$a,b,c,d>0$ thỏa $abcd=1$.CMR:$\frac{1}{1+a+ab}+ \frac{1}{1+b+bc}+ \frac{1}{1+c+cd}+ \frac{1}{1+d+ad}$

Tìm $a,b$ là số tự nhiên sao cho $a^2b+a+b \vdots ab^2+b+7$

Mình xin đóng góp 1 bài (Sputnik hình học):

Cho tia $Ax$ và một điểm $E$ khác điểm $A$, $E \epsilon Ax$. Từ $E$ vẽ tia $Ay$. Hai điểm $C,D$ phân biệt, khác điểm $E$, cho trước trên tia $Ey$. Một điểm $B$ chạy trên tia $Ax$. Các đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau ở $M$, $AD$ và $BC$ cắt nhau ở $N$.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn cắt tia $Ey$ tại một điểm $F$ cố định.

b) Hãy xác định một vị trí của điểm $B$ trên tia $Ex$ sao cho các tam giác $MCD$ và $NCD$ tương ứng có diện tích bằng nhau.

1.Từ một điểm nằm ngoài hình tròn, kẻ một tiếp tuyến $a$ và một cát tuyến. Tính độ dài cát tuyến biết tỉ số của phần cát tuyến nằm ngoài hình tròn với phần nằm trong hình tròn bằng $m:n$.

2.Một đỉnh của một tam giác nằm trên đường tròn đi qua các trung điểm của hai cạnh kề và trọng tâm của tam giác. Tính đường trung tuyến kẻ từ đỉnh này, biết cạnh đối diện với nó có độ dài $a$.

Tìm quỹ tích hình học của các điểm mà hiệu hai bình phương các khoảng cách từ điểm này tới hai điểm cho trước là một đại lượng cố định

1. Trong một tam giác, hai trung tuyến ứng với hai cạnh có độ dài là $6cm$ và $8cm$. Tính độ dài các cạnh của tam giác đó.

   Vậy trong một tam giác, khi biết được độ dài $2$ đường trung tuyến bất kỳ của nó, có thể tính được độ dài đường trung tuyến còn lại mà không cần tính các cạnh của tam giác hay không?

Thử dựa vào cái này xem sao:https://diendantoanh...ia-hết-cho-n2/

P/S: Bạn lấy bài này ở đâu đấy?

À mình lấy trong sách "Số học và toán rời rạc của Nhà xuất bản đại học sư phạm TP HCM", cảm ơn bạn nhìu

Cho 1 $(O)$ và $2$ điểm $A$ và $B$. Qua $2$ điểm này dựng các đường tròn cắt hoặc tiếp xúc với $(O)$. Chứng minh rằng các dây cung nối hai giao điểm của mỗi đường tròn này với $(O)$, cũng như tiếp tuyến chung của một trong số các đường tròn này với $(O)$, cắt nhau (khi kéo dài) tại $1$ điểm nằm trên phần kéo dài của $AB$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $(n-2)!$ không chia hết cho $n^2$

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ có $BC$ là đường kính. $AH \perp BC$. Dựng $(I)$ đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $M$ và $N$ Kẻ đường kính $AK$. $E$ là trung điểm $KH$. CMR $E$ là tâm $(MNC)$.

Cho $(O)$, $A$ nằm ngoài $(O)$ sao cho $OA=2R$, kẻ tiếp tuyến $AB,AC$. Dây $BC \perp OA$ tại $H$. $HD \perp AB$ tại $D$. $AE \perp CD$ tại $E$. $F$ là trung điểm $OB$. CMR:$A,E,F$ thẳng hàng.

      

     Chú ý rằng từ $n'+899\leq n+999+899< n+1899$ nên các số ở trong dãy (2) còn nằm trong dãy (1).

    

Bạn ơi mình hơi lúng túng phần này, bạn giải thích rõ hơn cho mình được không?

"Chú ý rằng từ n′+899≤n+999+899<n+1899n′+899≤n+999+899<n+1899 nên các số ở trong dãy (2) còn nằm trong dãy (1)."

Bạn ơi, mình hơi bị lúng túng phần này, bạn giải thích rõ hơn cho mình được không?

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $AC$ ra phía ngoài tam giác. Qua $A$ vẽ cát tuyến $MAN$ ($M$ thuộc đường tròn đường kính $AB$, $N$ thuộc đường tròn đường tròn đường kính $AC$). Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $MN$ khi $MAN$ quay quanh $A$.

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $AC$ ra phía ngoài tam giác. Qua $A$ vẽ cát tuyến $MAN$ ($M$ thuộc đường tròn đường kính $AB$, $N$ thuộc đường tròn đường tròn đường kính $AC$). Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $MN$ khi $MAN$ quay quanh $A$.

Cho đường thẳng $d$. Dựng 2 đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc nhau và tiếp xúc với $d$. Tìm cách dựng một đường tròn vừa tiếp xúc với $2$ đường tròn đã cho và tiếp xúc với $d$

Giải phương trình:

$\sqrt[3]{13-x}+\sqrt[3]{22+x}=5$

$\sqrt[3]{x+1}=\sqrt{x-3}$

Mình xin đóng góp bài này: $CMR$: trong $1990$ số tự nhiên liên tiếp tồn tại một số có tổng các chữ số chia hết cho $27$.

Hình đính kèm 

À

DUONGtron.png

 

nhận thấy tứ giác CDOE nội tiếp

dễ dàng chứng minh được $\Delta CEO$ cân ở E

kẻ EK vuông góc với CO, EH vuông góc với DB

=> K là trung điểm CO

=> OK=$\frac{1}{2}$CO=$\frac{1}{2}$R

có $\widehat{HEO}=\widehat{ODE}=\widehat{CDE}=\widehat{COE}$

=> $\Delta EKO=\Delta OHE$

=> EH=OK=$\frac{1}{2}$R không đổi

=> E chuyển động trên đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng bằng $\frac{1}{2}$R

À bạn ơi, bạn cho mình biết giới hạn quỹ tích luôn được không ?

Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, $C$ là điểm di động trên nửa đường tròn. Đường thẳng vuông góc với tia phân giác $\widehat {ADC}$ cắt tia $DC$ tại $E$. CMR: khi $C$ di động trên nửa đường tròn thì $E$ cũng di chuyển trên một đường cố định.

Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. $C$ là một điểm di động trên nửa đường tròn, $D$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $C$ với $AB$. $E$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến tia phân giác của $\widehat {ADC}$. Tìm quỹ tích điểm $E$ khi $C$ di động trên nửa đường tròn

Với mọi $n>0$, chứng minh rằng nếu $2^n+1$ là số nguyên tố thì $n$ có dạng là $2^m$. Có nghĩa là nếu $2^n+1$ là số nguyên tố thì nó phải có dạng là $2^{2^m}+1$

Kẻ OK vuông góc với CD.$\Rightarrow K$ là trung điểm của CD(Liên hệ giữa đường kính và dây)(1)

Dễ thấy $\lozenge AHKB$ là hình thang có O là trung điểm của AB

OK song song vs 2 cạnh đáy nên k là trung điểm của HK(2)

Từ(1) và (2) ta có đpcm

theo mình đoán thì AB là đường kính

$AB$ là đường kính, mình sơ suất quá nên ghi thiếu đề. Ủa mà bạn ơi, $K$ là chân đường vuông góc kẻ từ $B$ mà bạn, vậy sao kẻ $OK$ vuông góc $CD$ được?

Cho đường tròn tâm $O$ và dây $CD$, $AB$ là đường kính. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ xuống $CD$. Chưng minh $CH=DK$