Tìm x biết: $\frac{1}{4x-2010}+\frac{1}{5x+2008}=\frac{1}{15x-2011}-\frac{1}{6x-2009}$

$pt\Leftrightarrow \frac{1}{5x+2008}+\frac{1}{6x-2009}=\frac{1}{15x-2011}-\frac{1}{4x-2010}$

$\Leftrightarrow \frac{11x-1}{(5x+2008)(6x-2009)}=\frac{11x-1}{(15x-2011)(4x-2010)}$ ...

Tìm phương trình của tất cả các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=(x^{2}-1)^{2}$ tại đúng 2 điểm phân biệt

Cho các số a,b,c>0.Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}-ac+a^{2}}$ó

Ta có

$VT=\sum \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}=\sum \sqrt{b(\frac{a^{2}}{b}-a+b)}\leq \frac{b+\frac{a^{2}}{b}-a+b}{2}\leq VT$ (Do $\sum a\leq \sum \frac{a^2}{b}$)

$2x^{3}-x^{2}+\sqrt[3]{2x^{3}-3x+1}=3x+1+\sqrt[3]{x^{2}+2}$

 

Giúp mình giải bải toán này với ạ

PT $\Leftrightarrow 2x^3-x^2-3x-1+(\sqrt[3]{2x^{3}-3x+1}-\sqrt[3]{x^2+2})=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x^3-3x+1}-\sqrt[3]{x^2+2})(\sqrt[3]{(2x^3-3x+1)^2}-\sqrt[3]{2x^3-3x+1}.\sqrt[3]{x^2+2}+\sqrt[3]{(x^2+2)^{2}}+1)=0$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2+2}=\sqrt[3]{2x^3-3x+1}$

Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} min(a+b-c;b+c-a;c+a-b)\geq 0 \\ a+b+c=3 \end{matrix}\right.$.Tìm min 

$P=9(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})-32(a^2+b^2+c^2)$

Cho x;y;z là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$. Tìm max

$P=\frac{3}{2}|(x-y)(y-z)(z-x)|+xy+yz+zx$

                                                                                                      -Triệu Tuyên Nhâm-

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a²+b²+c²+abc=4. CMR:

                                                   $a+b+c\leq 3$

Bổ đề : với a;b;c không âm ta có bđt sau $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow 2^(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc)+1=9\geq (a+b+c)^{2}$ (qed)

Cho: $a,b,c,d> 0, c^{2}+d^{2}= (a^{2}+b^{2})^{3}. CMR \frac{a^{3}}{c}+\frac{b^{3}}{d}\geq 1$

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có

$VT\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{ac+bd}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}}=1$

Cho a b c>0 Tìm min P=$\sum \frac{a^2}{b^2+bc+c^2}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$P=\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(\sum a^{2}b^{2})+abc(a+b+c)}\geq 1$

Ta c/m : $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

$<=> (a+b+c+d)^2\geq 4a(b+c+d)$

(BĐT Cauchy nên đúng)

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c+d} =2$

Dấu bằng không xảy ra

Dấu bằng xảy ra khi (a;b;c;d)=(0;0;t;t) và các hoán vị

$CMR$ với mọi $a, b, c\in (0; 1)$ luôn tồn tại một BĐT sai trong các BĐT sau: $a(1-b)>\frac{1}{4}$, $b(1-c)>\frac{1}{4}$, $c(1-a)>\frac{1}{4}$

Giả  sử tất cả các bđt đúng

ta suy ra $a(1-a).b(1-b).c(1-c)> \frac{1}{4^{3}}$\ 

Mặt khác theo AM-GM suy ra $a(1-a)\leq \frac{1}{4};b(1-b)\leq \frac{1}{4};c(1-c)\leq \frac{1}{4}$ suy ra đpcm

 

$\frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\geq \frac{16}{(a+b)^{2}}-\frac{8}{a+b}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}+\frac{ab}{4}\geq 1$

Mình không hiểu chỗ này.

 

Áp dụng bđt $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{8}{(a+b)^{2}}$

$P\geq \frac{16}{(a+b)^{2}}-\frac{8}{a+b}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}+\frac{ab}{4}\geq (\frac{4}{a+b}-1)^{2}+4ab+\frac{ab}{4}-1\geq 1$

Cho $a, b, c$ là các số thực dương, thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq1$

Do abc=1 nên tồn tại x;y;z thỏa mãn$a=\frac{xy}{z^{2}};b=\frac{yz}{x^{2}};c=\frac{zx}{y^{2}}$

BĐT trở thành $\sum \frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}\geq 1$ ( IMO 2001)

Cho $x, y$ dương. Tìm $GTNN$ của $P=\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{(x+2y)^3+1}-1}+\frac{(2x+y)(2y+x)}{4}-\frac{8}{3(x+y)}$

Đặt $2x+y=a;2y+x=b$

$\Rightarrow P=\frac{2}{\sqrt{a^{2}+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{b^{3}+1}-1}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\geq \frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\geq \frac{16}{(a+b)^{2}}-\frac{8}{a+b}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}+\frac{ab}{4}\geq 1$

Cho x y z>0 va xy+yz+xz$\geq$3 Tim Min P= $\sum \frac{x^3}{\sqrt{y^2+3}}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$P=\sum \frac{x^{3}}{\sqrt{y^{2}+3}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{\sum x\sqrt{y^{2}+3}}\geq \frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}+9t}}$ với $t=\sum x^{2}\geq 3$

Dễ dàng cm $P\geq \frac{3}{2}$

Cho x y >1 Tìm Min A=$\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}$

Theo AM-GM ta có

$A=\frac{x^{2}}{y-1}+4(y-1)+\frac{y^{2}}{x-1}++4(x-1)-4x-4y+8\geq 8$

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+48(ab+bc+ca) \geq 25$$

$$\text{- Vasile Cirtoaje -}$$

p/s: Bất đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=\dfrac{1}{3}$ hoặc $a=b=\dfrac{1}{4}, c=\dfrac{1}{2}$ và các hoán vị. Ngoài cách dồn biến thông thường ra thì mình có tìm được 1 lời giải chỉ cần Cauchy-Schwarz, k biết còn cách nào không

mình có 1 cách dùng UCT và vornicu schur

biến đổi bđt về dạng

$\sum (\frac{1}{a}-24a^{2})\geq 1$ (1)

Bằng UCT tìm ra bđt sau

$\frac{1}{a}-24a^{2}\geq -25a+\frac{26}{3}\Leftrightarrow \frac{(3a-1)^{2}(3-8a)}{3a}\geq 0$

Như vậy $(1)\Leftrightarrow \sum \frac{(3a-1)^{2}(3-8a)}{3a}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{(2a-b-c)^{2}(3-8a)}{3a}\geq 0\Leftrightarrow \sum (\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-16)(a-c)(a-b)\geq 0$

Không mất tính tq giả sử $a\geq b\geq c$

Đặt $A=\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-16;B=\frac{4}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}-16;C=\frac{4}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-16$

Khi đó

$C\geq B\geq A$

Như vậy ta chỉ cấn cm $A\geq 0$

Ta có

$A=\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-16\geq \frac{(2+1+1)^2}{a+b+c}-16\geq0$

Vậy bđt được cm

P/s: bạn nêu cách dùng cauchy-schwarz cho mọi người tham khảo

Cho các số dương a, b, x, y thỏa mãn xy=ax+by. CMR:

                          $x+y\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}$

Từ đk suy ra 

$1=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}$

Áp dụng C-S suy ra đpcm

CM: $\sum \frac{a^3+b^3}{ab+4} \geq 6.$   Với a,b,c>0. và a+b+c=6.

Ta có

$\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{ab+6}\geq \sum \frac{\frac{(a+b)^{3}}{4}}{\frac{(a+b)^{2}}{4}+6}=\sum \frac{(a+b)^{3}}{(a+b)^{2}+16}$

Ta sẽ cm $\frac{t^{3}}{t^{2}+16}\geq t-2$ với t=a+b

Thật vậy BĐT $\Leftrightarrow (t-4)^{2}\geq 0$ (đúng)

tương tự ta có đpcm

cho x,y,z>0 và $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3y$

tìm min $P= \frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}$

Theo AM-GM ta có

$3y\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\Leftrightarrow 3y+6\geq x^{2}+1+y^{2}+4+z^{2}+1\Rightarrow 2x+y+2z\leq 6$

Mặt khác áp dụng BĐT $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{8}{(a+b)^{2}}$, ta có

$P= \frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}\geq \frac{8}{(x+1+\frac{y+2}{2})^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}\geq \frac{64}{(x+1+\frac{y+2}{2}+z+3)^{2}}\geq 1$

Cho n nguyên dương sao cho  $2+\sqrt{12n^2+1}$ là số nguyên. CM $2+\sqrt{12n^2+1}$ là số chính phương

tại đây

https://diendantoanh...ố-chính-phương/

For fun

Cho a;b;c là các số thực không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR

$\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{abc}{8(ab+bc+ca)}\leq \frac{1}{3}$

Bài 6: Trên mặt phẳng cho n điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ là khác nhau. Người ta nối mỗi điểm với điểm gần nhất với nó. CMR: Qua 1 điểm có không quá 5 đoạn thẳng

Bạn có cách khác sử dựng BDT Bunhiacopski ko?

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có

$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a\sqrt{a^{2}+8bc}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{(a+b+c)(\sum a^{3}+24abc)}}$

ta sẽ cm 

$\sum a^{3}+24abc \leq (a+b+c)^{3}\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ (đúng theo AM-GM)

Vậy BĐT được cm

Giải pt: $3(x+2\sqrt{x^2+1})=-3x^2-2\sqrt{3}x+3\sqrt{3}-1$

Ta có

$VP=-3x^{2}-2\sqrt{3}x+3\sqrt{3}-1=-(\sqrt{3}x+1)^{2}+3\sqrt{3}\leq 3\sqrt{3}$

Ta chỉ cần cm $VT\geq 3\sqrt{3}$ là xong