$\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^2+c^2)(b+c)}$

$\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}-\sum \frac{a}{b+c}=\sum bc(b-c)[\frac{1}{(c^2+a^2)(c+a)}-\frac{1}{(a^2+b^2)(a+b)}]$

$=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\sum \frac{bc(b-c)^2)}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a+b)(a+c)}\geq 0$

Vài năm rồi, mình mới động lại bất đẳng thức, mở bát đầu năm mới xua đi xui xẻo  

Để chứng minh bài toán này dễ dàng hơn thì cần dùng tới bổ đề sau (các bạn tự chứng minh thử)

Với $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$, ta có:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+6\geq \frac{3}{2}(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Với bài toán ban đầu, ta chỉ cần chứng minh với trường hợp $a\geq b\geq c$.

Ta có $\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Áp dụng bổ đề trên thì

$\sum \frac{a^2}{b^2}+6\geq \frac{3}{2}\sum \frac{a^2+b^2}{ab}$

$\Rightarrow (\sum \frac{a}{b})^2=\sum \frac{a^2}{b^2}+\sum \frac{b}{a}+\sum \frac{b}{a}\geq \frac{3}{2}\sum \frac{a^2+b^2}{ab}-6+\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}=\frac{5}{2}\sum \frac{a^2+b^2}{ab}-6$

Ta cần chứng minh

$\frac{5}{2}\sum \frac{a^2+b^2}{ab}-6\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}$

$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(\frac{5}{ab}-\frac{9}{ab+bc+ca})\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(\frac{5c}{a}+\frac{5c}{b}-4)\geq 0$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$, ta có

$\frac{5a}{b}+\frac{5a}{c}-4\geq \frac{5b}{c}+\frac{5b}{a}-4\geq \frac{5c}{a}+\frac{5c}{b}-4$

Lại có $\frac{5b}{c}+\frac{5b}{a}-4+ \frac{5c}{a}+\frac{5c}{b}-4 \geq \frac{5(b^2+c^2)}{bc}-8\geq 2$

Hoàn tất chứng minh.

$9R^2-a^2-b^2-c^2=OH^2 \geq 0$ với H là trực tâm 

Chắc ý bạn là $\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}$

$A^{2}=(\sqrt{a+c}.\sqrt{\frac{2a}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{a+b}.\sqrt{\frac{2b}{(a+b)(b+c)}}+\sqrt{b+c}.\sqrt{\frac{2c}{(c+a)(c+b)}})^{2}$

$A^{2}\leq (a+c+a+b+b+c)(\frac{2a}{(a+b)(a+c)}+\frac{2b}{(a+b)(b+c)}+\frac{2c}{(c+a)(b+c)})$

$A^{2}\leq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a))}\leq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)}=9$

$A\leq 3$

https://diendantoanh...y3zxfracz2z3xy/

Đẳng thức này trên mạng có rất nhiều á

https://diendan.hocm...sinx-dx.618374/

x,y cùng >= 1 hoặc cùng <= 1 thì bất đẳng thức mới đúng

P/S: Em sai, em đang suy nghĩ lại ra em sẽ up

Tầm này thì xem ngoại hạng anh thôi anh em ơi, mấy giải khác nhạt quá

Theo bản thân mình thấy thì quyển Kim cương không hay và cả tác giả là Lê Bá Trần Phương( không làm gì cho sách nhưng vẫn là tác giả) cũng vậy nốt.

cách này thì mik đã lm rồi dù s cũng cảm ơn bạn mik đang tìm theo hướng UCT xem có đc không 

UCT là đưa về hàm 1 biến để tìm ra bất đẳng thức phụ.Bài như này là không thể

Em tham khảo phương pháp S.O.S xem

Bài 1 suy ra 3x^2+y^2+4xy=(x+y)(x^2+xy+2) <=> -(x-1)(x+y)(x+y-2)=0 Tới đây thay vào thôi

Bài 1.2 dùng hàm đặc trưng suy ra x^2+x=2x

Bài 2.2 tìm min x+y rồi dễ dàng tìm min P

VMF ít tôn trọng bản quyền quá , chỉ ghi là trên mạng, không ghi rõ được à, cả lời giải câu bất của thầy Lê Khánh Sỹ cũng chỉ ghi là cop

Bây giờ không thấy ai online cũng không ai up bài nữa

Songminh Nguyễn

Vu Hong Son

Không thấy ai quan tâm, mọi người càng lớn càng bận mà

https://julielltv.wo.../inequality-59/

Bổ đề Vasile

Romanie TST 2006

E mới làm ra câu 1 với 2.1 và 3 thôi, ai làm hết giúp em với

Bài 4: Bất đẳng thức được viết lại thành

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq \frac{3}{2}+\frac{\sum (a-b)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$3-(\sum \frac{a}{b+c})=\sum \frac{b+c-a}{b+c}=\sum \frac{(b+c-a)^2}{(b+c)(b+c-a)}\geq \frac{(\sum a)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq \frac{3}{2}+\frac{\sum (a-b)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Hoàn tất chừng minh

Lời giải 2: Đặt $a=x+y;b=y+z;c=z+x$. Bất đẳng thức được viết lại thành

$\sum \frac{x+y}{x+y+2z}\leq \frac{3}{2}+\frac{\sum (x-y)^2}{2[\sum (x+y)^2]}$

$\sum \frac{x+y}{x+y+2z}\leq 3-\frac{2(x+y+z)^2}{\sum (x+y)^2}$

$\sum \frac{-2z}{x+y+2z}\leq \frac{-2(x+y+z)^2}{\sum (x+y)^2}$

$\sum \frac{z}{x+y+2z}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}$

Bất đẳng thức cuối đúng theo Cauchy-Schwarz, hoàn tất chứng minh

Bài 3: $\sum [\frac{a^3}{a^2+b^2+c^2}-\frac{a^3}{2a^2+bc}]\geq 0$

$\sum \frac{a^3(a^2+bc-b^2-c^2)}{2a^2+bc}\geq 0$

$\sum \frac{a^3[a^2(b+c)-b^3-c^3]}{(b+c)(2a^2+bc)}\geq 0$

$\sum \frac{a^3b(a^2-b^2)+a^2c(a^2-c^2)}{(b+c)(2a^2+bc)}\geq 0 $

$\sum \frac{a^3b(a^2-b^2)}{(b+c)(2a^2+bc)}+\sum \frac{a^3c(a^2-c^2)}{(b+c)(2a^2+bc)}\geq 0$

$\sum \frac{a^3b(a^2-b^2)}{(b+c)(2a^2+bc)}+\sum \frac{b^3a(b^2-a^2)}{(c+a)(2b^2+ca))}\geq 0$

$\sum \frac{ab(a+b)(a-b)^2[2a^2b^2+c(a^3+a^2b+ab^2+b^3)+c^2(a^2+ab+b^2)]}{(b+c)(c+a)(2a^2+bc)(2b^2+ca)}\geq 0$

a,ĐKXĐ:x>0 và $x\neq 1$

b,Ta có:  $A=(\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}): \frac{\sqrt{x}+1}{x}$

                 $=(\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}).\frac{x}{\sqrt{x}+1}$

                 $=(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}).\frac{x}{\sqrt{x}+1}$

                 $=\frac{x+1}{\sqrt{x}}.\frac{x}{\sqrt{x}+1}$

                 $=\frac{(\sqrt{x-1})(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}.\frac{x}{\sqrt{x}+1}$

                 $=(\sqrt{x}-1)\sqrt{x}$

                 $=x-\sqrt{x}$

c,Ta có: $A=x-\sqrt{x}=((\sqrt{x})^{2}-2.\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4})-\frac{1}{4}=(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}\geq -\frac{1}{4}$

Dấu"=" xảy ra khi: $x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

Vậy Min A=$\frac{1}{4}$ khi x=$\frac{1}{2}$

Cảm ơn bạn

Em moi ra bai 3, ranh em dang sol