$BY,CZ$ là các đường cao, $M$ là trung điểm $BC$. $A'$ đối xứng $A$ qua $O$.

Lấy $R$ đối xứng $A$ qua $D$, $T$ đối xứng $H$ qua $AB$

Ta có $HR \perp AH \Rightarrow RT \perp AT \Rightarrow RT$ đi qua $A'$.

Từ đó $OD || TA' ||ZM$. Tương tự ta cũng có $OE || YM$

Đường thẳng qua $D$ vuông góc $AB$, cắt $AO$ tại $P$. 

Ta có $\angle AED =\angle ACB =\angle AA'B=\angle APD \Rightarrow ADPE$ nội tiếp 

$\angle PDE=\angle PAE = \angle A'BC = \angle HCB = \frac{1}{2} \angle BMZ = \frac{1}{2} \angle ODE$

$\Rightarrow PD$ là phân giác góc $ODE$. Tương tự $PE$ là phân giác góc $OED \Rightarrow$ ĐPCM

Cho số nguyên dương $n>3$ và tập hợp $A$ có $n$ phần tử. Xét tập hợp $S$ gồm các tập con của tập $A$ thoả mãn mỗi tập con có $3$ phần tử và hai tập con khác nhau có chung với nhau không quá $1$ phần tử. Kí hiệu $f(n)$ là số lớn nhất các phần tử thuộc tập $S$. Chứng minh rằng $\frac{n(n-1)}{6} \geq f(n) \geq \frac{(n-1)(n-2)}{6}$

B3: Ta có $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(a+c)}+\frac{1}{c^{3}(b+a)}= \sum \frac{1/a^2}{a(b+c)} = \sum \frac{b^2c^2}{a(b+c)} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2} \geq \frac{3\sqrt{(abc)^2}}{2}=\frac{3}{2}$

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt, là số lẻ và chia hết cho 9?

Có bao nhiều số tự nhiên có 2018 chữ số lập từ tập $S={0,1,2,3,4,5,6}$ sao cho chữ số đầu tiên bên trái bằng $1$ và hai chữ số kề nhau bất kì hơn kém nhau $1$ đơn vị?

Tìm tất cả các hàm liên tục $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn $f(x)=f(x^2+\frac{1}{4})$

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $x_0=2018, x_n=\frac{-2018}{n} \sum_{i=0}^{n-1} x_i (\vee n \geq 1)$. Tính $\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{n^2.\sum_{i=0}^{2018}2^i.x_i+5}{-2019n^2+4n-3}$

Gọi $I'$ là giao của $A'C'$ và $SO$. Ta có $I'$ thuộc $A'C' \Rightarrow I'$ thuộc $(P)$, $I'$ thuộc $SO \Rightarrow I'$ thuộc $(SBD)$

$\Rightarrow I'$ nằm trên giao tuyến của $(SBD)$ và $(P) \Rightarrow I',B',D'$ thẳng hàng

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $x_1=\frac{139}{2017}, x_{n+1}=\frac{2x_n^2}{9x_n^2-10x_n+4}$. Tính $\lim \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k}{1-x_k}$

Cho $K$ là tập các số tự nhiên có 4 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số trong $K$. Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số chia hết cho $4$

 

Khi đó $A_k$ có tối đa $1+(2018-1011)+1=1009$ phần tử. Điều này là vô lí vậy kết quả là $1010$

 

Bạn giải thích kĩ chỗ này giúp mình với

Cho dãy số $x_1=2, x_{n+1}=\frac{n}{2n+1}(x_n+1)$. CMR $(x_n)$ có GHHH và tìm giới hạn đó

Cho $f(x)$ là đa thức có hệ số nguyên và $f(0)=0, f(1)=2$. Chứng minh rằng $f(7)$ không là số chính phương

Đầu tiên nhận xét: $a\geq \frac{-6}{5}$., ta chứng minh với mọi $a\geq \frac{-6}{5}$ đều thỏa mãn

Nhận xét 2: $a_3 >0$ với mọi $a\geq \frac{-6}{5}$

Xét $a=6$ thì $a_n=6$ với mọi $n$ nên thỏa mãn.

Xét $\frac{-6}{5}\leq a < 6$ thế thì $0<a_3<6$, bằng quy nạp ta chứng minh đc $a_n<6$ mọi $n>3$, từ đó $a_n$ tăng với mọi $n>3$ nên có g/h

Xét $a>6$ tương tự: $a_n>6$, $a_n$ giảm nên cũng có g/h

Còn $a=-1$ thì $\lim x_n=1$ ạ

Giải phương trình $cosx=1-x^2$

Cho dãy $(x_n): x_1=a, x_{n+1}=\sqrt{5x_n+6}$. Tìm $a$ để $(x_n)$ tồn tại giới hạn hữu hạn

Câu 2. Phân tích bình phương S.O.S
$(a-b)^2(\frac{1}{ab}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2})+(b-c)^2(\frac{1}{bc}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2})+(c-a)^2(\frac{1}{ca}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}) \geq 0$
Đặt $\frac{1}{ab}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}=S_{c};\frac{1}{bc}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}=S_{a};\frac{1}{ca}-\frac{2\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}=S_{b}$
Giả sử $a \geq b \geq c \Leftrightarrow  S_{a} \geq S_{b} \geq S_{c}$ 
Ta sẽ chứng minh  $S_{b} + S_{c} \geq 0$
Ta có $S_{b} + S_{c}=\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}-\frac{4\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{4}{ac+ab}-\frac{4\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}$
Lại có $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2}+c^2 \geq \sqrt{2}(ac+ab)$ nên ta có ĐPCM
$S_{a} \geq S_{b} \geq S_{c}$ và $S_{b} + S_{c} \geq 0$ nên theo tiêu chuẩn phân tích bình phương S.O.S ta có ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Tiêu chuẩn này cần phải có thêm $S_b \geq 0$ nữa chứ anh?

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, trực tâm $H$, $M$ là trung điểm $AH$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $OM$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng $MP=MQ$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$, cắt $AC,AB$ tại $E,F$. $BE$ cắt $CF$ tại $H$. $L$ là hình chiếu của $K$ lên $AH$. Chứng minh $B,F,H,L$ thuộc một đường tròn

Bài 2:

Ta có $\widehat{BEA}=\widehat{BPM}=\widehat{PBM} \Rightarrow PB$ là tiếp tuyến của $(EBA) \Rightarrow PA.PE=PB^2$

P/s: Em k biết cách up hình, mong anh thông cảm

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi:

i) $u_1=p>0,u_2=q>0$

ii) $u_{n+2}=\sqrt[3]{u_{n+1}}+\sqrt{u_n}$

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$. $(AIB),(AIC)$ cắt $AC,AB$ tại $E,F$. Chứng minh $(AEF)$ đi qua điểm chính giữa cung $BAC$ của $(ABC)$

Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y=2sinx+2cosx-2sin2x$ trên $R$

Chứng minh hàm số $y=tan \sqrt{x}$ không là hàm số tuần hoàn

Bài này khá quen.

Ta có: $OO'$ đi qua trung điểm $AB,AK$ từ đó suy ra $OO' $ || $BK$

$BK$ cắt hai đường tròn tại $E,F$.

Khi đó $AE,AF$ là đường kính và ta có: $CEFD$ là hình thang. 

Kết hợp $K$ là trung điểm $EF$ (dễ chứng minh). Từ đó suy ra đpcm

 

Một mở rộng nho nhỏ: Đường tròn $(K;KD)$ cắt $(O),(O')$ tại $M,N$ thì $M,A,N$ thẳng hàng

Vì sao có $CEFD$ là hình thang, $K$ là trung điểm $EF$ thì suy ra được đpcm vậy bạn?