Chứng minh phương trình $m^2(x-2)+m(x-1)(x-2)+3(x-1)=0$ luôn có nghiệm

#Bài này mình tìm được trên một chuyên đề về bất phương trình bậc 2 nên mình nghĩ có thể giải bằng delta ạ. Mình cảm ơn ạ.

Cho $(x^{2}-y^2+1)^2+4x^2y^2-x^2-y^2=0$. Tìm GTLN,NN của $S=x^2+y^2$

Cho $(x^{2}-y^2+1)^2+4x^2y^2-x^2-y^2=0$. Tìm GTLN,NN của $S=x^2+y^2$

Tìm $m$ để hệ $\left\{\begin{array}{I}x+my=-m^2\\x+3my\le 0\end{array}\right.$ có nghiệm mà $x^2+y^2$ bé nhất.

Thanks anh ạ

$\lceil$ Bất đẳng thức Holder (!) $\rfloor$

$$\sqrt[3\,]{\left ( 1+ 1 \right )\left ( 1+ 1 \right )\left ( a^{\,3}+ b^{\,3} \right )}\geqq \sqrt[3\,]{a^{\,3}}+ \sqrt[3\,]{b^{\,3}}$$

$\sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}=2x^2-5x-1$

cảm ơn bạn

$\frac{2x+3}{x^2-4}=\sqrt{x+1}$

các anh chị có ebook về bất đẳng thức THCS hay cho e xin link đc ko ạ, e cảm ơn

cm tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Vì sao $r^2=(a^{2}+b^{2}+c^{2})/4$ ạ?

 cho mình hỏi câu a chứng minh tứ giác nội tiếp làm sao ạ?

chưa đúng đâu em, anh nhầm rồi, phải áp dụng thêm BĐT Cô si nữa.

 

$\frac{\left ((x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} \right )(1^{2}+1^{2})}{2}\geq \frac{\left ( x+\frac{9}{x} +4\right )^{2}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi x=3 hoặc -3.(1)

Xét $x+\frac{9}{x}$, nếu x >0 thì $x+\frac{9}{x}\geq 6$, biểu thức có giá trị nhỏ nhất là 57 khi x=3. 

Với x <0 thì $x+\frac{9}{x}\leq -6\Leftrightarrow x+\frac{9}{x} +4\leq -2\Rightarrow \left (x+\frac{9}{x} +4 \right )^{2}\geq 4$, biểu thức có giá trị nhỏ nhất là 9 khi x=-3.(2)

Với (1) và (2) min là 9 khi x =-3.

mà tại sao lại phải xét x>0 và x<0 ạ?

em cảm ơn ạ

chưa đúng đâu em, anh nhầm rồi, phải áp dụng thêm BĐT Cô si nữa.

 

$\frac{\left ((x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} \right )(1^{2}+1^{2})}{2}\geq \frac{\left ( x+\frac{9}{x} +4\right )^{2}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi x=3 hoặc -3.(1)

Xét $x+\frac{9}{x}$, nếu x >0 thì $x+\frac{9}{x}\geq 6$, biểu thức có giá trị nhỏ nhất là 57 khi x=3. 

Với x <0 thì $x+\frac{9}{x}\leq -6\Leftrightarrow x+\frac{9}{x} +4\leq -2\Rightarrow \left (x+\frac{9}{x} +4 \right )^{2}\geq 4$, biểu thức có giá trị nhỏ nhất là 9 khi x=-3.(2)

Với (1) và (2) min là 9 khi x =-3.

em cảm ơn ạ

Biến đổi biểu thức trên thành $(x + 2)^{2} + 11 + (\frac{9}{x})^{2}+\frac{36}{x} = (x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} +7$
 Xét $(x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2}= \frac{\left ((x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} \right )(1^{2}+1^{2})}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Buniacopski, ta có:

$\frac{\left ((x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} \right )(1^{2}+1^{2})}{2}\geq \frac{\left ( x+\frac{9}{x} +4\right )^{2}}{2}$

Khi và chỉ khi $x +2 =\frac{9}{x}+2 \Leftrightarrow x =3$  hoặc $x = -3$ và đoạt min khi $x = -3$.

Vậy min $f(x) = 9$ khi $x = -3$.

Thanks ạ

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^{2}+4x+15+\frac{36x+81}{x^2}$

Vì sao $r^2=(a^{2}+b^{2}+c^{2})/4$?

làm ơn giúp em với ạ

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^{2}+4x+15+\frac{36x+81}{x^2}$

Nếu $f(1)=0$ thì phương trình có 1 nghiệm bằng 1, không thỏa ĐKXĐ của hệ thức 

Thanks ạ

Cho em hỏi vì sao phải xét f(1) khác 0 ạ

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(√a; -37); B(-5; -20), C(7; -16) thẳng hàng. Khi đó a bằng: