Xác suất

Cho hai hộp bi: Hộp thứ nhất có $7$ bi xanh và $3$ bi đỏ. Hộp thứ $2$ có $6$ bi xanh và $4$ bi đỏ.

Từ mỗi hộp lấy ra $1$ viên bi. Tính xác suất để lấy ra được $1$ bi xanh và $1$ bi đỏ

Cho dãy số $a_n$ được xác định

           $\displaystyle {{a}_{1}}=2014$

           ${{a}_{n+1}}=\frac{{{a}_{n}}^{3}+{{a}_{n}}^{2}+3{{\text{a}}_{n}}+4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$

Đặt $\displaystyle {{S}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{a}_{k}}^{2}+{{a}_{k}}+1}}$

Tính lim $S_n$

Đề HSG Quảng bình 2017

Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình

$x^3+(x+1)^3+(x+2)^3+...+(x+7)^3=y^3$

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác chu vi $2$

CMR : $a^2+b^2+c^2+2abc<2$

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

Thỏa mãn $f(f(x))+2f(f(y))=f(x)+f(y)+y$ với x,y là số thực

Tìm tất cả các hàm $f:N\rightarrow N$

thỏa mãn $f(0)=1$ và $f(f(n))=n+2$  với n là các số tự nhiên

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$

CMR : CMR : $\sum \frac{1}{4-ab}\leq 1$

Cho $x,y,z>0$ thỏa $xyz=1$

CMR $x^2+y^2+z^2+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương và $a+b+c=3$

Chứng minh $a^2+b^2+c^2\geq a^2b+b^2c+c^2a$

Ta có $a^2+b^2+c^2+1\geq a+b+c$

<=> $a^2-a+1/4+b^2-b+1/4+c^2-c+1/4+1/4\geq 0$

<=> $(a-1/2)^2+(b-1/2)^2+(c-1)^2+1/4\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi nào

Cho a,b,c là các số thực dương

CMR $17a^2+5b^2+9c^2\geq 2(2ab+6bc+3ac)$

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a+b+c=0$

CMR : $|a-b|+|b-c|+|c-a|\geq 6.\sqrt{6(a^2+b^2+c^2}$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR : 

$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq ab+bc+ca$

Bài 15: Cho phương trình $x^2+(2a-6)x+13=0$ với $a\geq 1$

Tìm a để nghiệm lớn của PT đạt GTLN

Chứng minh rằng 

$a^2+b^2\geq 2ab$

Cho họ $C(m):y=x^3+(m+|m|)x^2-4x-4(m+|m|)$

Tìm các điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

Giải PT sau : $Sin^3x+cos^3x=2(sin^5x+cos^5x)$

Chứng minh rằng $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$

Đặt $a=x+1;b=y+1;c=z+1$. Khi đó $x,y,z$ thuộc $[0;2]$ và $x+y+z=3$

Không giảm tổng quát, giả sử $x$= $max{x;y;z}$ suy ra $x+y+z=3\leq 3x$

Suy ra $1\leq x\leq 2$ <=> $(x-1)(x-2)\leq 0$

Nên $x^2+y^2+z^2\leq x^2+(y+z)^2=x^2+(3-x)^2=5+2(x-1)(x-2)\leq 5$

Tức là $x^2+y^2+z^2\leq 5$ (*)

Cũng tương tự c.m được $x^3+y^3+z^3\leq 9$ (**)

a) Ta có $a^2+b^2+c^2=(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3$ (1)

Thay (*) vào (1) ta có $a^2+b^2+c^2\leq 14$ đpcm

b) Ta có $a^3+b^3+c^3=(x+1)^3+(y+1)^3+(z+1)^3=x^3+y^3+z^3+3(x^2+y^2+z^2)+3(x+y+z)+9$ (2)

Thay (*) và (**) vào (2) ta có $a^3+b^3+c^3\leq 36$ là đpcm

Cam on bn nhé

Cho $a,b,c$ thuộc $[1;3]$ và $a+b+c=6$. CMR : 

a) $a^2+b^2+c^2\leq 14$

b) $a^3+b^3+c^3\leq 36$

Giả sử $a/3+b/2+c=0$. Chứng minh rằng PT : $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$

Cho hàm số $y=2x^3-x^2$. Giả sử đường thẳng $y=a$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm có hoành độ $x_{1}, x_{2}, x_{3}$. Tính tổng $x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2$

Chứng minh rằng với $a,b,c$ là các số thực dương thì

$1/(b^2+bc+c^2)+1/(c^2+ca+a^2)+1/(a^2+ab+b^2)\geq 9/(a+b+c)^2$