Đã gửi bởi
Câu 1. Cho ba phương trình
$\begin{align*} & ax^2-x-1=0;\tag{1}\\ & bx^2-2x-1=0;\tag{2}\\ & abx^2+\left(a^3-b\right)x+b-a=0.\tag{3} \end{align*}$
Tìm tất cả các giá trị của các tham số $a$, $b$ sao cho hai phương trình bất kỳ đều có nghiệm chung nhưng cả ba phương trình không có nghiệm chung.
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau đây với mọi $x\in\mathbb{R}$
\[A=(\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x+1)(\sin x+\cos x+2)(\sin x+\cos x+3).\]
Câu 3. Cho ba số dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
\[\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+6\geq 2\sqrt{2}\left(\sqrt{\dfrac{1-a}{a}}+\sqrt{\dfrac{1-b}{b}}+\sqrt{\dfrac{1-c}{c}}\right).\]
Câu 4. Cho $18$ điểm nằm trên đường tròn và cách đều nhau.
- Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các đỉnh là $18$ điểm đã cho?
- Có bao nhiêu tam giác cân không phải là tam giác đều tạo bởi các đỉnh đó?
- Có bao nhiêu tam giác trong số tam giác tạo thành nhưng có cặp góc chênh lệch nhau $30^\circ$?
Câu 5. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $1$, $ABCD$ là hình vuông có tâm $O$, điểm $M$ nằm trên cạnh $SA$ sao cho $MS=k\cdot MA$ $(k>0)$. Mặt phẳng qua $CM$ song song $BD$ cắt $SB$, $SO$, $SD$ lần lượt tại $P$, $I$, $Q$.
- Chứng minh rằng $\dfrac{IO}{IS}=\dfrac{1}{2k}$.
- Tính diện tích thiết diện $CPMQ$ theo $k$.
