Chứng minh định lí Py-ta-go bằng cách sử dụng diện tích của tam giác vuông và hình thang vuông

a) $A=1+2+3+4+...+\left ( n-1 \right )+n$

$=\frac{\left ( n-1 \right )n}{2}$

f)$F=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left ( n-1 \right )n}$

$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

$=1-\frac{1}{n}$

a) Ta có:

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab$

$b^{2}+c^{2}\geq 2bc$

$c^{2}+a^{2}\geq 2ca$

(Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a,b>0)

Suy ra $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)$

Hay $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

Suy ra đpcm

Cho hình vuông ABCD có AB = 1. P và Q lần lượt thuộc AB, AD sao cho tam giác APQ có chu vi là 2. Chứng minh $\widehat{PCQ}$ = 45^o

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB,AC lấy lần lượt các điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M,N,I,K theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh MINK là hình vuông.

Câu 1:

$(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}+3abc-abc=a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}+2abc=a(ab+c^{2}+bc+ca)+b(ab+c^{2}+bc+ca)=(ab+c^{2}+bc+ca)(a+b)=(a+b)(b+c)(c+a)$