Vẽ OG vuông góc với BC và OH vuông góc với AD.

Ta có: $\Delta SAD$ đồng dạng với $\Delta SCB$ (g.g). Mà G, H lần lượt là trung điểm của BC và AD. $\Rightarrow \Delta SAH$ đồng dạng với $\Delta SCG$ (c.g.c).

$\Rightarrow \angle SHA = \angle SGC \Leftrightarrow \angle SHF = \angle SGE$ (1)

FSHO và ESGO là các tứ giác nội tiếp (do $\angle OSF=\angle OHF=\angle OGE=\angle OSE=90^{o}$) $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \angle SHF=\angle SOF\\ \angle SGE=\angle SOE\end{matrix}\right.$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\angle SOF=\angle SOE$. Mà OS là đường cao tam giác OFE nên tam giác OFE cân tại O $\Rightarrow OE=OF$

Giả sử cả ba phương trình $x^{2}+ax+b, x^{2}+bx+c, x^{2}+cx+a$ đều vô nghiệm.

$\Rightarrow a^{2}-4b+b^{2}-4c+c^{2}-4a<0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}<4.12=48$

Mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=48$ nên điều giả sử sai. Suy ra có ít nhất một phương trình có nghiệm.

Giả sử cả ba phương trình có nghiệm $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}\geq 4b\\ b^{2}\geq 4c\\ c^{2}\geq 4a\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{8}\geq 256b^{4}\\ b^{4}\geq 16c^{2}\\ c^{2}\geq 4a\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow a^{8}\geq 256.16.4a \Leftrightarrow a\geq 4$. Tương tự, ta có $b\geq 4, c\geq 4 \Rightarrow a+b+c\geq 12$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 4. Điều này vô lí vì theo gt a, b, c đôi một khác nhau. Vậy có ít nhất một phương trình vô nghiệm.

$0,5,12,17,22,29,36,6,11,16,4,2,9,3,10,15,20,25,30,35,42,49,7,14$

Giải phương trình nghiệm nguyên:

                                                                                              $x^4-x^3+1=y^3$

1.Tìm các số tự nhiên abcdef sao cho abcdef, bcdef, cdef, def, ef là các số chính phương.

2.Tìm các số nguyên x, y sao cho x³+y và y³+x  đếu là bội của x²+y².

3.Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên dương và p là số nguyên tố lẻ sao cho [a, a+p] = [b, b+p] thì a=b.

4.Cho p nguyên tố, p>3 và số nguyên dương n. Chứng minh không tồn tại các số nguyên dương a, b sao cho pⁿ=a³+b³.

5.Độ dài các cạnh của một tứ giác là số nguyên dương và đều là ước của chu vi tứ giác. Chứng minh: Tứ giác có ít nhất hai cạnh bằng nhau.

1. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Một đường tròn đi qua B và C cắt cạnh AB, AC tại E, D (D khác C và E khác B). Gọi F là trực tâm tam giác ADE, Chứng minh rằng: BD, CE, HF đồng qui

2. Cho tam giác ABC, lấy điểm D trong tam giác ABC sao cho đường tròn nội tiếp tam giác ABC và DBC cùng tiếp xúc với BC tại một điểm. Đường trón nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC tại M, N. Đường tròn nội tiếp tam giác DBC tiếp xúc với DB, DC tại P, Q. Chứng minh: tứ giác MNQP nội tiếp.