN của $a^3+b^3+c^3 - 3(a-1)(b-1)(c-1)$.

Bài tập 4 : Cho tam giác ABC  cân tại A .Trên tia AB lấy điểm D, trên tia AC lấy điểm E sao cho AD=CE ,Gọi M,N,I,K lần lượt là trung điểm của AD, AE, CD,BE. Chứng minh MNIK là hình thang cân 

 

Cho tam giác ABC. Phân giác góc ngoài tại đỉnh B cắt phân giác góc BAC tại H. Từ H kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, cắt AC tại N.

1)CM CH là tia phân giác góc BCN

2)CM: BC+BN=NM

3)Phân giác góc ABC cắt AH tại I. CM IC vuông góc với CH

4)CM đường trung trực của BC đi qua TĐ E của IH

5)CM: ME//BI

Cho tam giác ABC. Phân giác góc ngoài tại đỉnh B cắt phân giác góc BAC tại H. Từ H kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, cắt AC tại N.

1)CM CH là tia phân giác góc BCN

2)CM: BC+BN=NM

3)Phân giác góc ABC cắt AH tại I. CM IC vuông góc với CH

4)CM đường trung trực của BC đi qua TĐ E của IH

5)CM: ME//BI

Source: lượm trên mạng

Đề vòng 2

Nguồn: lượm trên mạng

Lượm được trên mạng mà chưa thấy ai đăng nên mình đăng vậy

 

1) Cho $p$ là số nguyên tố và $n$ là số nguyên dương $>1$. CMR: với $x,y>1$ ( $x,y$ nguyên dương) mà $\frac{x^{p}+y^{p}}{2}=(\frac{x+y}{2})^{m}$ thì $m=p$.

2) Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $x,y,k$ nguyên dương; $k>1$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}(x,y)=1 \\ 3^{n}=x^{k}+y^{k} \end{matrix}\right.$

Có 2 bài sử dụng L.T.E khá hay nè

TOPIC được lập nhằm tổng hợp các đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố trên toàn quốc năm $2018 - 2019$ được đăng tải trên VMF.

 

1. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Bình Dương.

2. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Khánh Hòa.

3. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Quảng Trị.

4. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Quảng Bình.

5. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Nam Định.

6. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Tiền Giang.

7. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Nghệ An.

8. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Hải Dương.

9. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi.

10. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Bình Phước.

11. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Gia Lai.

12. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 thành phố Đà Nẵng.

13. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 thành phố Hà Nội.

14. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Phú Yên.

15. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Thái Bình.

16. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Long An.

 

<updating...>

Câu 1: (4 điểm)

a) Tìm các chữ số $x$ và $y$ sao cho $\overline{xxyy}=(\overline{xx})^{2}+(\overline{yy})^{2}$

b) Tìm chữ số tận cùng của số $N$ 

Câu 2: (3 điểm)

Giả sử phương trình $x^{2}+ax+b=0$ có nghiệm $x_{1},x_{2}$ và phương trình $x^{2}+cx+d=0$ có nghiệm $x_{3},x_{4}$. Chứng minh rằng $2(x_{1}+x_{3})(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{4})(x_{3}+x_{4})=2(b-d)^{2}-(a^{2}-c^{2})(b-d)+(b+d)(a+c)^{2}$

Câu 3: (5 điểm)

a) Tìm các cặp số nguyên $(x,y)$ sao cho $x^{2}-668xy-669y^{2}=2019$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x+\frac{2}{x}+2y+\frac{2}{y}=9 \\ 4x^{2}+\frac{4}{x^{2}}+4y^{2}+\frac{4}{y^{2}}=25 \end{matrix}\right.$

Câu 4: (4 điểm)

Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ lấy một điểm $M$ ($M$ khác $C,D$)  trên cung $CD$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh $MA+MC=\sqrt{2}MB$

Câu 5: (4 điểm)

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Tiếp tuyến tại điểm $M$ ($M$ khác $A,B$) tùy ý trên đường tròn tâm $O$ cắt các tiếp tuyến của đường tròn tại $A$,$B$ tại $C,D$

a) Xác định vị trí của điểm $M$ sao cho chu vi tam giác $COD$ nhỏ nhất

b) Gọi $E$ là giao điểm $OC$ và $AM$ , $F$ là giao $OD$ và $BM$. Xác định vị trí của điểm $M$ để đường tròn ngoại tiếp tứ giác $CEFD$ có bán kính nhỏ nhất.

Câu 1: (4 điểm) Rút gọn biểu thức

$Q=(\frac{\sqrt{x-2}}{3+\sqrt{x-2}}+\frac{x+7}{11-x}): \left [ (\frac{3\sqrt{x-2}+1}{x-3\sqrt{x-2}-2}-\frac{1}{\sqrt{x-2}}).(\frac{3\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}+2}) \right ]$ với $x>2$ và $x$ khác $11$

Câu 2: (4 điểm)

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}xy=2y-1 \\ x^{3}-x^{2}y+5x=y^{3}-xy^{2}+5y \end{matrix}\right.$

Câu 3: (4 điểm)

Cho đa thức $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của $x$. Chứng minh rằng $6a,2b,a+b+c,d$ là số nguyên.

Câu 4: (4 điểm)

Trên đoạn thẳng $DE$ lấy điểm $C$ ( $C$ không trùng $D,E$). Dựng cùng phía hai hình chữ nhật $ABCD,GCEF$ sao cho $\frac{DC}{BC}=\frac{GC}{GF}=k$ ($k$ lớn hơn $0$ và là hằng số).  

a) Chứng minh $DG$ vuông góc $BE$

b) Gỉa sử $DG$ vuông góc $BE$ tại $H$. Chứng minh rằng $HC$ luôn đi một điểm cố định khi $C$ di động trên $DE$

Câu 5: (4 điểm)

a) Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$

b) Một con ếch ngồi trên một ô vuông liền kề với ô vuông ở góc của bảng $5x5$ ( ô đánh dấu "x"). Nó nhảy sang từng ô vuông liền kề theo hàng hoặc theo cột mà không được nhảy chéo. Chứng minh rằng nếu con ếch nhảy vào mỗi ô vuông đúng một lần thì nó không thể nhảy hết tất cả các ô vuông của bảng $5x5$.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                    KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

      QUẢNG TRỊ

 

Bài 1: (4 điểm)

Cho $a=\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$

a) Chứng minh $a$ là nghiệm của phương trình $a^{2}-2a-4=0$

b) Tính giá trị của biểu thức $T=\frac{a^{4}-4a^{3}+a^{2}+6a+4}{a^{2}-2a+12}$

Bài 2: (4 điểm)

1. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=8 \\ x+y+2xy=2 \end{matrix}\right.$

2. Giải phương trình $(x+1)(x+2)(x+3)^{2}(x+4)(x+5)=360$

Bài 3: (4 điểm)

1. Cho $a,b,c$ là các số thực bất kỳ. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac$

2. Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a\geq 1,b\geq 1,c\geq 1$ và $ab+bc+ac=9$

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Bài 4: (6 điểm)

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AC<AB$), gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$, $D$ là điểm nằm trên đoạn $AH$ ($D$ khác $A,H$). Đường thẳng $BD$ cắt đường tròn tâm $C$ bán kính $CA$ tại $E$ và $F$ ($F$ nằm giữa $B$ và $D$) , $M$ là điểm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $\widehat{ACF}=2\widehat{BFM}$, $MF$ cắt $AH$ tại $N$.

a) Chứng minh $BH.BC=BE.BF$ và tứ giác $EFHC$ nội tiếp

b) Chứng minh $HD$ là phân giác góc $\widehat{EHF}$

c) Chứng minh $F$ là trung điểm $MN$

Bài 5: (2 điểm)

Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}=\frac{2c}{b+c}$. Chứng minh $bc$ là số chính phương.

Các đề thi học sinh giỏi tỉnh và tuyển sinh chuyên trên toàn quốc các năm đã được post cụ thể và đầy đủ trên diễn đàn rồi nên em không đăng lại có thể coi là spam nhé Thân

Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Tìm giá trị lớn nhất $P=\frac{xy}{1+z^{2}}+\frac{yz}{1+x^{2}}-\frac{x^{3}y^{3}+y^{3}z^{3}}{24x^{3}z^{3}}$

Tìm tất cả các cặp tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ và $g(x)=(a+1)x^2+(b+1)x+c+1$ với hệ số nguyên sao cho cả hai tam thức đều có nghiệm nguyên.