Mình không xem được đề bạn ơi

Đó là tổng hoán vị hay tổng đối xứng thế bạn 

Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số dương ta có

$n+1+n>2 \sqrt{n\left ( n +1\right )}$

$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n\left ( n+1 \right )}}=\frac{1}{2}.\left (\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}  \right )$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{2}-1}{2+1}<\frac{1}{2}\left (1- \frac{1}{\sqrt{2}} \right )$

1) (Crux Math) Cho các số thực dương $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}$ $\left ( n\geqslant 2 \right )$ sao cho $x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}=1$. CMR:

$\sum_{j=1}^{n}\frac{x_{j}}{\sqrt{1-x_{j}}}\geqslant \frac{\sum_{j=1}^{n}\sqrt{x_{j}}}{\sqrt{n-1}}$

2) (Crux Math) Cho các số dương x,y,z.CMR:
$\frac{x}{\sqrt{x+y}}+\frac{y}{\sqrt{y+z}}+\frac{z}{\sqrt{z+x}}\geqslant \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{2}}$

Giúp em làm 2 bài trên vs <3

đề bị lỗi bạn ơi mình không xem được

Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số dương

$\frac{a^{4}}{b\left ( a+c \right )^{2}}+\frac{2\left ( a+c \right )}{8}+\frac{b}{4}\geqslant a$

Ta có: a,b,c>0 nên theo bđt AM-GM $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geqslant 3abc$ nên $VT\geqslant 0$

Xét $b+c \leqslant 2a$ Thì ta có $VT\geqslant 0$ và $VP \leqslant 0$ nên ta có đpcm

Xét $b+c \geqslant 2a$ BĐT đã cho tương đương với 

$4\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{3}$

$\Leftrightarrow 2\left ( a+b+c \right )\left [ \left ( b-a \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2} +\left ( b-c \right )^{2}\right ]\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{3}$

Vì a dương và $2\left ( b-c \right )^{2}\geqslant 0$ nên ta có 

$a+b+c\geqslant b+c-2a; 2\left [ \left ( b-a \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2} +\left ( b-c \right )^{2}\right ]\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{2}+2\left ( b-c \right )^{2}\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{2}$

Nhân vế theo vế ta có ĐPCM

Từ gt $\Rightarrow 9-d=a+b+c \wedge 27-d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Áp dụng bđt phụ $ 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\geqslant \left ( a+b+c \right )^{2}$

$\Rightarrow 3\left(27-d^{2}\right)\geqslant \left(9-d\right)^{2}$

Bài 3) Mình nhớ gt phải có cả $x^{2}+y^{2}=1$ chứ bạn nhỉ ?

Nếu vậy mình xin giải bài toán như sau

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có

$x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\leqslant \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x+y+2 \right )}=\sqrt{x+y+2}$

Ta có:

$\left ( x+y \right )^{2}\leqslant 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )$

4) Chỗ kia phải là $\left | 2-x \right |$ chứ bạn nhỉ ?

Ta có : 

$\sqrt{5+5x^{2}}\geqslant \left | x+2 \right |$

Bài 2: Đk $x\geqslant2 ; y\geqslant3; z\geqslant5$

Áp dụng bđt AM-GM

$x-2+1\geqslant 2 \sqrt{x-2}$

Áp dụng bđt cauchy cho n số:

$\frac{a_{1}}{a_{1}+1}+\frac{a_{2}}{a_{2}+1}+\frac{a_{3}}{a_{3}+1}+...+\frac{a_{n}}{a_{n}+1}\geqslant n\sqrt[n]{\frac{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}}{\left ( a_{1}+1 \right )\left ( a_{2}+1 \right )\left ( a_{3}+1 \right )...\left ( a_{n}+1 \right )}}$

$\frac{1}{a_{1}+1}+\frac{1}{a_{2}+1}+\frac{1}{a_{3}+1}+...+\frac{1}{a_{n}+1}\geqslant n\sqrt[n]{\frac{1}{\left ( a_{1}+1 \right )\left ( a_{2}+1 \right )\left ( a_{3}+1 \right )...\left ( a_{n}+1 \right )}}$

Cộng theo vế ta có ĐPCM

Dấu "=" xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

Từ giả thiết ta có $xy+yz+zx=xyz$

Áp dụng bđt cauchy cho 2 số y,z dương ta có: 

$y+z \geqslant 2 \sqrt{yz}$

$\Rightarrow x(y+z) \geqslant 2 x\sqrt{yz}$

$\Rightarrow  xy+yz+zx=xyz\geqslant 2x\sqrt{yz}+yz$

$\Leftrightarrow x\left(yz+x\right)\geqslant \left ( x+\sqrt{yz} \right )^{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{yz+x}\geqslant \sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}$

CMMT ta cũng có: $\sqrt{y+xz}\geqslant \sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}};\sqrt{z+xy}\geqslant \sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}$

Cộng theo vế lại ta có : $\sum \sqrt{x+yz}\geqslant \sum \sqrt{x}+\sum \sqrt{\frac{yz}{x}}$

$\Leftrightarrow \sum \sqrt{x+yz}\geqslant \sum \sqrt{x}+\sqrt{xyz}$ (Vì $xy+yz+zx=xyz$)

Dấu "=" khi x=y=z

Ta có:
$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+\left ( b+c \right )^{3}}}=\sqrt{\frac{a^{4}}{\left ( a^{2}+ab+ac \right )\left ( a^{2}-a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^{2}\right ) }}$

Áp dụng BĐT Cauchy

$\sqrt{\frac{a^{4}}{\left ( a^{2}+ab+ac \right )\left ( a^{2}-a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^{2}\right ) }}\geqslant \frac{2a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}$

Mà $2bc \leqslant b^{2}+c^{2}$ 

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+\left ( b+c \right )^{3}}}\geqslant \frac{a^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

CMTT ta cũng có: $\sqrt{\frac{b^{3}}{b^{3}+\left ( a+c \right )^{3}}}\geqslant \frac{b^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} ; \sqrt{\frac{c^{3}}{c^{3}+\left ( a+b \right )^{3}}}\geqslant \frac{c^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cộng vế lại ta có ĐPCM. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Vì đây là bất đẳng thức thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa a+b+c=1

Thay vào biểu thức ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\sum_{cyc}\frac{\left (1-2a  \right )^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{3}{5}$

Ta có $\frac{\left (1-2a  \right )^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{23}{25}-\frac{54a}{25} $

$\Leftrightarrow \frac{\left ( 3a-1 \right )^{2}\left ( 6a+1 \right )}{25\left ( 1-2a+2a^{2} \right )}\geqslant 0(Đúng,  a\geqslant 0)$

Chứng minh tương tự ta cũng có $\frac{\left (1-2b  \right )^{2}}{\left ( 1-b \right )^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{23}{25}-\frac{54b}{25}  $;$\frac{\left (1-2c  \right )^{2}}{\left ( 1-c \right )^{2}+c^{2}}\geqslant \frac{23}{25}-\frac{54c}{25}  $

Cộng theo vế lại ta được: $\sum_{cyc}\frac{\left (1-2a  \right )^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{69}{25}-\frac{54\left(a+b+c\right)}{25}=\frac{69}{25}-\frac{54}{25}=\frac{3}{5}(Đpcm)$

Dấu "=" khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Các bác giúp e bài này
a , b là các số dương.
a.b > 2016.a+2017.b
CMR: a+b>[(căn(2016)+căn(2017)]^2
P/s: các bạn thông cảm mình chưa gõ được công thức. Thanks

Cách khác: Từ gt $\Rightarrow 1>\frac{2016}{b}+\frac{2017}{a}$

$\Leftrightarrow a+b>\frac{2016\left(a+b\right)}{b}+\frac{2017\left(a+b\right)}{a}$

$\Leftrightarrow a+b>2016+2017+\frac{2016a}{b}+\frac{2017b}{a}$

Áp dụng bđt cauchy cho 2 số dương $\frac{2016a}{b}$ và $\frac{2017b}{a}$ ta có 

$\frac{2016a}{b}+\frac{2017b}{a}>2\sqrt{2016.2017}$

$\Rightarrow a+b>2016+2017+2\sqrt{2016.2017}=\left(\sqrt{2016}+\sqrt{2017}\right)^{2}(Đpcm)$

Bài 118: $\sqrt{2x^{2}+4x+7}=x^{4}+4x^{3}+3x^{2}-2x-7$

$\Leftrightarrow 2x^{2}+4x+7+\sqrt{2x^{2}+4x+7}=x^{2}\left(x+2\right)^2+x\left(x+2\right )$

Đặt $\sqrt{2x^{2}+4x+7}=a>0$, $x\left(x+2\right )=b$

PT đã cho trở thành $a^2+a=b^2+b$

$\Rightarrow a=b$ hay $a=-1-b$

$TH1:a=b$ $\Rightarrow \sqrt{2x^{2}+4x+7}=x\left(x+2\right )$

$\Leftrightarrow x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x-7=0(ĐK: x\geqslant 0 .hay. x\leqslant  -2)$

$\Leftrightarrow x=-1-\sqrt{2\left(1+\sqrt{2}\right)}(Nhận).hay .x=-1+\sqrt{2\left(1+\sqrt{2}\right)}(Nhận)$

$TH2:a=-1-b$  $\Rightarrow \sqrt{2x^{2}+4x+7}=-\left(x+1\right)^{2}$

$\Rightarrow x \in \varnothing$

Vậy PT có No S={$-1+\sqrt{2\left(1+\sqrt{2}\right)};-1-\sqrt{2\left(1+\sqrt{2}\right)}$} @@

Giả sử $n^{2}+n+1 \vdots 9$

$\Rightarrow n^{2}+n+1 \vdots 3$

Ta có :$n^{2}+n+1=\left ( n+2 \right )^{2}-3\left ( n+1 \right )$

Vì $n^{2}+n+1 \vdots 3$

$\Rightarrow \left ( n+2 \right )^{2} \vdots 3$

$\Rightarrow \left ( n+2 \right ) \vdots 3$

$\Rightarrow \left ( n+2 \right )^{2} \vdots 9$

Mà $n^{2}+n+1 \vdots 9$

$\Rightarrow 3\left ( n+1 \right ) \vdots 9$ (Vô lý)

$\Rightarrow ĐPCM$

em mới đậu chuyên toán r ạ nhưng mà lên lớp 10 nhiều môn dí quá thời gian học toán của em bị giảm đáng kể

BĐT đã cho tương đương với:

$abc\geqslant  \left(a+b-c\right) \left(a+c-b\right) \left(b+c-a\right)$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $a\geqslant b\geqslant c$

TH1:$a+b-c<0$=> (1) đúng

TH2:$a+b-c\geqslant 0$ áp dụng bđt cauchy ta có:
$\left ( a+b-c \right )\left ( a+c-b \right )\leqslant \left ( \frac{a+b-c+a+c-b}{2} \right )^{2}=a^{2}$

Tương tự ta cũng có: $\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )\leqslant b^{2}$ ; $\left ( a+c-b \right )\left ( b+c-a \right )\leqslant c^{2}$

Nhân theo từng vế ta có ĐPCM

Giả thiết phải là x,y,z mới đúng chứ bạn nhỉ ?

Vì x,y,z>0 và xyz=1 nên tồn tại a,b,c>0 sao cho $x=\frac{a}{b}; y=\frac{b}{c}; z=\frac{c}{a}$ 

BĐT đã cho tương đương với: 
$\left ( a+c-b \right )\left ( b+a-c \right )\left ( c+b-a \right )\leqslant abc (1)$

$Đặt: a+c-b=a' ; b+a-c=b' ; c+b-a=c'$

BĐT (1) tương đương với: $8a'b'c' \leqslant \left(a'+b'\right)\left(b'+c'\right)\left(a'+c'\right)$

BĐT trên có thể dễ dàng cm bằng bđt Am-Gm

Cách khác: 

Ta có $b+c\geqslant 16abc$

$\Leftrightarrow b+c-16abc\geqslant0$

$\Leftrightarrow b+c-16bc\left(1-b-c \right )\geqslant0$

$\Leftrightarrow c\left(16b^{2}-8b +1\right )+b\left( 16c^{2}-8c+1\right )\geqslant0$

$\Leftrightarrow c\left(4b-1 \right )^{2}+b\left(4c-1 \right )^{2}\geqslant 0 (Đúng)$

Dấu "=" xảy ra khi $b=c= \frac{1}{4}; a=\frac{1}{2}$ ^^

Áp dụng bđt cauchy cho 3 số dương a+1,b+1,c+1 ta có 

$\left ( \frac{a+1+b+1+c+1}{3} \right )^{3}\geqslant \left ( \frac{3\sqrt[3]{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}}{3} \right )^{3}=\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )$

Ta có: $\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )\geqslant \left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}$

$\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^{2}}$

Áp dụng bđt cauchy cho 3 số a,b,c dương ta có: $a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}$ ; $ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{\left(abc\right)^{2}}$

Áp dụng bđt cauchy cho 2 số dương 1; $\sqrt[3]{abc}$ ta có: $\left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}\geqslant \left ( 2\sqrt[3]{\sqrt{abc}} \right )^{3}=8\sqrt{abc}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Điều kiện của a,b,c là gì thế bạn ?

Cái đó là tìm min của biểu thức, không phải của phương trình nha bạn
Áp dụng bđt bunhia ta có 

$\sqrt{\left (  \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( x-4 \right )^{2}\right )\left ( \frac{16}{9}+\frac{25}{9} \right )} .\frac{3}{\sqrt{41}}\geqslant \left (\frac{16}{3}-\frac{x}{3} \right ).\frac{3}{\sqrt{41}}$

$\sqrt{\left (  \left ( x-5 \right )^{2}+\left ( x+1 \right )^{2}\right )\left ( \frac{64}{9}+\frac{100}{9} \right )} .\frac{3}{2\sqrt{41}}\geqslant \left (\frac{2x}{3}+\frac{50}{3} \right ).\frac{3}{2\sqrt{41}}$

$\Rightarrow \sqrt{\left(x-1\right)^{2}+\left(x-4\right)^{2}}+\sqrt{\left(x-5\right)^{2}+\left(x+1\right)^{2}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{41}}\left(\frac{x}{3}-\frac{x}{3}+\frac{16}{3}+\frac{25}{3}\right)=\sqrt{41}$

Dấu "=" xảy ra khi x= $\frac{7}{3}$