Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


trieutuyennham nội dung

Có 461 mục bởi trieutuyennham (Tìm giới hạn từ 06-06-2016)



Sắp theo                Sắp xếp  

#718741 Tìm x

Đã gửi bởi trieutuyennham on 27-12-2018 - 21:44 trong Đại số

Tìm x biết: $\frac{1}{4x-2010}+\frac{1}{5x+2008}=\frac{1}{15x-2011}-\frac{1}{6x-2009}$

$pt\Leftrightarrow \frac{1}{5x+2008}+\frac{1}{6x-2009}=\frac{1}{15x-2011}-\frac{1}{4x-2010}$

$\Leftrightarrow \frac{11x-1}{(5x+2008)(6x-2009)}=\frac{11x-1}{(15x-2011)(4x-2010)}$ ...




#717835 đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=(x^{2}-1)^{2...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 25-11-2018 - 22:31 trong Hàm số - Đạo hàm

Tìm phương trình của tất cả các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=(x^{2}-1)^{2}$ tại đúng 2 điểm phân biệt




#717663 Bất đẳng thức

Đã gửi bởi trieutuyennham on 20-11-2018 - 21:01 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số a,b,c>0.Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}-ac+a^{2}}$ó

Ta có

$VT=\sum \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}=\sum \sqrt{b(\frac{a^{2}}{b}-a+b)}\leq \frac{b+\frac{a^{2}}{b}-a+b}{2}\leq VT$ (Do $\sum a\leq \sum \frac{a^2}{b}$)




#717144 $2x^{3}-x^{2}+\sqrt[3]{2x^{3}-3x...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 02-11-2018 - 20:37 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

$2x^{3}-x^{2}+\sqrt[3]{2x^{3}-3x+1}=3x+1+\sqrt[3]{x^{2}+2}$

 

Giúp mình giải bải toán này với ạ :wacko: :wacko:

PT $\Leftrightarrow 2x^3-x^2-3x-1+(\sqrt[3]{2x^{3}-3x+1}-\sqrt[3]{x^2+2})=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x^3-3x+1}-\sqrt[3]{x^2+2})(\sqrt[3]{(2x^3-3x+1)^2}-\sqrt[3]{2x^3-3x+1}.\sqrt[3]{x^2+2}+\sqrt[3]{(x^2+2)^{2}}+1)=0$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2+2}=\sqrt[3]{2x^3-3x+1}$




#717121 $P=9(\frac{1}{a^2}+\frac{1}...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 01-11-2018 - 21:20 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} min(a+b-c;b+c-a;c+a-b)\geq 0 \\ a+b+c=3 \end{matrix}\right.$.Tìm min 

$P=9(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})-32(a^2+b^2+c^2)$




#715508 $P=\frac{3}{2}|(x-y)(y-z)(z-x)|+xy+yz+zx$

Đã gửi bởi trieutuyennham on 13-09-2018 - 19:24 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x;y;z là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$. Tìm max

$P=\frac{3}{2}|(x-y)(y-z)(z-x)|+xy+yz+zx$

                                                                                                      -Triệu Tuyên Nhâm-




#713983 Một bài BĐT hay.

Đã gửi bởi trieutuyennham on 07-08-2018 - 15:53 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a2+b2+c2+abc=4. CMR:

                                                   $a+b+c\leq 3$

Bổ đề : với a;b;c không âm ta có bđt sau $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow 2^(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc)+1=9\geq (a+b+c)^{2}$ (qed)




#713612 Cho: $a,b,c,d> 0, c^{2}+d^{2}= (a^{2}+...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 31-07-2018 - 20:57 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho: $a,b,c,d> 0, c^{2}+d^{2}= (a^{2}+b^{2})^{3}. CMR \frac{a^{3}}{c}+\frac{b^{3}}{d}\geq 1$

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có

$VT\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{ac+bd}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}}=1$




#712890 Cho abc

Đã gửi bởi trieutuyennham on 20-07-2018 - 18:54 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a b c>0 Tìm min P=$\sum \frac{a^2}{b^2+bc+c^2}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$P=\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(\sum a^{2}b^{2})+abc(a+b+c)}\geq 1$




#712713 $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 17-07-2018 - 19:04 trong Bất đẳng thức và cực trị

Ta c/m : $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

$<=> (a+b+c+d)^2\geq 4a(b+c+d)$

(BĐT Cauchy nên đúng)

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c+d} =2$

Dấu bằng không xảy ra :)

Dấu bằng xảy ra khi (a;b;c;d)=(0;0;t;t) và các hoán vị




#712709 $a(1-b)>\frac{1}{4}$, $b(1-c)...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 17-07-2018 - 18:56 trong Bất đẳng thức và cực trị

$CMR$ với mọi $a, b, c\in (0; 1)$ luôn tồn tại một BĐT sai trong các BĐT sau: $a(1-b)>\frac{1}{4}$, $b(1-c)>\frac{1}{4}$, $c(1-a)>\frac{1}{4}$

Giả  sử tất cả các bđt đúng

ta suy ra $a(1-a).b(1-b).c(1-c)> \frac{1}{4^{3}}$\ 

Mặt khác theo AM-GM suy ra $a(1-a)\leq \frac{1}{4};b(1-b)\leq \frac{1}{4};c(1-c)\leq \frac{1}{4}$ suy ra đpcm




#712707 $\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 17-07-2018 - 18:48 trong Bất đẳng thức và cực trị

 

$\frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\geq \frac{16}{(a+b)^{2}}-\frac{8}{a+b}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}+\frac{ab}{4}\geq 1$

Mình không hiểu chỗ này.

 

Áp dụng bđt $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{8}{(a+b)^{2}}$

$P\geq \frac{16}{(a+b)^{2}}-\frac{8}{a+b}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}+\frac{ab}{4}\geq (\frac{4}{a+b}-1)^{2}+4ab+\frac{ab}{4}-1\geq 1$




#712632 \sum\frac{1}{\sqrt{1+8a}}

Đã gửi bởi trieutuyennham on 16-07-2018 - 15:31 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a, b, c$ là các số thực dương, thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq1$

Do abc=1 nên tồn tại x;y;z thỏa mãn$a=\frac{xy}{z^{2}};b=\frac{yz}{x^{2}};c=\frac{zx}{y^{2}}$

BĐT trở thành $\sum \frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}\geq 1$ ( IMO 2001)




#712630 $\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 16-07-2018 - 15:24 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x, y$ dương. Tìm $GTNN$ của $P=\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{(x+2y)^3+1}-1}+\frac{(2x+y)(2y+x)}{4}-\frac{8}{3(x+y)}$

Đặt $2x+y=a;2y+x=b$

$\Rightarrow P=\frac{2}{\sqrt{a^{2}+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{b^{3}+1}-1}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\geq \frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\geq \frac{16}{(a+b)^{2}}-\frac{8}{a+b}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}+\frac{ab}{4}\geq 1$




#711628 Cho x y z>0 va xy+yz+xz$\geq$3 Tim Min P= $\sum...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 26-06-2018 - 21:35 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x y z>0 va xy+yz+xz$\geq$3 Tim Min P= $\sum \frac{x^3}{\sqrt{y^2+3}}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$P=\sum \frac{x^{3}}{\sqrt{y^{2}+3}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{\sum x\sqrt{y^{2}+3}}\geq \frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}+9t}}$ với $t=\sum x^{2}\geq 3$

Dễ dàng cm $P\geq \frac{3}{2}$




#711563 Cho x y >1 Tìm Min A=$\frac{x^2}{y-1}+...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 25-06-2018 - 20:24 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x y >1 Tìm Min A=$\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}$

Theo AM-GM ta có

$A=\frac{x^{2}}{y-1}+4(y-1)+\frac{y^{2}}{x-1}++4(x-1)-4x-4y+8\geq 8$




#711465 $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 23-06-2018 - 19:22 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 25$$

$$\text{- Vasile Cirtoaje -}$$

p/s: Bất đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=\dfrac{1}{3}$ hoặc $a=b=\dfrac{1}{4}, c=\dfrac{1}{2}$ và các hoán vị. Ngoài cách dồn biến thông thường ra thì mình có tìm được 1 lời giải chỉ cần Cauchy-Schwarz, k biết còn cách nào không :D

mình có 1 cách dùng UCT và vornicu schur

biến đổi bđt về dạng

$\sum (\frac{1}{a}-24a^{2})\geq 1$ (1)

Bằng UCT tìm ra bđt sau

$\frac{1}{a}-24a^{2}\geq -25a+\frac{26}{3}\Leftrightarrow \frac{(3a-1)^{2}(3-8a)}{3a}\geq 0$

Như vậy $(1)\Leftrightarrow \sum \frac{(3a-1)^{2}(3-8a)}{3a}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{(2a-b-c)^{2}(3-8a)}{3a}\geq 0\Leftrightarrow \sum (\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-16)(a-c)(a-b)\geq 0$

Không mất tính tq giả sử $a\geq b\geq c$

Đặt $A=\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-16;B=\frac{4}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}-16;C=\frac{4}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-16$

Khi đó

$C\geq B\geq A$

Như vậy ta chỉ cấn cm $A\geq 0$

Ta có

$A=\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-16\geq \frac{(2+1+1)^2}{a+b+c}-16\geq0$

Vậy bđt được cm

P/s: bạn nêu cách dùng cauchy-schwarz cho mọi người tham khảo




#711185 CMR $x+y \geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 18-06-2018 - 19:26 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số dương a, b, x, y thỏa mãn xy=ax+by. CMR:

                          $x+y\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}$

Từ đk suy ra 

$1=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}$

Áp dụng C-S suy ra đpcm




#708965 CM: $\sum \frac{a^3+b^3}{ab+4} \geq 6...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 21-05-2018 - 20:56 trong Bất đẳng thức và cực trị

CM: $\sum \frac{a^3+b^3}{ab+4} \geq 6.$   Với a,b,c>0. và a+b+c=6.

Ta có

$\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{ab+6}\geq \sum \frac{\frac{(a+b)^{3}}{4}}{\frac{(a+b)^{2}}{4}+6}=\sum \frac{(a+b)^{3}}{(a+b)^{2}+16}$

Ta sẽ cm $\frac{t^{3}}{t^{2}+16}\geq t-2$ với t=a+b

Thật vậy BĐT $\Leftrightarrow (t-4)^{2}\geq 0$ (đúng)

tương tự ta có đpcm




#708779 $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3y$

Đã gửi bởi trieutuyennham on 19-05-2018 - 20:33 trong Bất đẳng thức và cực trị

cho x,y,z>0 và $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3y$

tìm min $P= \frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}$

Theo AM-GM ta có

$3y\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\Leftrightarrow 3y+6\geq x^{2}+1+y^{2}+4+z^{2}+1\Rightarrow 2x+y+2z\leq 6$

Mặt khác áp dụng BĐT $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{8}{(a+b)^{2}}$, ta có

$P= \frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}\geq \frac{8}{(x+1+\frac{y+2}{2})^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}\geq \frac{64}{(x+1+\frac{y+2}{2}+z+3)^{2}}\geq 1$




#708760 CM $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số chính phương

Đã gửi bởi trieutuyennham on 19-05-2018 - 15:39 trong Số học

Cho n nguyên dương sao cho  $2+\sqrt{12n^2+1}$ là số nguyên. CM $2+\sqrt{12n^2+1}$ là số chính phương

tại đây

https://diendantoanh...ố-chính-phương/




#708714 $\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 18-05-2018 - 20:50 trong Bất đẳng thức và cực trị

For fun

Cho a;b;c là các số thực không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR

$\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{abc}{8(ab+bc+ca)}\leq \frac{1}{3}$

 




#708702 [TOPIC] ÔN THI TỔ HỢP VÀ RỜI RẠC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 18-05-2018 - 18:56 trong Tài liệu - Đề thi

Bài 6: Trên mặt phẳng cho n điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ là khác nhau. Người ta nối mỗi điểm với điểm gần nhất với nó. CMR: Qua 1 điểm có không quá 5 đoạn thẳng




#708548 Cho a, b ,c ,d >0, tìm GTNN của P= \frac{a}{b+2c+3d...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 16-05-2018 - 19:28 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bạn có cách khác sử dựng BDT Bunhiacopski ko?

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có

$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a\sqrt{a^{2}+8bc}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{(a+b+c)(\sum a^{3}+24abc)}}$

ta sẽ cm 

$\sum a^{3}+24abc \leq (a+b+c)^{3}\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ (đúng theo AM-GM)

Vậy BĐT được cm




#708501 $3(x+2\sqrt{x^2+1})=-3x^2-2\sqrt{3}x+3...

Đã gửi bởi trieutuyennham on 16-05-2018 - 09:09 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải pt: $3(x+2\sqrt{x^2+1})=-3x^2-2\sqrt{3}x+3\sqrt{3}-1$

Ta có

$VP=-3x^{2}-2\sqrt{3}x+3\sqrt{3}-1=-(\sqrt{3}x+1)^{2}+3\sqrt{3}\leq 3\sqrt{3}$

Ta chỉ cần cm $VT\geq 3\sqrt{3}$ là xong