Áp dụng bđt  [a]+[b]>=[a+b] ta được

       [kx]+[x+k/(k+1)]>=[kx+x+k/(k+1)]

<=> [kx+x]>=[kx+x+k/(k+1)] (1)

    mà k thuộc N=>k/(k+1)>0

(1)<=>kx+x<0

    <=>(k+1)x<0

    <=> x<0 (do k+1>0)

    Vậy mệnh đề chưa chặt

Ta có: x³ + y³ = 2xy + 8

    <=> ( x - y )³ = 2xy - 3xy(x - y) + 8    (1)

 Đặt x - y = a (a nguyên)

           xy = b (b nguyên)                                                        

   khi đó (1) <=> a³ = 2b - 3ab + 8

                  <=> a³ - 8 = b(2 - 3a)

                  <=> b = (a³ - 8)/(2 - 3a)                                                                                                          

 Để b nguyên thì a³ - 8 phải chia hết cho 2 - 3a ( 2).

 Mặt khác ta thấy ƯCLN( 27, 2 - 3a) = 1

 nên (2) <=> 27a³ - 216 chia hết cho 2 - 3a

              <=> (27a³ - 18a²) + (18a² - 12a) + (12a - 8) + (12a - 8) -208 chia hết cho  2 - 3a 

              <=> 208 chia hết cho 2 - 3a mà 2 - 3a chia 3 dư 2

                Vậy nên 2 - 3a chỉ có thể là -1;-13;26;-52;104;-208;2;-4;8;-16

Lập bảng ta tìm được các giá trị a, b từ đo đưa về hệ phương trình quen thuộc:

                                  x + y = m

                           xy = n                                                                                                 

Chú ý rằng x + y và xy phải cùng chẵn (dễ dàng chứng minh)               

Giải và đối chiếu điều kiện x, y nguyên ta có (x,y) = (2, 0); (0, -2)

 ( với cách trên thì vẫn giải đc bài toán khi thay 2xy bởi xy)