Ta có: ab= 1/4[ (a+b)^2 -(a-b)^2] =< 1/4(a+b)^2 và a^2+b^2= 1/2[ (a+b)^2 +(a-b)^2] >= 1/2(a+b)^2

 

Lại có (a+b)^3 +4ab >=2

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 + [(a+b)^2 -(a-b)^2] >=2

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 + (a+b)^2 -2 >= (a-b)^2 >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 - (a+b)^2 +2(a+b)^2 -2(a+b) +2(a+b) -2 >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b-1)[ (a+b)^2 +2(a+b) +2] >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b-1) >=0 $\Leftrightarrow$ a+b >=1

 

Khi đó A= 3 { (a^2+b^2)^2 - 1/4[ (a^2+b^2)^2 -(a^2-b^2)^2]} -2(a^2+b^2) +1

             = 9/4(a^2+b^2 -4/9)^2 +3/4(a^2-b^2) +5/9

Do 1 =< (a+b)^2 =< 2(a^2+b^2) $\Rightarrow$ a^2+b^2 >= 1/2 , (a^2-b^2) >=0 .

  Vậy A >= 9/4[1/2-4/9]^2 +3/2*0^2 +5/9 = 9/16 $\Rightarrow$ min A =9/16 $\Leftrightarrow$ a=b=1/2

New hope, new life.

Ta có: ab= 1/4[ (a+b)^2 -(a-b)^2] =< 1/4(a+b)^2 và a^2+b^2= 1/2[ (a+b)^2 +(a-b)^2] >= 1/2(a+b)^2

Lại có (a+b)^3 +4ab >=2

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 + [(a+b)^2 -(a-b)^2] >=2

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 + (a+b)^2 -2 >= (a-b)^2 >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b)^3 - (a+b)^2 +2(a+b)^2 -2(a+b) +2(a+b) -2 >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b-1)[ (a+b)^2 +2(a+b) +2] >=0

$\Leftrightarrow$ (a+b-1) >=0 $\Leftrightarrow$ a+b >=1

Khi đó A= 3 { (a^2+b^2)^2 - 1/4[ (a^2+b^2)^2 -(a^2-b^2)^2]} -2(a^2+b^2) +1

             = 9/4(a^2+b^2 -4/9)^2 +3/4(a^2-b^2) +5/9

Do 1 =< (a+b)^2 =< 2(a^2+b^2) $\Rightarrow$ a^2+b^2 >= 1/2 , (a^2-b^2) >=0 .

  Vậy A >= 9/4[1/2-4/9]^2 +3/2*0^2 +5/9 = 9/16 $\Rightarrow$ min A =9/16 $\Leftrightarrow$ a=b=1/2

Cho $\bigtriangleup$ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I), BC=R√3, H là trực tâm của tam giác ABC. Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HIO.( R là độ dài bán kính của (O) ).

1) Cho a,b là các số thực và a²+b²<1. Chứng minh rằng phương trình (a²+b²-1)x²-2(ac+bd-1)x+c²+d²-1=0 luôn có nghiệm.

2) Tìm a,b nguyên dương ($a\geq b$) sao cho các nghiệm của phương trình x²-abx+a+b=0 là các số nguyên dương.

3) Cho p nguyên tố, a nguyên dương sao cho 1+2√a không là số nguyên tố thì phương trình x²-2√ax-p=0 không có nghiệm hữu tỉ.