Bài này thuộc box toán đại học thì hợp lý hơn. Thử giải bài tìm $a,b\geq 0$ để a^b=b^a. Lấy log quy về việc khảo sát hàm $\dfrac{lnx}{x}$ trên $(0,+\infty)$. Hàm này đồng biến khi x tăng từ 0 đến e, từ e đến $+\infty$ thì nó nghịch biến và giảm từ 1/e tới 0. Quay lại bài toán ban đầu, chú ý là vì $2>1$ nên $\dfrac{ln2}{2}>0$, do đó phương trình 2^x=x^2 có đúng 2 nghiệm, 1 nghiệm bé hơn e là 2, và 1 nghiệm lớn hơn e, hãy thử chứng minh nghiệm này là số siêu việt cho vui

Bài này có 3 nghiệm cơ anh ạ! x=2, x=4 hoặc x=-0,766664696...
Nghiệm âm phải giải bằng máy tính thôi. Có lẻ đề nên ra với điều kiện x>0 thì đúng hơn.

Giải phương trình: $x^2=2^x$

Lấy từ: http://quyndc.blogspot.com

123 đề - Download
60 đề - Download
nguồn: http://quyndc.blogspot.com
cập nhật sau

Anh ơi cho em hỏi 123 đề thi thử ĐH tuyển chọn từ các diễn đàn đó có đáp án không vậy. Đề hay quá nhưng tiếc là chưa có đáp án!

Hình như cả hai link đều có vấn đề rồi! Nhờ anh KimLuan up lên lại giùm em với! Thanks!

Cho $a, b, c$ không âm thõa mãn $ab+bc+ca=1$. CMR: $\dfrac{a^3}{1+b^2}+\dfrac{b^3}{1+c^2}+\dfrac{c^3}{1+a^2} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

Link die rồi anh Hùng ơi! Post lại giùm bọn em cái đi!

Cám ơn anh lovelymonkey nhiều. Bài viết rất thú vị! Mong anh tiếp tục phát huy!

Nhanh lên ta để còn về Quảng Bình!

Nhìn cứ như đang ở châu Âu vậy nhỉ . Đẹp thật!

Đề 4: Năm học 2006-2007


Ngày thứ nhất

Câu 1(1,5 điểm): Tìm tất cả các giá trị của x thõa mãn: $\sqrt{2x-3}=2$

[b]Câu 2(2,0 điểm):[/b] Cho phương trình: $2x^2-(m-2)x-m^2+m=0$ (1)
a) Giải phương trình (1) khi m=-1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm khi x=3

Câu 3(1,5 điểm): Giải hệ phương trình:
$(x+y)(x^2+y^2)=15$
$(x-y)(x^2-y^2)=3$

Câu 4(1,5 điểm): Tìm GTNN của biểu thức:

$P(x)=\dfrac{2005x+2006\sqrt{1-x^2}+2007}{\sqrt{1-x^2}}$

Câu 5(3,5 điểm): Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC cố định không đi qua tâm O. Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ AC (điểm M không trùng với A và M cũng không trùng với C), kẻ tia Bx vuông góc với tia MA ở I cắt tia CM tại D.
a) CM: $\widehat{AMD} =\widehat{ABC}$ và MA là tia phân giác $\widehat{BMD}$.
b) CMR điểm A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và góc BDC có độ lớn không phụ thuộc vị trí điểm M.
c) CM tích p=AE.AF không đổi khi điểm M di động. Tính p theo bán kính R và góc ABC = $\alpha$

Ngày thứ hai

Câu 1(2,0 điểm): Rút gọn biểu thức: $P=\sqrt{(x-4)+4\sqrt{x-4}+4}+\sqrt{(x-4)-4\sqrt{x-4}+4}$

Câu 2(1,5 điểm): Cho ba số thực a, b, c thõa mãn điều kiện abc=1. CMR:

$\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ca}=1$

Câu 3(1,5 điểm): Tính giá trị của biểu thức:

$A=\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}$

Trong đó x, y, z là các số thực dương thõa mãn: $x+y+z+\sqrt{xyz}=4$

Câu 4(1,5 điểm): Cả ba vòi nước cùng chảy vào một bể. Nếu vòi thứ nhất và vòi thứ hai cùng chảy trong 6 giờ thì đầy $\dfrac{3}{5}$ bể. Nếu vòi thứ hai và vòi thứ ba cùng chảy trong 5 giờ thì đầy $\dfrac{7}{12}$ bể. Nếu vòi thứ ba và vòi thứ nhất cung chảy trong 9 giờ thì đầy $\dfrac{3}{4}$ bể. Hỏi nếu cả ba vòi cùng chảy thì bao lâu bể sẽ đầy nước.

Câu 5(3,5 điểm): Cho hai đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ cắt nhau tại A và B sao cho hai điểm $O_1$, $O_2$ nằm về hai phía khác nhau đ?#8220;i với đường thẳng AB. Đường thẳng d quay quanh điểm B, cắt các đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ lần lượt tại C và D (C không trùng với A, B và D cũng không trùng với A, B).
a) CMR số đo các góc ACD, ADC và CAD không đổi.
b) Xác định vị trí của đường thẳng d để đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất.
c) Các điểm M, N lần lượt chạy ngược chiều nhau trên $(O_1)$ và $(O_2)$ sao cho các góc $MO_1A$ và $NO_2A$ bằng nhau. CMR đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Đề 3: Năm học 2005-2006
Ngày 1: Dành cho tất cả thí sinh

Câu 1(2,5 điểm): Cho biểu thức: $M=[(3x-36)\sqrt{x-5}+3(x-12)].\dfrac{1}{3(x-12)}$

a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm x để biểu thức M đạt GTNN?

Câu 2(2,0 điểm): Cho phương trình: $x^2+(2m-1)x+m^2+2=0$ (1), với m là tham số.
Xác định giá trị tham số m để:
a) Phương trình (1) có một nghiệm bằng 2.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thõa mãn $x_2=2x_1$.

Câu 3(1,0 điểm): Tìm GTLN của biểu thức: $P=\sqrt{x}-x;$ (x>0).

Câu 4(3,5 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường phân giác trong và ngoài của góc A cắt BC lần lượt tại D và E. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC ở F.
a) CM tam giác FAD cân tại F.
b) CM: $FD^2=FB.FC$
c) Đặt AB=m, AC=n. Tính tỷ số $\dfrac{FB}{FC}$ theo m và n

Câu 5(1,0 điểm): Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được 2005 số liên tiếp nhau mà không có số nào nguyên tố không?

Ngày 2: Dành cho thí sinh dự thi vào lớp chuyên

Câu 1(1,5 điểm): Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh hai số sau:
$a=\sqrt{2006}-\sqrt{2005}$ và $b=\sqrt{2004}-\sqrt{2003}$

Câu 2(2,0 điểm): Giải phương trình: $x^2+1=2\sqrt{2x-1}$

Câu 3(2,0 điểm): Rút gọn biểu thức:

$A=\dfrac{\sqrt{(x+2)^2-8x}}{\sqrt{x}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}$

Câu 4(3,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B. Từ C kẻ tia Cx vuông góc với AB. Trên tia Cx lấy hai điểm E, F sao cho CE=CA và CF=CB. Vẽ đường tròn tâm $O_1$ đi qua ba điểm A, C, E và đường tròn tâm $O_2$ đi qua ba điểm B, C, F, chúng cắt nhau tại điểm thứ hai D.
a) CM ba điểm E, B, D thẳng hàng và ba điểm A, D, F thẳng hàng.
b) Khi C di động trên đoạn thẳng AB (C không trùng với A và C cũng không trùng với B), chứng minh đường thẳng CD luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5(1,5 điểm):
An hỏi Bình: Bố của bạn năm nay bao nhiêu tuổi?
Bình đáp: Năm 1986, tuổi của bố mình là một số có hai chữ số và bẳng tổng các chữ số năm sinh của bố mình. Hỏi bố của Bình sinh năm nào và năm 2005 này bố của Bình bao nhiêu tuổi?

Đề 2: Năm học 2004-2005

Câu 1(2,5 điểm): Cho biểu thức:

$P=(\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}).\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}$

a) Với giá trị nào của $x $thì biểu thức $P$ có nghĩa?
b) Rút gọn P r?#8220;i so sánh $P$ với $1$.

Câu 2(2,0 điểm): Cho $a, b, c$ là ba số thực đôi một khác nhau thõa mãn:

$\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0$

CMR: $\dfrac{a}{(b-c)^2}+\dfrac{b}{(c-a)^2}+\dfrac{c}{(a-b)^2}$

Câu 3(2,0 điểm): CMR, nếu $p$ và $p^2+2$ là các số nguyên tố thì $p^3+2$ cũng là số nguyên tố.

Câu 4(3,5 điểm): Cho đường tròn $(O;R)$ có đường kính $AB$ cố định. Điểm $M$ di động trên đường tròn $(O;R)$. $C$ là một điểm cố định giữa $A$ và $O$ (điểm $C$ không trùng với $A$, không trùng với $O$ và $C$ không phải là trung điểm của đoạn thẳng $AO$).
a) Tìm vị trí của điểm $M$ trên đường tròn $(O;R)$ sao cho độ dài của $MC$ lớn nhất?
b) Gọi $N$ là một điểm trên đường tròn $(O;R)$ sao cho $NC$ vuông góc với $MC$. Gọi $K$ là trung điểm của $MN$. CMR, khi điểm $M$ di động trên đường tròn $(O;R)$ thì $OK^2+CK^2$ là một số không đổi.
c) CMR, khi điểm $M$ di động trên đường tròn $(O;R)$ thì điểm$ K$ di động trên một đường tròn cố định có tâm là trung điểm $I$ của đoạn thẳng $OC$.

Thi tuyển vào lớp 10 Chuyên Toán - THPT Chuyên Quảng Bình

Đề 1: Năm học 2002-2003

Câu 1(2 điểm):
Cho đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=-2x+b$
1) Xác định $(d)$ trong mỗi trường hợp sau:
a/ (d) đi qua điểm $A(-1;4)$
b/ (d) cắt trục tung tại B có tung độ bằng 3
2) Tìm $m$ để 2 đường thẳng được xác định trên và đường thẳng $y=mx$ đôi một song song

Câu 2(1,5 điểm):
CMR: $\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{6}$

Câu 3(2 điểm):
Cho phương trình: $x^2+mx+3=0 (1)$
1) Xác định giá trị của $m$ để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
2) Với giá trị nào của $m$ thì phương trình (1) có một nghiệm bằng $1$? Tìm nghiệm kia.

Câu 4(3,5 điểm): Cho tam giác $ABC (AB=AC)$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$, đường cao $AH$. Giả sử $M$ là một điểm trên cung nhỏ $AB$ ($M$ không trùng với $A$ và $B$), từ $C$ hạ $CD$ vuông góc với $AM$ ($D $thuộc $AM$)
1) CM tứ giác $ADHC $nội tiếp được trong một đường tròn.
2) CM góc $ACB$ bằng góc $AMC$
3) CM rằng khi $M$ thay đổi trên cung nhỏ $AB$ thì góc $HDC$ không đổi
4) CM $DH$ song sonh với $BM$

Câu 5(1 điểm):
1) CMR: Với $k \geq 1 $, ta có: $\dfrac{1}{(k+1)\sqrt{k}}<2(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}})$
2) CMR: $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{2004\sqrt{2003}}<2$

Những bài toán rời rạc xưa nay được xem là không gần gũi lắm với hình giải tích. Mọi người thấy ý kiến này thế nào?

Có ai có tài liệu về hình học Tổ hợp không ạ? Giúp cho em với. Phần này hình như ít tác giả có sách nhỉ?

Vì sao VMF đi xuống? Một phần lớn là do chất lượng của host không ổn định. Nghe các anh nói thì VMF toàn bị hack. Cái trang chủ ngày xưa bây giờ còn đâu. VMF có nhiều thành viên là Kiều bào nước ngoài thật. Vậy một tháng có thể trích ra mỗi người chỉ 10 USD thôi để ủng hộ cho VMF không? Đôi lúc muốn post bài mà trang web bị lỗi. Hứng thú còn đâu!

Bọn nó chẳng còn nhiệt tình đâu. Nếu tổ chữc thì tổ chức ở đâu?

Bạn tham khảo ở cuốn BD HSG Hình học 12 - Phan Huy Khải, Lê Tất Tôn, Đào Ngọc Nam, Đặng Quang Viễn có nói rõ vấn đề này bằng phương pháp tọa độ.

Thêm bài thư giản:
Cho đường tròn (O; R). Đường tròn (O') qua O có điểm chung với (O; R). M, N là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn (O'). A, B là các điểm sao cho:
$\vec{OM}. \vec{OA} = \vec{ON} . \vec{OB} = R^{2} $
Chứng minh các điểm chung của hai đường tròn thuộc đường thẳng AB

BÀi này dấu bằng vẫn xảy ra bình thường mà bạn

Thế thì bài này bạn spam đấy nhé

Dấu bằng hơi bị xấu đấy , nếu a+b+c=91 thì $ \sqrt{a^2+1} + \sqrt{b^2+1} + sqrt{c^2+1} \geq \sqrt{91^2+9}$ , chứ c/m cái kia thì phải mò dấu bằng ....khoai ...

Ai chả biết, bạn nói thế làm gì!

Trời, có hơn 3 tuần rồi mà sao không có ai post bài mới cho chuyên mục này nhỉ?

Xóa giúp em cái

Chính xác BDT Minkowski là một biến dạng của BDT Côsi-Bunhiakowski. Với mọi số thực a, b, c, a', b', c'. Ta có:
$ \sqrt{a^2+a'^2}+\sqrt{b^2+b'^2}+\sqrt{c^2+c'^2} \geq \sqrt{(a+b+c)^2+(a'+b'+c')^2} $. Dễ dàng tổng quát lên với hai bộ số thực bậc n. BDT Minkowski có rất nhiều ứng dụng tuyệt vời để giải Toán BDT. Nhưng sao lại trong các cuốn sách lại không thống nhất các tên gọi của các BDT nhỉ, không biết gọi tên theo sách nào cho đúng khi làm bài!

Đề nghị bạn Vietkhoa post bài giải hoàn chỉnh lên. Tại sao bạn lại giải ra kết quả khác với đáp số. Sửa đi. Bài này không tầm thường đâu. Cả một vấn đề lớn với học sinh Tiểu học đấy.