Bài 1:

   a) ĐKXĐ: $x+xy;y+yz;z+zx\neq -1$.

  Ta có: $T=2018(\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx})$.

•    $\frac{1}{1+x+xy}=\frac{xyz}{x+xy+xyz}=\frac{yz}{yz+y+1}$.
•    $\frac{1}{1+z+zx}=\frac{xyz}{xyz+z+zx}=\frac{xy}{xy+x+1}=\frac{xy}{xy+x+xyz}=\frac{y}{y+1+yz}$.

   => P=2018.

  b) Đặt A=$3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5$ (n là số tự nhiên).

      Dễ dàng cm đc A chia hết cho 2.

      Ta có: $2^{4n+1}=16^{n}.2\equiv 2(mod 10)$ suy ra $2^{4n+1}=10k+2$ (k là số tự nhiên).

                $3^{2^{4n+1}}=3^{10k+2}=9.(3^{5})^{2k}\equiv 9(mod11)$.

                $3^{4n+1}=3.81^{n}\equiv 3(mod10)$ suy ra $3^{4n+1}=10m+3$ (m là số tự nhiên).

                $2^{3^{4n+1}}=2^{10m+3}=8.32^{2m}\equiv 8(mod11)$.

      Suy ra $A\equiv 0(mod11)$.

      Mà (11;2)=1 => đpcm.

 Khi cm biểu thức với số mũ lớn thì thường lm thế nào v bạn

 Bài 1: Cho a = 123456789. Hãy so sánh $2012^{9^{9^{a}}}+2013^{a^{a^{9}}}$.

   Bài 1; Cho m, n là 2 số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $3^{m}+5^{n}$ chia hết cho 8. CMR: $(3^{n}+5^{m})\vdots 8$.

Đề 2

    Câu 1: Cho biểu thức A= $(\frac{x^{3}-1}{x^{2}-x}+\frac{x^{2}-4}{x^{2}-2x}-\frac{2-x}{x}):\frac{x+1}{x}; x\neq 0;x\neq 1;x\neq 2;x\neq -1$.

                1. Rút gọn biểu thức A.

                2. Tính A biết x thỏa mãn $x^{3}-4x^{2}+3x=0$.

    Câu 2: 1. Tìm m sao cho phương trình (ẩn x): (m-1)x + 3m -2 = 0 có nghiệm duy nhất thỏa mãn $x\geq 1$.

                2. Giải phương trình: $x^{2}+\frac{9x^{2}}{(x+3)^{2}}=40$

    Câu 3: 1. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: $x^{2}+8y^{2}+4xy-2x-4y=4$.

                2. Cho đa thức h(x) bậc 4, hệ số cao nhất là 1, biết: h(1) = 2; h(2) = 5; h(4) = 17; h(-3) = -10.\

                3. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn: $2^{x}.x^{2}=9y^{2}+6y+16$.

    Câu 4:  Cho 2 só nguyên dương a, b thỏa mãn: $a^{2}+b^{2} =2$.

                 Tìm GTNN của: M= $\frac{a^{3}}{2016a+2017b}+\frac{b^{3}}{2017a+2016b}$.

    Câu 5:  Cho hình bình hành ABCD (AC>BD), hình chiếu vuwong góc cảu C lên AB, AD lần lượt là E và F. Chứng minh:

                 1. CE.CD = CB.CF và $\Delta ABC\sim \Delta FCE$.

                 2. AB.AE + AD.AF = $AC^{2}$.

    Câu 6:  Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O. Một đường thẳng đí qua A cắt BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N.       Gọi K là giao điểm của OM và BN. CMR Ck vuông góc với BN.

    Câu 7: Tìm hình vuông có kích thước nhỏ nhất để trong hình vuông có thể sắp xếp được 5 hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho không có 2 hình tròn bất kì nào trong chúng có điểm chung.

 Xin chào các bạn cũng đến kỳ thi hsg toán 8 rồi, mình muốn luyện tập mấy đề mong các anh chị ủng hộ.

  Đề 1

  Câu 1: Cho biểu thức P= $\left [ (x^{3}-8):\frac{x^{2}+2x+4}{x+2}-\frac{x^{2}-4}{x^{2}+2x+4}.\frac{x^{3}-8}{x+2} \right ]:(x-1)$.

  a) Rút gọn P.

  b) Tìm x thuộc Z để P có giá trị nguyên.

 Câu 2:

  a) Phân tích đa thức $x^{2}+5x+6$ thành nhân tử.

  b) Giải phương trình: $x^{2}+\frac{25x^{2}}{(x+5)^{2}}=11$.

 Câu 3:

  a) Cho 3 số a, b, c khác 0 và đoi một khác nhau và thỏa mãn a+b+c=0. Tính giá trị của biểu thức:

      Q= $(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c})$.

  b) Tìm các số nguyên có 4 chữ số $\overline{abcd}$ sao cho $\overline{ab}$; $\overline{ac}$ là các số nguyên tố và $b^{2}=\overline{cd}+b-c$.

  c) Tìm các số nguyên x, y ,z thỏa mãn: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=x+y+z+2017$.

 Câu 4:

  1. Cho hình vuông ABCD và điểm E tùy ý trên cạnh BC. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AE cắt tia CD tại F.

  a) CM AE= AF.

  b) Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD tại K. CMR $\Delta AKF\sim \Delta CAF$.

  c) Gọi Q là giao điểm của AE và DC. CMR: $\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AQ^{2}}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm E.

  2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Một đường thẳng đi qua G cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở C', B' và cắt tia đối của tia cB ở A'. CMR: $\frac{1}{GA'}+\frac{1}{GB'}=\frac{1}{GC'}$.

  3. Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{BAC}=108^{\circ}$. CMR $\frac{BC}{AC}$ là số vô tỉ.

 Câu 5:

  1. Giải phương trình nghiệm nguyên: $\left ( x+1 \right )^{4}-(x-1)^{4}=y^{3}$.

  2. CMR từ 52 số nguyên bất kỳ luôn có thể chọn ra được 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 100.

Bài 1: Cho 1 ngũ giác có mỗi đường chéo song song với một cạnh. CMR các đường thẳng nối mỗi đỉnh với trung điểm của các cạnh đối diện thì đồng quy.

Bài 2: CM định lí Van Obel.

 Cách cm bài toán của ad là như thế nào vậy

Bài 1: Cho tam giác ABC. D,E,F thứ tự trên BC, CA, AB; AD cắt EF tại P. CMR

                   $\frac{PD}{PA}.BC=\frac{EC}{EA}.DB+\frac{FB}{FA}.DC$

Bài 2: Cho tam giác ABC (AB>AC), D là trung điểm của BC, phân giác góc A cắt cạnh BC tại E. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt AE, AD lần lượt tại F, G. CMF DF // AB, GE // AC. Từ đó suy ra DF đi qua trung điểm của GE.

      P/s Mn giúp e với nhé thanks ^^

 Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn $a^2+ab+b^2=a^2b^2$.

  Tìm các giá trị nguyên của biểu thức $f(x;y)= \frac{x^{2}+x+2}{xy-1}$, trong đó x, y là các số nguyên dương.

   Cho 2013 đa thức $P_{i}(x)= x^{2}+x+a_{i}$ ( i= 1, 2, 3, . . ., 2013) thõa mãn $a_{k+1}-a_{k}=a$ ( a là hằng số, k=1,2,3,...,2012) và đa thức $Q(x)= P_{1}(x)+P_{2}(x)+...+P_{2013}(x)$ có nhiệm thực.

  a) CMR đa thức $P_{1007}(x)$ có nghiệm.

  b) Trong 2013 đa thức $P_{i}(x)$ trên, có nhiều nhất mấy đa thức vô nghiệm.

 Xét n điểm liên tiếp $A_{1}, A_{2}, A_{3}, ..., A_{n}$ cùng thuộc 1 đường thẳng sao cho $A_{1}.A_{2}=A_{2}.A_{3}=...=A_{n-1}.A_{n}$. Tìm n biết rằng trên đường thẳng đó có tất cả 2025 đoạn thẳng nhận 1 trong các điểm đã cho làm trung điểm.

Mình có thấy một bài toán hình học như sau: đề bài : Cho ABCD là hình chữ nhật . Cho BC quay tròn trên đỉnh B , lấy điểm G ( hay BC = BG ) Trung trực của CD, đồng thời của AB cắt trung trực DG ờ F

abcd.png

Mình xét bài toán này thì thấy như sau :

Nối AF, BF, DF, GF. Vì EF và HF là trung trực của AB, DG nên AF = BF, FD = FG, AD = BG ( = BC ).

=> $\Delta ADF = \Delta BGF$ ( c-c-c) => $\angle FAD = \angle FBG$ ( 2 góc tương ứng )

Ta cũng có $\angle FAB = \angle FBA$ do FE là trung trực AB, mà $\angle FAD = \angle FBG$ (cmt) nên $\angle BAD = \angle ABG$

Mà 2 góc này 1 góc vuông,  1 góc tù nên làm sao bằng nhau được. Mình không thấy sai sót ở đâu cả, vậy lỗi ở đâu ?

 Trên THTT

Xin chào mọi người . Sau đây mình sẽ cung cấp các bài toán về đa thức.

                                                                                                                                                                                

[1] CMR không có đa thức $P(x)$ nào với hệ số nguyên có thể có giá trị $P(7)= 5, P(15)= 9$.

   Áp dụng định lí f(a)- f(b) chia hêt a-b ta có:(1)

     P(15)-P(7) chia hết cho 15-7=8

  hay 9-5=4 chia hết cho 8 (vô lí)

   P/s: các bài 2,3 cũng áp dụng định lí này.

 Chp phân số p= $\frac{n^{2}+4}{n+5}$ với n là số tự nhiên. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên n trong khoảng từ 1 đến 2015 sao cho phân số p chưa tối giản.

  Cho tổng gồm 2006 số hạng:

    S=  $\sqrt{\frac{2+1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3+1}{3}}+ . . .+\sqrt[2007]{\frac{2007+1}{2007}}$

 Tính [S]

Pt <=> $(\frac{a+b-x}{c}+1)+(\frac{b+c-x}{a}+1)+(\frac{c+a-x}{b}+1)+\frac{4x}{a+b+c}-4=0<=> \frac{a+b+c-x}{c}+\frac{a+b+c-x}{a}+\frac{a+b+c-x}{b}-\frac{4(a+b+c-x)}{a+b+c}=0<=> (a+b+c-x)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{4}{a+b+c})=0<=> \begin{bmatrix}a+b+c=x \\ \forall x,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{a+b+c} \end{bmatrix}$

 Hình như phương trình trên chỉ có duy nhất 1 nghiêm x= a+b+c.

 Bạn tính được

đặt BH=x.Ta có: x(289-x)=120² . Giải ptr tìm đc x rồi sau đó tính đc AB và AC (AB²=BH.BC,AC²=CH.BC

 Bạn tính được bằng mấy vậy

 Cho tam giác vuông ABC , cạnh huyền BC bằng 289 và đường cao AH bằng 120. Tính AB và AC.

 Giải phương trình sau: $\frac{a+b-x}{c}+\frac{b+c-x}{a}+\frac{c+a-x}{b}+\frac{4x}{a+b+c}=1$