Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


I am the King nội dung

Có 1 mục bởi I am the King (Tìm giới hạn từ 25-09-2016)


Sắp theo                Sắp xếp  

#687982 Cmr:$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}...

Đã gửi bởi I am the King on 18-07-2017 - 22:59 trong Bất đẳng thức và cực trị

Do tính thuần nhất ta có thể chuẩn hóa $abc=1$.

Suy ra tồn tại 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} a=\frac{x}{y}\\ b=\frac{z}{x}\\ c=\frac{y}{z}\end{matrix}\right.$

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh:
$\sum \frac{y^2}{x^2+yz}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Vasc ta có:

$\sum \frac{y^2}{x^2+yz}\geq \frac{(\sum y^2)^2}{\sum x^2y^2+\sum y^3z}\geq \frac{(\sum y^2)^2}{\frac{1}{3}.(\sum y^2)^2+\frac{1}{3}(\sum y^2)^2}=\frac{3}{2}$

Dấu $''=''$ xảy ra khi $a=b=c=1$