Mấy trường thi rồi nên topic hạ nhiệt quá. Góp 1 bài pt bậc 2:

Cho phương trình (m-1)x² - 2(2m-3)x - 5m + 25 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị m là số nguyên sao cho pt có nghiệm là số hữu tỉ.

(Trích đề toán chuyên thi vào THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định)

Mới thi xong hôm trước nên gửi cho anh em     

Bài 142: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c + ab + bc + ca = 6

Chứng minh rằng a² + b² + c² ≥ 3

Đặt $\sqrt[3]{2x+2}=a.$
Viết lại phương trình: $\sqrt[3]{a-1}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a+1}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{a}=-(\sqrt[3]{a-1}+\sqrt[3]{a+1})$
$\Leftrightarrow a=-(2a-3\sqrt[3]{a^3-a})$
$\Leftrightarrow a=-\sqrt[3]{a^3-a}$
$\Leftrightarrow a^3=-a^3+a$
$\Leftrightarrow a(2a^2-1)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
a=0\\
a=\frac{1}{\sqrt{2}}\\
a=-\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x=-1\\
x=\frac{1-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\\
x=-\frac{1+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}
\end{bmatrix}$

Hình như bài này thế ẩn đã dặt vào pt đã cho bị sai

Lời giải cho bài toán này.

Ta có

$P= \left( -m- \dfrac{b}{a} \right) = a \left( -m- \dfrac{b}{a} \right) ^2 +b \left( -m- \dfrac{b}{a} \right) +c$

$=a \left( m^2+ \dfrac{2bm}{a}+ \dfrac{b^2}{a^2} \right) -bm - \dfrac{b^2}{a}+c$

$=am^2+bm+c=P(m)$

Vậy $P \left( -m - \dfrac{b}{a} \right)=P(m), \ \forall m \in \mathbb{R}$.

Đặt $P(x)=ax^2+bx+c$, với $a= \sqrt{2009}- \sqrt{2008}, \ b= \sqrt{2007}- \sqrt{2008}, \ c= 6\sqrt{2008} - 2 \sqrt{2007}$.

Ta có $- \dfrac{b}{a} = \dfrac{ \sqrt{2008}- \sqrt{2007}}{ \sqrt{2009}- \sqrt{2008}}$ và

$$-x- \dfrac{b}{a}= \dfrac{2 \sqrt{2009}-3 \sqrt{2008} + \sqrt{2007}}{ \sqrt{2009}- \sqrt{2008}} + \dfrac{ \sqrt{2008}- \sqrt{2007}}{ \sqrt{2009}- \sqrt{2008}}= \dfrac{2 ( \sqrt{2009}- \sqrt{2008})}{\sqrt{2009}- \sqrt{2008}}=2$$

Do đó giá trị biểu thức đã cho bằng

$P(2)=4a+2b+c= 4( \sqrt{2009} - \sqrt{2008})+ 2( \sqrt{2007}- \sqrt{2008})+ 6 \sqrt{2008}- 2 \sqrt{2007}= 4 \sqrt{2009}$.

Anh ơi hình như anh quên đổi dấu cho x ở phần tính

TT bài 13:

$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{ a^2+b^2+c^2+ ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2}$

Dấu"=" xảy ra<=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bạn ơi bài làm bị ngược dấu