Trong mặt phẳng cho 2 đường thẳng d₁, d₂ cắt nhau và đoạn thẳng AB. Dựng hình bình hành ABCD với C thuộc d₁ và D thuộc d₂.

Cho $f'(x)=\frac{cos(x)^{2}}{x}-\frac{1}{5}$. Hàm số f(x) có bao nhiêu khoảng đơn điệu trên (0;10).

Cho hai toán tử tuyến tính F,G trong không gian vectơ V. Mình muốn hỏi sự khác biệt của Im(F+G) và ImF + ImG về số chiều và mối liên hệ giữa các cở sở của chúng.

Cho A,B,C là 3 ma trận thực giao hoán từng đôi một. Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực a,b,c thuộc R sao cho det(aA+bB+cC)=0.

Cho A,B là 2 ma trận trực giao phức, khẳng định sau đây là đúng hay sai: det(A) + det(B)=0 $\Rightarrow$ det(A+B)=0

Tìm ma trận $A$ thuộc $M_{n}$ thỏa $A^{3} + 2A^{2} - A - 2I = 0$ và $tr(A)=n$.

Cho A,B thuộc M₃(R) thỏa A khác B, A³=B³, A²B=B²A. Chứng minh rằng A²+B² không khả nghịch.

Cho ma trận A vuông cấp $n$ thỏa $A^{3}=A+I$. Chứng minh rằng: $\det(A) >0$.

Cho A là ma trận (thực hoặc phức) cấp n. Chứng minh rằng $\det(A.\overline{A} + I) \in  \mathbb{R}$.

$X$ là ma trận vuông không suy biến mà bạn.

Điều kiện là X và Y là ma trận vuông không suy biến chứ?

Cho A,B $\in$ M₃(R) giao hoán được thỏa det(A² + B²)=0. Chứng minh det(A+B)= 2det(A)+ 2det(B).

Nếu $X$ là một ma trận vuông không suy biến thì $rank(XY)=rank(Y)$

Công thức bạn ghi phải là dấu <= chứ.

Ta có $AB+2012A+2013B$. Từ đây suy ra $(-A-2013I_{2013})(B+2012I_{2013}) =2012.2013I_{2013}$

với $I_{2013}$ là ma trận đơn vị cấp $2013$.

Do đó $-A-2013-I_{2013}$ và $B+2012I_{2013}$ khả nghịch và là nghịch đảo của nhau.

Mặt khác $2012A=-AB-2013B=(-A-2013I_{2013})B$ suy ra $rank(A)=rank(B)$

Mà theo bất đẳng thức về hạng của $Sylvester$ ta có:

$rank(B)+rank(B)-n \le rank(AB) \le min(rank(A), rank(B)) $

và $A, B \in M_{2013}$ nên $rank(A)+rank(B)-2013 \le rank(B)$

Do đó $rank(B) +rank(B) \ne 2013$

Tại sao lại suy ra được rank(A)=rank(B) vậy bạn.

Cho A,B $\in M_{2013}$. thỏa AB+2012A+2013B=0. Chứng minh rằng: r(A)+r(B) $\not\equiv $ 2013

Cho $b_{ij}=(-1)^{i+j}a_{ij}$. Chứng minh rằng: $\left | a_{ij} \right |^{n}_{1}=\left | a_{ij} \right |^{n}_{1}$

Chứng minh mọi ma trận vuông A cấp n đều có thể phân tích thành: A=B+C với B là ma trận đồng dạng với ma trận chéo còn ma trận C là ma trận lũy linh.

Cho V là một không gian con của Rⁿ gồm các vectơ thỏa mãn x₁+x_2+...+x_n =0. TÌm cơ sở và số chiều của V.

Cho ma trận vuông A có các phần tử là số nguyên.
Tìm điều kiện cần và đủ để ma trận A^-1 cũng có các phần tử là số nguyên.

Cho A là các ma trận cấp n với có các phần tử là 1 hoặc -1. Tính định thức lớn nhất có thề của A với n=2,3,4,..

Cho A thuộc M_mxn (R). Chứng minh rằng: r(A)=r(AA^T)=r(A^TA).

Cho mình hỏi là làm thế nào mà q=r, không phải q,r là những số cho trước?

Giả sử y_i=y_i(x_1,x_2,...,x_n) với (i= 1,2,...,n) là hàm của các biến độc lập x_1,x_2,...,x_n. Ma trận $J(X,Y)= \frac{\partial y_{i}}{\partial x_{i}}$ được gọi là ma trận Jacobi của phép biến đổi, còn định thức của nó được gọi là Jacobien của phép biến đổi đó.

Bây giờ xét mối quan hệ giữa n² hàm y_ij và n² biến x_ij được cho bởi công thức Y=AXB, ở đó Y=(y_ij) , X=(x_ij), A,B thuộc Mat(n,R) là hai ma trận cho trước.

Chứng minh  $det(J(Y,X))= (detA)^{n}.(detB)^{n}$.