Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Khoa Linh nội dung

Có 599 mục bởi Khoa Linh (Tìm giới hạn từ 15-10-2015)



Sắp theo                Sắp xếp  

#723349 Đề thi tuyển sinh vào lớp 9 tạo nguồn tỉnh Bình Thuận năm học 2018 - 2019 môn...

Đã gửi bởi Khoa Linh on 27-06-2019 - 10:22 trong Tài liệu - Đề thi

 

 

b/ Chứng minh rằng nếu a và a2 + 2 là số nguyên tố thì a3 + 4 cũng là số nguyên tố. (1,5 điểm)

 

 

Do $a,a^2+2$ là số nguyên tố nên $a=3$ (xét mod $3$). Do đó $a^3+4=31$ là số NT. 




#723345 4($\sum \frac{1}{a+b})-\sum \frac{1}{a}\leqslan...

Đã gửi bởi Khoa Linh on 27-06-2019 - 08:00 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn : $a+b+c=ab+bc+ca$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^2}+\frac{c+a}{c^2+a^{2}}\leq 3$

Ta phân tích như sau 

Vế trái của BĐT có bậc là -1 (do tử bậc 1, mẫu bậc 2), mà vế trái là $3$. 

Để ý giả thiết là $a+b+c=ab+bc+ca$ nên ta viết lại BĐT thành 

$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2} \leq 3(a+b+c)$

Thật vậy, ta có:

$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2}=\sum \left ( \frac{(a+b)^2c}{a^2+b^2}+\frac{ab(a+b)}{a^2+b^2} \right )\leq \sum \left ( 2c+\frac{a+b}{2} \right )=3(a+b+c)$




#723334 Tìm quỹ tích của trọng tâm

Đã gửi bởi Khoa Linh on 26-06-2019 - 19:30 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Cho $\triangle ABC$ cân tại $A$ có $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp. Một điểm $D$ di chuyển trên $(O)$ sao cho $AD$ không là đường kính của $(O)$. Điểm $E$ nằm trên $BC$ sao cho $\widehat{ADE}=90^o$. Trung trực của $DE$ lần lượt cắt $AB, AC$ tại $X, Y$. Tìm quỹ tích của trọng tâm $\triangle AXY$ khi $D$ di chuyển.

Kẻ đường kính $AD'$ của $(O)$, khi đó $D,D',E$ thẳng hàng. 

Lấy  $Y'$ trên $AC$ sao cho $Y'E=Y'C$, do tam giác $ABC$ cân nên $YE||AB$. 

Ta có $\angle EDC=\angle D'AC=\frac{1}{2} \angle EY'C$ suy ra $Y'$ là tâm $(DEC)$ nên $Y' $ trùng $ Y$ và ta có $YE=YC$.

Tương tự $XE=XB$. Suy ra $AXEY$ là hình bình hành nên $A,G,E$ thẳng hàng, hơn nữa $AE=3AG$.

$D$ di chuyển trên $(O)$, $E$ di chuyển trên $BC$ thì $G$ sẽ di chuyển trên đường thẳng song song với $BC$. (dùng phép vị tự tỉ số $\frac{1}{3}$ hoặc làm theo cách cấp 2 cũng được). 

Hình gửi kèm

  • Untitled.png



#723320 Tiếp xúc với một đường tròn cố định

Đã gửi bởi Khoa Linh on 25-06-2019 - 23:30 trong Hình học

 Untitled.png

Gọi $L$ là giao điểm của $CH$ và $DK$. 

Ta có $\angle CBD=\angle CBA+\angle DBA=\angle LCA+\angle LDA=180^{\circ}-\angle CLD$ hay $B \in (LCD)$.

Gọi $X$ là giao điểm của $HK$ với $CD$, theo đường thẳng Simson thì  ta có $BX \perp CD$. 

Gọi $M$ là trung điểm $AB$, $J$ là điểm bất kì trên cung $BD$ không chứa $A$ của $(O_2)$.

Ta có: 

$\angle KXD=\angle KBD=90^{\circ}-\angle KDB=90^{\circ}-\angle DJB=90^{\circ}-\angle XAB=\angle XBA=\angle MXB$. 

Suy ra $\angle MXK=\angle AXB=90^{\circ}$, hay ta có $HK$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ cố định (đpcm).

 

P/S: Mình đã rất bực khi gõ bài này, vừa gõ tử tế xong thì diễn đàn sập tuy vậy mình vẫn gõ lại bởi vì cái tên Sugar vẫn luôn đặc biệt với  mình. Mong bạn hiểu bài giải này.




#723319 bài BĐT HSG QUỐC GIA TỈNH QUẢNG NGÃI 2018-2019 vòng 5

Đã gửi bởi Khoa Linh on 25-06-2019 - 22:41 trong Bất đẳng thức và cực trị

cho $a_{2},a_{3},..,a_{n}$ là n -1 số thực dương.Chứng minh $(1+a_{2})^2.(1+a_{3})^3...(1+a_{n})^n$ lớn hơn $n^n$ với  $a_{2}.a_{3}...a_{n}=1$

Bài này là bài IMO 2012

Tham khảo tại đây: https://artofproblem...h488342p2736375

Còn đây là lời giải mình copy lại cho nhanh:

Note that $(a_k+1)=\left(a_k+\frac 1{k-1}+\cdots+\frac 1{k-1}\right)\geq k\sqrt[k]{\frac{a_k}{(k-1)^{k-1}}};$
Therefore $(a_k+1)^k\geq \frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\cdot a_k.$
Taking the product from $k=2$ to $k=n,$ we see that
\[\prod_{k=2}^n(a_k+1)^k\geq n^na_2a_3\cdots a_{n}=n^n.\]
Equality holds iff $a_k=\frac 1{k-1}$ for all $k,$ which is not possible.



#723318 Chứng minh rằng HC=HK

Đã gửi bởi Khoa Linh on 25-06-2019 - 22:37 trong Hình học phẳng

Anh làm thử em xem được ko ạ.Tiếng anh em hơi kém  :D  :D

Capture.PNG




#722144 ĐỀ THI OLYMPIC KHTN NĂM 2019

Đã gửi bởi Khoa Linh on 11-05-2019 - 23:46 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

   TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 

 

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2019

Môn thi: TOÁN

Ngày thi thứ nhất

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 

 

Câu 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n^3$ là ước của $3^n-1$.

 

Câu 2. Với $k$ là số nguyên dương, cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=k$ và $u_{n+1}=\dfrac{(n+2)u_n-2k+4}{n}$, với mọi $n \in  \mathbb{Z}^+$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho trong dãy số $(u_n)$ có đúng $2019$ số hạng là số chính phương. 

 

Câu 3. Cho tam giác  $ABC$, giả sử có điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle BPC=\angle CPA=\angle APB$.  $PB$, $PC$ theo thứ tự cắt $CA$, $AB$ tại $E$, $F$. $D$ là điểm di chuyển trên cạnh $BC$. Đường thẳng $DF$ cắt đường thẳng $AC$ tại $M$. Đường thẳng $DE$ cắt đường thẳng $AB$ tại  $N$. 

        1. Chứng minh rằng số đo góc $\angle MPN$ không đổi khi $D$ thay đổi. 

        2. Gọi giao của đường thẳng $EF$ với đường thẳng $MN$ là $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ là phân giác của góc  $\angle MPN$. 

 

Câu 4. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a$, $b$, $c$ ta luôn có 

$\dfrac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2} \cdot \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{9}{2}$

 

--------HẾT NGÀY 1--------

 

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 

 

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2019

Môn thi: TOÁN

Ngày thi thứ hai

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 

 

Câu 5. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho

$P(x^3+x^2+1)=P(x+2)P(x^2+1)$

 

Câu 6. Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ sao cho $AD$ là đường kính, đồng thời $EA=ED$. Dựng ra ngoài ngũ giác $ABCDE$, tam giác $BCF$ vuông cân tại $F$, và hai hình vuông $ABMN$, $CDPQ$. Giả sử $MQ$ cắt $NP$ tại $R$. Gọi $S$, $T$ lần lượt là trung điểm $MQ$ và $OS$. Chứng minh rằng $RT \perp EF$. 

 

Câu 7. Một khu vực quốc tế có $512$ sân bay. Mỗi sân bay đều có thể bay trực tiếp tới ít nhất $5$ sân bay khác. Biết rằng ta có thể đi từ bất kì sân bay nào đến bất kì sân bay khác thông qua một hoặc nhiều chuyến bay trực tiếp. Với mỗi cặp sân bay ta xét tuyến đường ngắn nhất nối giữa chúng, tức là tuyến đường mà nó gồm số lượng ít nhất các đường bay trực tiếp nối giữa hai sân bay này. Hỏi số lượng đường bay trực tiếp lớn nhất có thể có trong một tuyến đường ngắn nhất giữa hai sân bay nào đó là bao nhiêu? 

 

--------HẾT NGÀY 2--------




#721352 Chứng minh $BCED$ nội tiếp

Đã gửi bởi Khoa Linh on 11-04-2019 - 20:32 trong Hình học

Kẻ tiếp tuyến $Mx$ của $(O)$. Khi đó ta có $\angle CED=\angle CMx=\angle DBC \Rightarrow BCDE$ nội tiếp. 




#720378 $\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt...

Đã gửi bởi Khoa Linh on 21-02-2019 - 16:45 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng 

 

$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \leq \dfrac{3}{2}(a+b+c)$




#720364 $(1+x)(1+y)(1+z)\geqslant (1+\sqrt[3]{xyz})^3$

Đã gửi bởi Khoa Linh on 20-02-2019 - 23:16 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x,y,z >0 chứng minh rằng: $(1+x)(1+y)(1+z)\geqslant (1+\sqrt[3]{xyz})^3$

Bạn nhân hết ra thôi 

 

$(1+x)(1+y)(1+z)=xyz+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1\geq xyz+3\sqrt{(xyz)^2}+3\sqrt{xyz}+1=(1+\sqrt[3]{xyz})^3$




#720363 Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc Tìm GTNN của $P=\frac{a-2...

Đã gửi bởi Khoa Linh on 20-02-2019 - 23:03 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc

Tìm GTNN của $P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$. 

Khi đó bài toán trở thành bài toán sau (mình đã làm nên chỉ copy lại)

Cho các số $0<a,b,c<1$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.
 
Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\dfrac{a^2(1-2b)}{b}+\dfrac{b^2(1-2c)}{c}+\dfrac{c^2(1-2a)}{a}$
 
Lời giải(Nguyễn Đăng Khoa)
 
Ta có:
 
$A=\dfrac{a^2(1-b)}{b}+\dfrac{b^2(1-c)}{c}+\dfrac{c^2(1-a)}{a}-(a^2+b^2+c^2)$.
 
Vì $0<a,b,c<1$ nên $1-a,1-b,1-c>0$ và $a(1-a)+b(1-b)+c(1-c)=a+b+c-(a^2+b^2+c^2)>0$.
 
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:
 
$\dfrac{a^2(1-b)}{b}+\dfrac{b^2(1-c)}{c}+\dfrac{c^2(1-a)}{a} \geq \dfrac{\left [a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)  \right ]^2}{b(1-b)+c(1-c)+a(1-a)}=\dfrac{(a+b+c-1)^2}{a+b+c-(a^2+b^2+c^2)}$
 
Suy ra $A \geq \dfrac{(a+b+c-1)^2}{a+b+c-(a^2+b^2+c^2)}+\left [a+b+c-(a^2+b^2+c^2)  \right ]-(a+b+c)$
 
$ \geq 2(a+b+c-1) -(a+b+c)=a+b+c-2 \geq \sqrt{3}-2 $ (AM-GM)



#720360 Cho đa thức $f(x)=x^3=3x^2+9x+1964$

Đã gửi bởi Khoa Linh on 20-02-2019 - 22:57 trong Các bài toán và vấn đề về Đa thức

Cho đa thức $f(x)=x^3-3x^2+9x+1964$. Chứng minh răng tồn tại số nguyên $a$ sao cho $f(a)$ chia hết cho $3^{2014}$

Ta có $f(x)=(x-1)^3+6(x-1)+1971$ 

 

$\Rightarrow f(9x+1)=(9x)^3+6 \cdot 9x +1971=27(27x^3+2x+73)=27g(x)$.

 

Ta dễ dàng chứng minh được $\left \{ g(1),g(2),...,g(3^{2014}) \right \}$ là hệ đầy đủ $\mod 3^{2014}$.

 

Suy ra tồn tại số nguyên $a$ sao cho $g(a)$ chia hết cho $3^{2014}$. 

 

Từ đó suy ra $f(9a+1)$ chia hết cho $3^{2014}$.




#720289 $ii) f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$

Đã gửi bởi Khoa Linh on 18-02-2019 - 13:17 trong Các bài toán và vấn đề về Phương trình hàm

Tìm hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn:

$i) f(1)=2$

$ii) f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$

 

$f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$ (1)

Thay $x=0,y=1$ vào (1) rồi kết hợp $f(1)=2$ suy ra ta có $f(0)=1$.  (2)

Thay $y=1$ vào (1) ta sẽ có $f(x+1)=f(x)+1$. (3)

Từ (3) ta sẽ dễ dàng chứng minh theo quy nạo thì ta có $f(n)=n+1, \forall n \in \mathbb{Z}$ (4)

Với $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$ thì ta có $f(1)=f(n.\dfrac{1}{n})=f(n).f \left (\dfrac{1}{n}\right )-f\left( n+\dfrac{1}{n} \right)+1$ (5)

Để ý ta có $f(n)=n$ và $f\left( n+\dfrac{1}{n} \right) =n+f\left(\dfrac{1}{n}\right)$ do (3) và (4).

Vậy từ (5) ta rút ra được $f\left(\dfrac{1}{n}\right)= \dfrac{1}{n}+1, \forall n \in  \mathbb{Z}, n \neq 0.$ (6)

Vậy với số hữu tỷ $q=\dfrac{a}{b},$ $a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$ thì ta có 

$f\left( \dfrac{a}{b} \right)=f(a).f\left( \dfrac{1}{b} \right)-f\left( a+\dfrac{1}{b} \right)+1=\dfrac{a}{b}+1$ (7)

 

Từ (2) và (7) ta có $f(x)=x+1, \forall x \in  \mathbb{Q}.$ 




#720284 $\sum \frac{1}{(a+1)^{2}+b^{2...

Đã gửi bởi Khoa Linh on 18-02-2019 - 08:47 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
 

Cho $abc=1$ khi đó $\sum \dfrac{1}{ab+a+1}=1$ (bạn tự chứng minh)

 

Khi đó ta có $\sum \dfrac{1}{(a+1)^2+b^2+1}=\sum \dfrac{1}{a^2+b^2+2a+2} \leq  \dfrac{1}{2} \sum  \dfrac{1}{ab+a+1}=\dfrac{1}{2}$ (đpcm)




#720283 $M$ là trung điểm $PQ$

Đã gửi bởi Khoa Linh on 18-02-2019 - 08:40 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Ta có bổ đề sau: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với ba cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $DI$ cắt $EF$ tại $X$. Khi đó $AX$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$.

Chứng minh. 

Qua $X$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ theo thứ tự tại $Y,Z$. 

 
Ta có $\angle IXY=\angle IFY=\angle IXZ=\angle IEZ=90^{\circ}$ 
 
Suy ra tứ giác $XYFI$ và $XEZI$ nội tiếp 
 
Từ đó ta có $\angle IYX=\angle IFX=\angle IEX=\angle IZX \Rightarrow XY=XZ$.
 
Suy ra ta có $AX$ đi qua trung điểm $BC$.
 
Vậy bổ đề được chứng minh. 
 
Ta quay lại bài toán ban đầu. 
Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với ba cạnh $BC,CA,AB$. 
 
Lấy $Z$ là giao điểm $DI$ với $EF$. Khi đó theo bổ đề ta có $Z$ nằm trên $KL$ và theo tính chất đối xứng thì ta cũng có $X,Y,Z$ thẳng hàng. 
 
$AX$ cắt $YL$ tại $Y'$.
 
Ta thấy tứ giác $KELF$ là tứ giác điều hòa nên ta có 
 
$X(K,L;Y',Y)=X(K,L;A,L)=-1$
 
Mặt khác $XK \parallel YY'$ nên ta có $L$ là trung điểm $YY'$. 
 
Suy ra $M$ là trung điểm $PQ$ hay ta có $BP=CQ$.
 



#720282 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).BA cắt CD tại F,AC cắt BD tại E.Gọi...

Đã gửi bởi Khoa Linh on 18-02-2019 - 08:29 trong Hình học

Đây là đường thẳng Gauss nhé bạn, bạn đọc trong NC và PT cũng có. 




#719832 KẾT QUẢ THI HSGQG năm 2019

Đã gửi bởi Khoa Linh on 31-01-2019 - 21:58 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

link kết quả của các tỉnh

https://drive.google...l2D5EroBAHGaOnA




#717439 $(x_n)$ hội tụ

Đã gửi bởi Khoa Linh on 13-11-2018 - 09:05 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy $(x_n)$ được xác định bởi
$x_1=a$ $(0<a<1)$
$x_{n+1}=2x_n-x_n^3$.
Chứng minh $(x_n)$ hội tụ



#717342 $\sum \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}...

Đã gửi bởi Khoa Linh on 09-11-2018 - 21:36 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức sau 

$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^2+a^2}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

 




#717175 Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. CMR: $\frac{a+bc}...

Đã gửi bởi Khoa Linh on 03-11-2018 - 20:46 trong Bất đẳng thức và cực trị

$\sum \frac{a+bc}{b+c}=\sum \frac{a(a+b+c)+bc)}{b+c}=\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}$

Đến đây sử dụng BĐT $\sum \frac{xy}{z}\geq x+y+z$ là xong.




#716885 $5^p+p^3$

Đã gửi bởi Khoa Linh on 25-10-2018 - 00:27 trong Số học

Tìm số nguyên tố $p$ để $5^p+p^3$ là số chính phương.




#716824 $a_{2012}-a_{2011}$ chi hết cho $2011$

Đã gửi bởi Khoa Linh on 22-10-2018 - 22:38 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy $(a_n):$ $a_1=1,a_2=1$ và $a_n=6a_{n-1}+5a_{n-2}$. 

Chứng minh $a_{2012}-a_{2011}$ chi hết cho $2011$ 




#716798 $\log_{24}^{25}$

Đã gửi bởi Khoa Linh on 21-10-2018 - 21:45 trong Hàm số - Đạo hàm

Cho $\log_6^{15}=a$; $\log_{12}^{18}=b$. Tính $\log_{24}^{25}$ theo $a,b$




#716737 $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+...

Đã gửi bởi Khoa Linh on 19-10-2018 - 22:55 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

1) Viết lại bất đẳng thức dưới dạng 

$\sum \frac{bc}{3a+3bc} \leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{a^2+ab+ac+3bc}\leq \frac{1}{2}$

Để ý ta có BĐT quen thuộc $\sum \frac{bc}{a^2+2bc}\leq 1\Leftrightarrow \frac{a^2}{a^2+2bc}\geq 1$ (đúng theo Cauchy-Schwarz)

Suy ra $\sum \frac{bc}{a^2+2bc+(ab+bc+ca)}\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{bc}{a^2+2bc}+ \sum \frac{bc}{ab+bc+ca}\right )\leq \frac{1}{2}$




#716725 Cho $x,y>0$. Tìm GTNN của $A=\frac{(x+y)^{2...

Đã gửi bởi Khoa Linh on 19-10-2018 - 20:07 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x,y>0$. Tìm GTNN của $A=\frac{(x+y)^{3}}{xy^{2}}$

Đặt $x=ty(t>0)$. Ta có:

$A=\dfrac{(t+1)^3}{t}$.

$\left (t+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}  \right )^3\geq \frac{27}{4}t\Rightarrow A\geq \frac{27}{4}$