Cho a, b, c >0 và a+b+c=3

Cmr: $\frac{a}{b^{3}+ab}+\frac{b}{c^{3}+bc}+\frac{c}{a^{3}+ca}\geq \frac{3}{2}$

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+c(\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{a^{2}})=6$

TÌm GTNN của $P=\frac{bc}{a(2b+c)}+\frac{ca}{b(2a+c)}+\frac{4ab}{c(a+b)}$

Tìm tất cả các số nguyên dương n để A = 2⁹+2¹³+2ⁿ là số chính phương.

Cho a, b, c không âm thỏa mãn a+b+c=1008. Tìm GTLN của 

P=\sqrt{2016a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}+\sqrt{2016b+\frac{(c-a)^{2}}{2}}+\sqrt{2016c+\frac{(a-b)^{2}}{2}}

Ta chia nền nhà thành các ô kích thước 1x1 rồi tô đen các ô ở dòng lẻ và cột lẻ. Ta thấy mỗi viên gạch 1x4 chiếm 4 ô vuông trên nền nhà sẽ chứa một số chẵn các các ô đen còn các ô 2x2 trên nền nhà sẽ chứa đúng một ô đen
Lúc đầu tất cả gạch sẽ lát kín nền nhà nên số viên gạch 2x2 có cùng tính chẵn lẻ với các ô đen.
Vì vậy nếu số viên gạch 2x2 bớt đi một đơn vị, tức là tính chẵn lẻ bị thay đổi, khác tính chẵn lẻ với các ô đen. Do đó nền nhà không được lát kín.

Một cái nền nhà dạng hình chữ nhật được lát kín bằng những viên gạch men kích thước 2x2 và 1x4. Khi sửa nền nhà, người ta phải dỡ tất cả các gạch men đã lát, nhưng không may vỡ mất một viên 2x2. Vì không có gạch men 2x2 nên người ta thay viên bị vỡ bởi các viên kích thước 1x4. Chứng minh rằng bây giờ nền nhà không thể lát được bởi các viên gạch ấy

Cho x, y thuộc Q thỏa mãn (x+y)³=xy(3x+3y+2)

Cm: $\sqrt{1-ab}\in Q$

Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc

Tìm GTNN của $P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$

Cho mình hỏi nhé: Y tưởng chứng minh bài này là gì vậy?

Trong (O) có bán kính 21 đơn vị, cho 399 điểm bất kì A1, A2,...,A399. Chứng minh rằng tồn tại vô số hình tròn có bán kính bằng 1 đơn vị nằm trong (O) và không chứa điểm nào trong 399 điểm nào trong 399 điểm A1, A2,...,A399 nói trên.

Cho a,b,c>0, ab+bc+ca=3.

Cm: $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+1}\leq 1$

bình phương lên rồi đưa về dạng cơ bản của bài toán số hữu tỉ này

Mình vẫn chưa làm được

Tìm x, y thuộc Q biết: $\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{3x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}$

Cho $x^{2}+y^{2}=1$ 

Tìm GTNN và GTLN của $P=y^{2}+xy\sqrt{3}$

Tìm n thuộc Z+ để $n^{2}+3^{n}$ là số chính phương

Giải hệ: 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+(y+1)^{2}=xy+x+1\\ 2x^{3}=x+y+1 \end{matrix}\right.$

Cho a, b, c> 0 thỏa mãn $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=1$

Cm: $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Cho x>2, $\sqrt{x}+\sqrt{4-x}=a$

Tính $A=\frac{\sqrt{2-\sqrt{4x-x^{2}}}}{x-2}$ theo a

Cho x; y; z> 0 và $x+y+z\leq \frac{3}{2}$

Cm: $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z}}\geq \frac{3}{2}\sqrt{17}$

Cho $A_{n}=\frac{1}{(2n+1)\sqrt{2n-1}}$ với n nguyên dương

Cm: $A_{1}+A_{2}+A_{3}+...+A_{n}<1$

Giải phương trình: $3x+7\sqrt{x-4}=14\sqrt{x+4}-20$

Giải phương trình: $x^{2}+2x+2x\sqrt{x+1}=9-\sqrt{x+3}$

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1.

Tìm GTLN của $P=\frac{a}{9a^{3}+3b^{2}+c}+\frac{b}{9b^{3}+3c^{2}+a}+\frac{c}{9c^{3}+3a^{2}+b}$

Tam giác BOC. Vẽ 2 đường thẳng d và d' đi qua qua B và C sao cho d song song với d'. d cắt OC tài A, d' cắt OB tại D. Xác định vị trí của d và d' để 1/AB +1/CD đạt giá trị lớn nhất.

Cho hình vuông ABCD, lấy M thuộc BD. P, Q là hình chiếu của M trên AB, AD.

Cm: CM vuông góc với PQ