Đến nội dung

Thong Nhat nội dung

Có 50 mục bởi Thong Nhat (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#717776 $H$ là trực tâm $\Delta ASI$

Đã gửi bởi Thong Nhat on 24-11-2018 - 22:14 trong Hình học

1/ Cho tam giác $ABC$ nhọn có $O,I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F.H,Z,T$ lần lượt là hình chiếu của $D,E,F$ lên $EF,FD,DE.S$ là giao điểm của $EF$ và $ZT.$

a) Chứng minh $H$ là trực tâm tam giác $ASI.$

b) $M$ là giao điểm thứ hai của $AI$ và $(O).$ Đường tròn tâm $M$ qua $E,F$ cắt $(O)$ tại $X,Y.$ Chứng minh $\overline{S,X,Y,Z,T}.$

2/ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ ngoại tiếp $(I).H,D$ là hình chiếu của $A,I$ lên $BC.AI$ cắt lại $(O)$ tại $E,DE$ cắt lại $(O)$ tại $F,BC$ cắt $AF$ tại $K.$

a) Chứng minh $FI \perp FA$ và $A,I,K,H$ đồng viên.

b) $EH$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $L,FL$ cắt $BC$ tại $J.$ Chứng minh tiếp tuyến tại $F$ của $(O)$ đi qua trung điểm của $JK.$




#717595 Cho x, y, z, t là các số thực dương thỏa x+y+z+t = 1

Đã gửi bởi Thong Nhat on 18-11-2018 - 21:36 trong Bất đẳng thức và cực trị

Viết lộn. Mình sửa lại rồi




#717587 Giải phương trình \begin{cases}x(x+y)+y^2=4x-1\\x(x+...

Đã gửi bởi Thong Nhat on 18-11-2018 - 19:23 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

HPT 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x(x+y)+2y^2=8x-2\\ x(x+y)^2-2y^2=7x+2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x(x+y)^2+2x(x+y)-15x=0$

$\Leftrightarrow x((x+y)^2+2(x+y)-15)=0$

* TH1: x=0: Thế vào phương trình thứ nhất ta suy ra: $y^2=-1$ (vô lí)

* TH2: $(x+y)^2+2(x+y)-15=0\Leftrightarrow (x+y-3)(x+y+5)=0$ $\Leftrightarrow$ x+y=3 hoặc x+y=-5

+) x+y=3 $\Leftrightarrow y=3-x$

Thế vào phương trình thứ nhất: 

$3x+(3-x)^2=4x-1 \Leftrightarrow 3x+9-6x+x^2=4x-1\Leftrightarrow x^2-7x+10=0$

$\Leftrightarrow$ x=2; y=1 hoặc x=5; y=-2

+) x+y=-5 $\Leftrightarrow y=-5-x$

Thế vào phương trình thứ nhất:

$-5x+(5+x)^2=4x-1\Leftrightarrow -5x+25+10x+x^2=4x-1\Leftrightarrow x^2+x+26=0$

(vô lí vì $x^2+x+26=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{103}{4}>0$)

Hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (2;1) hoặc (x;y) = (5; -2)




#717580 Cho x, y, z, t là các số thực dương thỏa x+y+z+t = 1

Đã gửi bởi Thong Nhat on 18-11-2018 - 14:29 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x, y, z, t là các số thực dương thỏa x+y+z+t = 4. Chứng minh rằng:

$\frac{xy}{z+t+4}+\frac{yz}{t+x+4}+\frac{zt}{x+y+4}+\frac{tx}{y+z+4}+\frac{\sqrt{xyzt}}{3}\leq 1$




#717493 $\sum \sqrt{xy(x+y)}\geq \sqrt{2xyz...

Đã gửi bởi Thong Nhat on 14-11-2018 - 21:07 trong Bất đẳng thức - Cực trị

a) Cho x, y, z > 0. Chứng minh: $\sqrt{xy(x+y)}+\sqrt{yz(y+z)}+\sqrt{zx(z+x)}\geq \sqrt{2xyz}+\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$

b) Cho a, b, c > 0 thỏa a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\frac{5-3bc}{1+a}+\frac{5-3ca}{1+b}+\frac{5-3ab}{1+c}\geq ab+bc+ca$




#717492 $B,C,N,M$ đồng viên và $(MNP)$ đi qua điểm cố định

Đã gửi bởi Thong Nhat on 14-11-2018 - 21:03 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Hai đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H.$ Một điểm $M$ thay đổi trên đoạn thẳng $AB.$ Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $AC$ cắt $AO$ tại $I,IH$ cắt $CM$ tại $D,BD$ cắt $AC$ tại $N,AD$ cắt $BC$ tại $P.$ Chứng minh:

$a)B,C,N,M$ đồng viên.

$b)(MNP)$ luôn đi qua một điểm cố định.




#717491 $f(x^2+f(y))=4y+\frac{1}{2}f^2(x)$

Đã gửi bởi Thong Nhat on 14-11-2018 - 21:01 trong Phương trình hàm

a) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ sao cho với mọi số nguyên dương n thì: $(f(1))^3+(f(2))^3+...+(f(n))^3=(f(1)+f(2)+...+f(n))^2$

b) Cho hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x^2+f(y))=4y+\frac{1}{2}f^2(x),\forall x,y \in \mathbb{R}$

1) Chứng minh f là hàm lẻ trên $\mathbb {R}$

2) Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn yêu cầu bài toán




#717489 $7^n=xy(z^2+1)+(x^2+y^2)z$

Đã gửi bởi Thong Nhat on 14-11-2018 - 20:56 trong Số học

a) Cho các số hữu tỉ x, y, z thỏa $x^2+y^2+z,\: y^2+z^2+x,\: z^2+x^2+y$ là các số nguyên. Chứng minh 2x là số nguyên

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y, z sao cho: $7^n=xy(z^2+1)+(x^2+y^2)z$

c) Cho a, b là các số thực thỏa $a^p-b^p \in \mathbb{N}^*$ với mọi số nguyên tố p

i/ Chứng minh ab là số hữu tỉ

ii/ Chứng minh a, b là số nguyên




#717468 $\sum \sqrt{a+b^2}\geq 2$

Đã gửi bởi Thong Nhat on 13-11-2018 - 22:34 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho a, b, c không âm thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng $\sqrt{a+b^2}+\sqrt{b+c^2}+\sqrt{c+a^2}\geq 2$

 




#717183 $\overline{H,K,I,Q}$

Đã gửi bởi Thong Nhat on 03-11-2018 - 23:16 trong Hình học

1) Cho tam giác $ABC$ nhọn ngoại tiếp đường tròn $(I).(IBC)$ cắt $(I)$ tại $D,E$ sao cho $D$ ở gần $B,E$ ở gần $C.K$ là giao điểm thứ hai của $(I)$ và $BE,CD$ cắt $BI$ tại $T,CD$ cắt $(I)$ tại $L \neq D.$ Đường thẳng qua $T$ vuông góc với $BI$ cắt $(I)$ tại $P$ nằm trong $\Delta IBC.$ Chứng minh tiếp tuyến tại $P$ của $(I),KL,BI$ đồng quy.

2) Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ nội tiếp $(O, R).$ Các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H.K$ là hình chiếu của $O$ lên $BC,J$ nằm trên $OK$ sao cho $OK.OJ=R^2.HK,EF$ cắt nhau tại $I.BC$ cắt $EF$ tại $P.AP$ cắt lại $(O)$ tại $Q.$ Chứng minh:

a) $\overline{H,K,I,Q}$ và $ID \perp OP.$

b) $\overline{I,J,D}.$




#717152 Cho a, b, c không âm có nhiều nhất một số bằng 0

Đã gửi bởi Thong Nhat on 02-11-2018 - 23:18 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho a, b, c không âm có nhiều nhất một số bằng 0. Chứng minh rằng:

a) $\sum \frac{a^2(b+c)^2}{b^2+c^2}\geq2(\sum ab)$

b) $\sum \frac{a^2+2bc}{b+c}\geq\frac{3}{2}(\sum a)$




#717125 $9(a^3+b^3)\geq \left | a^3b^3+1 \right |$

Đã gửi bởi Thong Nhat on 01-11-2018 - 22:29 trong Bất đẳng thức - Cực trị

1) Cho các số thực a, b thỏa mãn $3(a+b)\geq 2\left | ab+1 \right |$. Chứng minh: $9(a^3+b^3)\geq \left | a^3b^3+1 \right |$

2) Cho a, b > 0. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2}\geq \frac{32(a^2+b^2)}{(a+b)^4}$

3) Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn $a^3+b^3=2$. Chứng minh: $3(a^4+b^4)+2a^4b^4\leq 8$

4) Cho số thực x, y thỏa mãn $y\geq 0; y(y+1)\leq(x+1)^2$. Chứng minh: $y(y-1)\leq x^2$




#716946 EF là phân giác góc LFN

Đã gửi bởi Thong Nhat on 27-10-2018 - 14:56 trong Hình học

Cho tứ giác ABCD có $\widehat{A}=\widehat{D}$. Gọi E là giao điểm của AC và BD. M, N, L là trung điểm của AD, DC, AB. Gọi F nằm trên tia ME sao cho $MA^2=ME\cdot MF$. Chứng minh EF là phân giác góc LFN




#716848 $\sum \frac{1}{(1+a)^3}+\frac{5...

Đã gửi bởi Thong Nhat on 23-10-2018 - 23:18 trong Bất đẳng thức - Cực trị

1) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{(1+a)^3}+\frac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$

2) Cho a, b, c không âm sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:

a) $\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}\geq 2$

b) $\sum \frac{1}{2a^2+bc}\geq \frac{6}{(\sum a^2)+(\sum ab)}$




#716670 $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+...

Đã gửi bởi Thong Nhat on 17-10-2018 - 20:46 trong Bất đẳng thức - Cực trị

1) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\geq\frac{3}{2}$

2) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+bc}+\frac{1}{c^2+cd}+\frac{1}{d^2+da}\geq\frac{4}{ac+bd}$

3) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\geq\frac{3}{\sqrt{5abc}}$

4) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\geq 1+\sqrt{1+\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}}$




#716544 $d$ luôn đi qua một điểm cố định

Đã gửi bởi Thong Nhat on 13-10-2018 - 22:08 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ cố định, nhọn, không cân, nội tiếp $(O).D$ nằm trên đoạn $BC$ sao cho $AD$ là phân giác $\widehat{BAC}.P$ di chuyển trên $AD,Q$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $\widehat{PBC}=\widehat{QBA},R$ là hình chiếu của $Q$ lên $BC,d$ là đường thẳng đi qua $R$ và vuông góc với đoạn $OP.$ Chứng minh $d$ luôn đi qua một điểm cố định.




#716494 $\overline{MD}^2=\overline{MH}\cdot...

Đã gửi bởi Thong Nhat on 11-10-2018 - 22:01 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I),$ đường cao $AH,D$ là hình chiếu của $I$ lên $BC.AI$ cắt $BC$ tại $E,M$ là trung điểm của $BC.$

Chứng minh $\overline{MD}^2=\overline{MH}\cdot \overline{ME}.$




#716473 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b)

Đã gửi bởi Thong Nhat on 10-10-2018 - 19:53 trong Số học

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho $(a^2+b)(b^2+a)$ là một lũy thừa của 2

2) Cho b, n là các số nguyên lớn hơn 1. Giả sử với mọi số nguyên k>1, tồn tại $a_k\in \mathbb{Z}$ sao cho $b\equiv (a_k)^n\: (mod k)$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương c sao cho $b=c^n$

3) Tìm số nguyên tố p sao cho $\frac{3^{p-1}-1}{p}$ là một số chính phương




#716455 $(a^2+b)(b^2+a)$ là một lũy thừa của 2

Đã gửi bởi Thong Nhat on 09-10-2018 - 23:30 trong Số học

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho $(a^2+b)(b^2+a)$ là một lũy thừa của 2

2) Cho b, n là các số nguyên lớn hơn 1. Giả sử với mọi số nguyên k>1, tồn tại $a_k\in \mathbb{Z}$ sao cho $b\equiv (a_k)^n\: (mod k)$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương c sao cho $b=c^n$




#716454 BC, MN, tiếp tuyến tại X đồng quy

Đã gửi bởi Thong Nhat on 09-10-2018 - 23:21 trong Hình học

1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). GỌi E là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của AC và BD. Đoạn EF cắt (O) tại X, BX cắt EC tại M, CX cắt BE tại N. Chứng minh BC, MN và tiếp tuyến của (O) tại X đồng quy

2) Cho đường tròn (O) và P nằm ngoài (O). Vẽ tiếp tuyến PB, PD (B, D là các tiếp điểm), cát tuyến PCA (C nằm giữa A và P). Tiếp tuyến của (O) tại C cắt DP tại Q, cắt AD tại R; AQ cắt lại (O) tại E. Chứng minh B, E, R thẳng hàng

3) Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC ngoại tiếp (I), K là tiếp điểm của (I) với BC. Vẽ đường cao AD. Gọi M là trung điểm AD, KM cắt (I) tại N. Chứng minh (I) tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác BCN




#716344 Chứng minh $A_2A_3,B_2B_3,C_2C_3$ đồng quy

Đã gửi bởi Thong Nhat on 06-10-2018 - 22:13 trong Hình học

Cho tam giác ABC nhọn và điểm P bất kì nằm trong tam giác ABC. Gọi $A_1,B_1,C_1$ là hình chiếu của P lên BC, CA, AB. $A_2, B_2,C_2$ là trung điểm của PA, PB, PC. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$. Giả sử $OA_1, OB_1,OC_1$ cắt $B_2C_2, C_2A_2,A_2B_2$ tại $A_3,B_3,C_3$. Chứng minh $A_2A_3,B_2B_3,C_2C_3$ đồng quy




#716291 Các đường thẳng qua $K,L,N$ đồng quy trên $OI$

Đã gửi bởi Thong Nhat on 04-10-2018 - 21:57 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ phân giác $AD,BE,CF$ đồng quy tại $I.AI,BI,CI$ cắt $(O)$ tại $X,Y,Z.K,L,N$ lần lượt là các điểm chia $IX,IY,IZ$ cùng một tỉ số $k.$ Chứng minh rằng các đường thẳng qua $K,L,N$ vuông góc với $EF,FD,DE$ đồng quy trên $OI.$




#716255 $(f(x+y))^2=f(x)f(x+2y)+yf(y)$

Đã gửi bởi Thong Nhat on 03-10-2018 - 19:20 trong Phương trình hàm

Tìm tất cả các hàm số f: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

$(f(x+y))^2=f(x)f(x+2y)+yf(y),\: \forall x,y\in \mathbb{R}$




#716123 Không tồn tại hai tập hợp A và B

Đã gửi bởi Thong Nhat on 29-09-2018 - 15:00 trong Số học

1) Cho số nguyên tố p có dạng p=4k+3, các số $a_1,a_2,...,a_{p-1}$ là các số nguyên dương liên tiếp. Chứng minh rằng: Không tồn tại các tập hợp A, B thỏa mãn:

i/ $A\, \cap \, B=\varnothing , A\neq \varnothing ,B\neq \varnothing$

ii/ $A\cup B=\left \{ a_1,a_2,...,a_{p-1} \right \}$

iii/ $\prod_{x\in A} x=\prod_{y\in B}y$

2) Cho $n\in \mathbb{N}^*$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương có n chữ số lẻ chia hết cho $5^n$

3) a) Cho $a,b \in \mathbb{N}^*$ thỏa (a, b)=1. Chứng minh với mọi số nguyên n, n>ab thì tồn tại $x,y \in \mathbb{N}^*$ sao cho n=ax+by

b) Cho $a,b,c \in \mathbb{N}^*$ thỏa (a, b,c)=1. Chứng minh với mọi số nguyên n, n>ac+b thì tồn tại $x,y,z \in \mathbb{N}^*$ sao cho n=ax+by+cz

 



#716029 $pq\: |\: p^p+q^q+1$

Đã gửi bởi Thong Nhat on 26-09-2018 - 18:18 trong Số học

1) Tìm các số nguyên tố p, q sao cho $pq\: |\: p^p+q^q+1$

2) Cho p là số nguyên tố lẻ và $Q(x)=(p-1)x^p-x-1$. Chứng minh tồn tại vô hạn các số nguyên dương a sao cho $p^p\: |\: Q(a)$

3) Chứng minh với mọi số nguyên dương s, luôn tồn tại số nguyên n có tổng các chữ số bằng s, đồng thời s | n

4) Tồn tại hay không số nguyên n>1 sao cho $n\: |\: 2^n-1$?

5) Cho số nguyên tố p>3 và $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}=\frac{m}{n}$ $(m,n\in \mathbb{N}^*, (m,n)=1)$. Chứng minh $p^2\, |\, m$

6) Cho $n\in \mathbb{N}^*$ và $k\in \left \{0;1;2;...;n \right \}$. Đặt$a_k=(n+1)C^k_n$. Chứng minh $[a_0,a_1,...,a_n]=[1;2;...;n+1]$