Cho tam giác $ABC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại X. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ tiếp xúc với $BC$ tại $M$. $X'$ là điểm đối xứng với $X$ qua $I$. Chứng minh $A,M,X'$ thẳng hàng

bài này có trong quyển sách lớp 8 tham khảo nào đó thì pk, thảm khảo dưới 

Num1: 

Num2:

Num3: 

=)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

ừ bài này bổ đề lớp 8 lên lớp 10 có thể chứng minh lại bằng vecto $S_{MNRS}=\frac{1}{3}S_{ABCD}$ và tương tự trong $S_{XYZT}=\frac{1}{3}S_{MNRS}$ 

Cho tứ giác $ABCD$ và các cặp điểm $M, N, P, Q, R, S, U, V$ theo thứ tự thuộc các cạnh $AB, BC, CD,DA$ của tứ giác sao cho: $AM=MN=NB; BP=PQ=QC; CR=RS=SD; DU=UV=VA$. $VP$ theo thứ tự cắt $MS, NR$ tại $X, Y$. $QU$ theo thứ tự cắt $NR, MS$ tại $Z, T$. Chứng minh rằng diện tích tứ giác $XYZT$ bằng $\frac{1}{9}$ diện tích tứ giác $ABCD$.

Cho hai tam giác $A_1BC, A_2BC$. Gọi $I_1, I_2$ theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp của chúng. Chứng minh rằng: $I_1I_2\leq A_1A_2$

Cho lục giác $ABCDEF$. Các điểm $M, N, P, Q, R, S$ theo thứ tự thay đổi trên các cạnh $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ sao cho: 

$\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{CP}{CD}=\frac{DQ}{DE}=\frac{ER}{EF}=\frac{FS}{FA}$. Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác $MPR, NQS$ luôn đối xứng với nhau qua một điểm cố định.

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $X,Y,Z,T$ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác $BCD, CDA, ADB, ABC.$ Chứng minh rằng $AX,BY,CZ,DT$ đồng quy tại một điểm và điểm đó chia mỗi đoạn theo cùng một tỉ số.

Cho tam giác $ABC$ không đều. $BC$ là cạch nhỏ nhất. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác theo thứ tự tiếp xúc với $BC, CA, AB$ tại $X, Y, Z$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $XYZ$. Trên các tia $BA, CA$ theo thứ tự lấy các điểm $E, F$ sao cho $BE=CF=BC$. Chứng minh $IG\perp EF$

P.s: đầu năm nhưng bí sml mọi người giúp một chút nha

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Trên các tia $BA, CA$ theo thứ tự lấy các điểm $E, F$ sao cho $BE=CF=BC$. Chứng minh rằng $I, E, F$ thẳng hàng.

Cho hai tam giác $ABC, A_1B_1C_1$. Gọi $A_2, B_2, C_2$ theo thứ tự là trọng tâm tam giác $A_1BC, B_1CA, C_1AB$. $G,G_1,G_2$ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác $ABC, A_1B_1C_1, A_2B_2C_2$. Chứng minh $G, G_1, G_2$ thẳng hàng.

Cho tứ giác $ABCD$ có $AD=BC$. Về phía ngoài tứ giác, ta dựng các tam giác bằng nhau $ADE,BCF$. Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn$AB,EF,CD$ cùng thuộc một đường thẳng.

Cho góc $\widehat{xOy}$. Các đoạn $AB,CD$ có độ dài bằng nhau và theo thứ tự thuộc các tia $Ox,Oy$. Gọi $I,J$ theo thứ tự là trung điểm $AC,BD$. Chứng minh rằng $IJ$ hoặc cùng phương hoặc vuông góc với phân giác của $\widehat{xOy}$.

chịu khó viết tất cả các biểu thức  của tong rả vở rồi sẽ hiểu

tks bạn do mình suy nghĩ chậm

2 dòng biến đổi cuối tui không hiểu

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $(x+2)(y+2)=\frac{25}{4}$. Chứng minh: $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\geq \sqrt{5}$

Cho x,y là các số tự nhiên thỏa mãn $3y^2+1=x^2$. Chứng minh x là tổng bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: $a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4=3a^4b^4c^4$. Chứng minh:$\frac{1}{a^3b+2b^2+1}+\frac{1}{b^3c+2c^2+1}+\frac{1}{c^4a+2a^2+1}\leq \frac{3}{4}$

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: $a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4=3a^4b^4c^4$. Chứng minh:$\frac{1}{a^3b+2b^2+1}+\frac{1}{b^3c+2c^2+1}+\frac{1}{c^4a+2a^2+1}\leq \frac{3}{4}$

Cách khác:$\sqrt{(x-1)(x-2)}+\sqrt{x-3}=\sqrt{10x-20}<=>x^2-12x+19+2A=0$(Bình hai vế lên)$<=>(x-1)(x-3)-8(x-2)+2A=0$

Đặt $\sqrt{(x-1)(x-3}=a$ và $\sqrt{x-2}=b$$=>a^2-8b^2+2ab=0$ tới đây là pt đẳng cấp bậc 2 dễ giải ~~ 

Giải phương trình:$\sqrt{x^2-3x+2}=\sqrt{10x-20}+\sqrt{x-3}$

Cho x,y thỏa mãn: $x^2+y^2=1$. Tìm :$Min,Max$$P=\sqrt{3}xy+y^2$

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:$5\sum \frac{1}{a}\leq \frac{12}{abc}+3$

P/s: nhầm dấu 

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq 1$

Nếu đề sai thì mình xin sửa lại:$P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc$

Theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhất 2 trong các số a-1, b-1, c-1 cùng dấu. Giả sử là a-1 và b-1.

Suy ra $c(a-1)(b-1)\geq 0 <=>abc\geq ac+bc-c$

Do đó: $2P=2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc)\geq 2(a^{2}+b^{2})+2c^{2}+2(ac+bc-c)\geq (a+b)^{2}+2(a+b)c+c^{2}+(c^{2}-2c+1)-1=(a+b+c)^{2}+(c-1)^{2}-1\geq 8 <=>P\geq 4$

Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c=1

Nguyên lí di rít lê còn dùng được trong bđt nữa hả bạn

 

Bài 3: Xác định các số thực p, q sao cho đa thức $x^{4}+1$ chia hết cho đa thức $x^{2}+px+q$.

Ta có $x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}+1)$ 

vì $x^4+1\vdots (x^2+px+q)$ nên $p=\pm \sqrt{2}$ và $q=1$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c = 3$. Tìm $Min$ $P=a^2+b^2+2c^2+2abc$