Tìm tất cả hàm $f: R \rightarrow R$ thỏa mãn $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy, \forall x,y \in R$

Cho dãy số $(x_n)$ biết $x_1=a; x_{n+1}=\frac{3}{4}x_n^2-\frac{1}{8}x_n^3 (\forall n \in N, n \ge 1)$

1. Với $a=3$, chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

2. Chứng minh rằng với mọi $a \in [-2;6]$, dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Vòng 1

Vòng 2

Cho hình chóp $S.ABCD$. Mặt phẳng $(P)$ cắt $SA,SB,SC,SD$ lần lượt tại $A',B',C',D'.  $AC$ cắt $BD$ tại $O$, $A'C'$ cắt $B'D'$ tại $I$. Chứng minh $S,O,I$ thẳng hàng.

Cho đường tròn $(O)$ các cạnh của tam giác $ABC$ tại sáu điểm phân biệt $D,E,F,G,I,H$. sao cho $D$ và $E$ nằm trên $BC$, $F$ và $G$ nằm trên $CA$, $I$ và $H$ nằm trên $AB$. Chứng minh rằng nếu các đường thẳng đi qua $D$ vuông góc $BC$, qua $F$ vuông góc $CA$, qua $H$ vuông góc $AB$ đồng quy thì các đường thẳng đi qua $E$ vuông góc $BC$, qua $G$ vuông góc $CA$, qua $I$ vuông góc $AB$ đồng quy.

Cho $m,n,k \in N^*$, $m>k$. Chứng minh rằng: $C^k_{m+n+1}=C^k_m.C^0_n+C^{k-1}_{m-1}.C^1_{n+1}+...+C^0_{m-k}.C^k_{n-k}$

Cho hình chóp $O.ABC$, có $OA=OB=OC$, $AOB=BOC=60^0, AOC=90^0$.Chứng minh rằng: $(ABC) \perp (AOC)$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang cân, $AB=2a, BC=CD=DA=a, SA \perp (ABCD).$ Mặt phẳng ($\alpha$) đi qua $A$ vuông góc $SB$ cắt $SB,SC,SD$ lần lượt tại $B',C',D$. Chứng minh rằng: $A',B',C',D'$ là từ giác nội tiếp đường tròn.

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{\sqrt{2}}{x+\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+xy}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+z}$

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $(x+y)(y+z)(z+x)=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{\sqrt{y^2+yz+z^2}}{\sqrt{yz}+1}+\frac{\sqrt{z^2+zx+x^2}}{\sqrt{zx}+1} \ge \sqrt{3}$

Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích là $V$. Gọi $d_1$, $d_2$, $d_3$ lần lượt là khoảng cách giữa các cạnh đối diện $AB$ và $CD$, $AC$ và $BD$, $AD$ và $BC$. Chứng minh rằng: $V \ge \frac{1}{3} d_1.d_2.d_3$

Vòng 1

Vòng 2:

Ta có: 

$A'PC'B$ nội tiếp có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R=\frac{PB}{2}$

Theo định lí sin thì ta có: $A'C'=\frac{PB}{2}.sinB$
Tương tự thì ta rút ra được: $\frac{PB}{PC}=\frac{sinC}{sinB}=\frac{AB}{AC}$

Đề đầy đủ có cả trường hợp P nằm ngoài nữa.

Cho tam giác $ABC$, $P$ là một điểm trong tam giác, hình chiếu của $P$

lên $BC, CA, AB$ lần lượt là $A', B', C'$. Giả sử $A'B'=A'C$. Chứng minh rằng $\frac{PB}{AB}=\frac{PC}{AC}$

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=(x+y)\sqrt{1+\frac{2}{x^2y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{2}{z^2}}+\sqrt{\frac{x+y+z}{2xy+z^2}}$

Một hiện tượng thiên tai hiếm gặp T có xác suất xảy ra là 0.01. Một hôm, có 2 người A và B tới báo cáo với trung tâm dự báo thảm họa là họ đã nhìn thấy hiện tượng T ở đâu đó trong thị trấn. Biết xác suất A nói đúng là 0.9, xác suất B nói đúng là 0.8. Hãy tính xác suất T thực sự xảy ra ở thị trấn (sau khi biết lời khai của A và B ). Nêu ý tưởng tính toán.

Tham khảo bài 2 ở đây

Tìm số nguyên dương $a,b,n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $a^{2013}+b^{2013}=p^n$

Bài 1: Quy nạp chứng minh $x_n \in (1;2) \forall n$. Chuyển qua giới hạn ta có lim$x_n=\sqrt{2}$

$\boxed{\text{1}}$THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu (đề chung)

$\boxed{\text{2}}$THPT chuyên Thái Bình, tỉnh Thái Bình (đề chung)

$\boxed{\text{3}}$THPT chuyên Thái Bình, tỉnh Thái Bình (vòng 2)

$\boxed{\text{4}}$THPT chuyên Lê Hồng Phong, tỉnh  Nam Định (đề chung)

$\boxed{\text{5}}$THPT chuyên Lê Hồng Phong, tỉnh  Nam Định  (đề chuyên)

$\boxed{\text{6}}$THPTPTNK, TPHCM (vòng 1)

$\boxed{\text{7}}$THPT PTNK, TPHCM (vòng 2)

$\boxed{\text{8}}$THPT chuyên Hưng Yên, tỉnh Hưng Yên (đề chung ban tự nhiên)

$\boxed{\text{9}}$THPT chuyên Lê Quý Đôn tỉnh Quảng Trị

$\boxed{\text{10}}$THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

$\boxed{\text{11}}$THPT chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc

$\boxed{\text{12}}$THPT tỉnh Quảng Ngãi (đề chung)

$\boxed{\text{13}}$THPT tỉnh Tiền Giang(đề chung) 

$\boxed{\text{14}}$THPT tỉnh Thái Nguyên(đề chung)

$\boxed{\text{15}}$THPT chuyên Hoàng Văn Thụ, tỉnh Hòa Bình

$\boxed{\text{16}}$THPT Hoàng Văn Thụ tỉnh Hòa Bình (đề chung)

$\boxed{\text{17}}$THPT chuyên Trần Hưng Đạo, tỉnh Bình Thuận (đề chung)

$\boxed{\text{18}}$THPT tỉnh An Giang

$\boxed{\text{19}}$THPT chuyên Đại học Sư phạm TP HCM

$\boxed{\text{20}}$THPT chuyên Hùng Vương - Bình Dương 

$\boxed{\text{21}}$THPT chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng 

...TIẾP TỤC CẬP NHẬT...