Frosty Flame nội dung
Có 60 mục bởi Frosty Flame (Tìm giới hạn từ 20-04-2020)
#718032 Đề thi chọn đội tuyển HSGQG Nam Định
Đã gửi bởi Frosty Flame on 01-12-2018 - 14:26 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
#717381 Mọi người giúp đỡ giải mấy câu này với ạ!
Đã gửi bởi Frosty Flame on 11-11-2018 - 14:50 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Gõ lại đề cẩn thận giùm.
#716905 gõ thử
Đã gửi bởi Frosty Flame on 25-10-2018 - 21:33 trong Thử các chức năng của diễn đàn
$\Gamma$
#716227 Giải pt:$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1=(x^...
Đã gửi bởi Frosty Flame on 02-10-2018 - 09:54 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải pt:$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1=(x^{3}+x)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}$
ĐKXĐ: $x\leq -1 hoặc 0<x\leq1$
Dễ thấy $x>0=>0<x\leq1$
$VP=x(x^2+1)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}\leq \begin{vmatrix}x\end{vmatrix}(x^2+1)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}=\sqrt{x^2}\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}(x^2+1)=\sqrt{x-x^3}(x^2+1)$
$<=>VP\leq \frac{x-x^3+(x^2+1)^2}{2}$
$<=>VT-VP\geq x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1-\frac{x-x^3+(x^2+1)^2}{2}=...=\frac{x^4+x^3+(2x-1)^2+2-x}{2}>0(Vì 0<x\leq1)$
$<=>$ Phương trình vô nghiệm
Vậy$,...$
#716176 Giai phuong trinh
Đã gửi bởi Frosty Flame on 30-09-2018 - 21:50 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
5, $\sqrt{3-x}+\sqrt{2+x}=x^3+x^2-4x-4+|x|+|x-1|$
ĐKXĐ: $-2\leq x\leq 3$
Pt đã cho
$<=>(x+2)(x^2-x-2)+\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}-\sqrt{2+x}+\begin{vmatrix}x-1\end{vmatrix}-\sqrt{3-x}=0$
$<=>...<=>x^2-x-2=0<=>...$
6, $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^2}{1+x^2}$
ĐKXĐ: $0<x\leq 1$
Pt đã cho
$<=>(1-x)(1+x^2)^2=x(2x+x^2)^2<=>...<=>(2x-1)(x^4+2x^3+4x^2+x+1)=0<=>...$
#716175 Giai phuong trinh
Đã gửi bởi Frosty Flame on 30-09-2018 - 21:47 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giai phuong trinh
1, $(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1})(x^2+\sqrt{x^2+4x+3})=2x$
ĐKXĐ: $x\geq -1$
Pt đã cho
$<=>\frac{2}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}}[x^2+\sqrt{(x+1)(x+3)}]=2x$
$<=>x^2+\sqrt{(x+1)(x+3)}=x\sqrt{x+1}+x\sqrt{x+3}<=>(x-\sqrt{x+1})(x-\sqrt{x+3})=0<=>...$
Giai phuong trinh
2, $2\sqrt{3x+4}+3\sqrt{5x+9}=x^2+6x+13$
ĐKXĐ: $x\geq \frac{-4}{3}$
Pt đã cho
$<=>x^2+x+2[(x+2)-\sqrt{3x+4}]+3[(x+3)-\sqrt{5x+9}]=0$
$<=>x(x+1)[1+\frac{2}{x+2+\sqrt{3x+4}}+\frac{3}{x+3+\sqrt{5x+9}}]=0<=>...$
4, $\sqrt{2x^2+16x+18}+\sqrt{x^2-1}=2x+4$
ĐKXĐ: ...
Pt đã cho
$<=>2x^2+16x+18+x^2-1+2\sqrt{(2x^2+16x+18)(x^2-1)}=(2x+4)^2$
$<=>x^2-1-2\sqrt{(2x^2+16x+18)(x^2-1)}=0<=>\sqrt{x^2-1}(\sqrt{x^2-1}-2\sqrt{2x^2+16x+18})=0<=>...$
#716173 Giai phuong trinh
Đã gửi bởi Frosty Flame on 30-09-2018 - 21:38 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
3, $(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$
ĐKXĐ: $x\geq -8$
Vì $(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4>0=>x+1>0<=>x>-1$
Pt đã cho
$<=>(x+1)^2(x+8)=(x^2+x+4)^2<=>...<=>(x-1)(x^3+2x^2+x-8)=0$
$<=>x=1 hoặc x^3+2x^2+x-8=0$
Xét $x^3+2x^2+x-8=0$
Đặt $x=t-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2}>1<=>t> \frac{-1}{3})$
Thay vào
$=>...<=>27t^3-9t=218$
Đặt $3t=y(t>\frac{-1}{3}<=>y>-1)$
$=>y^3-3y=218
$+)$Xét $-1y<2=>y^3-3y=(y-2)(y+1)^2+2<2<218 ( Loại )$
$+)$Xét $y\geq 2$
Lúc này, ta có thể đặt $y=a+\frac{1}{a}(a>0)$
Thay vào
$=>(a+\frac{1}{a})^3-3(a+\frac{1}{a})=0<=>a^3+\frac{1}{a^3}=218$
$<=>a^6-218a^3+1=0$
$<=>...<=>a^3=109\pm 6\sqrt{330}$
$<=>a=\sqrt[3]{109\pm 6\sqrt{330}}$
$<=>...<=>x=\frac{\sqrt[3]{109-6\sqrt{330}}+\sqrt[3]{109+6\sqrt{330}}-2}{3}$
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy$,...$
#716172 $2^{x}=x+1$
Đã gửi bởi Frosty Flame on 30-09-2018 - 21:28 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
$2^{x}=x+1$
Áp dụng BĐT Bernoulli
$=>2^x=(1+1)^x\geq 1+x.1 \forall x \in \mathbb{N}$
Dấu $"="$ phải xảy ra
$=>x=0;x=1$
#716165 $ 2017^{x}+2019^{x}=2.2018^{x}$
Đã gửi bởi Frosty Flame on 30-09-2018 - 20:39 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
$ 2017^{x}+2019^{x}=2.2018^{x}$
$2.4^{\frac{1}{x}}+6^{\frac{1}{x}}=9$
Điều kiện của $x$ là gì?
#716052 giải phương trình $\sqrt[4]{x}=\frac{3}...
Đã gửi bởi Frosty Flame on 27-09-2018 - 11:06 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$\sqrt[4]{x}=\frac{3}{8}+2x$
ĐKXĐ: $x\geq 0$
Pt đã cho
$<=>(2\sqrt[4]{x}-1)^2(4\sqrt{x}+4\sqrt[4]{x}+3)=0<=>...<=>x=\frac{1}{16}$
Vậy$,...$
#716051 Giải phương trình $\sqrt[4]{3}x^4-4\sqrt[4]{2...
Đã gửi bởi Frosty Flame on 27-09-2018 - 11:01 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$\sqrt[4]{3}x^4-4\sqrt[4]{2}x^3+18\sqrt[4]{3}=0$
Pt đã cho
$<=>(3x^2+2\sqrt[4]{54}x+3\sqrt{6})(x^2-2\sqrt[4]{54}x+3\sqrt{6})=0<=>...<=>x=\sqrt[4]{54}$
Vậy$,...$
#715940 giải phương trình $\sqrt{\frac{x^3}{3-4x...
Đã gửi bởi Frosty Flame on 23-09-2018 - 23:05 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$\sqrt{\frac{x^3}{3-4x}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}$
ĐKXĐ: $0<x<\frac{3}{4}$
Pt đã cho
$<=>...<=>2x^2-\sqrt{3-4x}=2x\sqrt{3-4x}<=>2x^2=(2x+1)\sqrt{3-4x}$
$<=>4x^4=(2x+1)^2\sqrt{3-4x}$
$<=>...<=>(2x^2+8x+3)(2x^2-1)=0$
Vì $x>0=>...<=>x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy$, ...$
#715930 Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm I trong tam giác ABC sao cho IA + IB + IC nhỏ...
Đã gửi bởi Frosty Flame on 23-09-2018 - 20:44 trong Hình học phẳng
Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm I trong tam giác ABC sao cho IA + IB + IC nhỏ nhất.
Thực hiện phép quay tâm B, với góc quay 60 độ biến I thành J và biến A thành A’. Khi đó tam giác BIJ đều, vì BI =BJ và B = 60 độ → BI = IJ. Mặt khác, AI = A’J do phép quay là một phép dời hình biến một đoạn thành một đoạn bằng nó.
Ta có
- BI = IJ
- AI = A’J
Vậy S = A’J + JI + IC. Lại là một đường gấp khúc. Để S min thì I, J phải nằm trên đường thẳng A’C sao cho BIJ là tam giác đều. Vậy cách dựng như sau
- Bước 1: Dựng A’ là ảnh của A qua phép quay tâm B một góc 60 độ
- Bước 2: Kẻ BH vuông góc A’C. Sau đó lấy I trên A’C sao cho BHI = 30 độ.
Vậy I là điểm cần tìm
#715754 Giải phương trình $\sqrt{2x^3+6}=x+\sqrt{x^2-3x...
Đã gửi bởi Frosty Flame on 19-09-2018 - 22:38 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$\sqrt{2x^3+6}=x+\sqrt{x^2-3x+3}$
Xin được sửa đề thành $\sqrt[3]{2x^3+6}=x+\sqrt{x^2-3x+3}$
Pt đã cho
$<=>\sqrt[3]{2x^3+6}-(\frac{2-\sqrt[3]{\frac{9}{2}}}{1+\sqrt[3]{\frac{3}{4}}}x+\frac{\sqrt[3]{\frac{9}{2}}+2\sqrt[3]{\frac{3}{4}}}{1+\sqrt[3]{\frac{3}{4}}})=\sqrt{x^2-3x+3}-(\frac{1-\sqrt[3]{\frac{9}{2}}-\sqrt[3]{\frac{3}{4}}}{1+\sqrt[3]{\frac{3}{4}}}x+\frac{\sqrt[3]{\frac{9}{2}}+2\sqrt[3]{\frac{3}{4}}}{1+\sqrt[3]{\frac{3}{4}}})$
$<=>...<=>(x+\sqrt[3]{\frac{3}{4}})(x-1).A=0($Với $A\neq 0\forall x\in \mathbb{R})$
$<=>x=-\sqrt[3]{\frac{3}{4}};x=1$
Vậy$,...$
#715633 Giải phương trình $\sqrt{x-\frac{1}{x...
Đã gửi bởi Frosty Flame on 16-09-2018 - 21:39 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$\sqrt{x-\frac{1}{x}}+5\sqrt{1-\frac{1}{x}}+2=3x+\frac{2}{x}$
ĐKXĐ: $x\geq 1$
Pt đã cho
$<=>\sqrt{x^3-x}+5\sqrt{x^2-x}=3x^2-2x+2>0(Vì x\geq 1>0)$
$<=>x^3-x+10\sqrt{(x^3-x)(x^2-x)}+25(x^2-x)=(3x^2-2x+2)^2$
$<=>9x^4-13x^3-9x^2+18x+4-10\sqrt{(x^3-x)(x^2-x)}=0$
$<=>9(x^2-x-1)^2+5[(x^3-x)-2\sqrt{(x^3-x)(x^2-x)}]=0$
$<=>9(x^2-x+1)^2+5(x-1)\frac{(x^2+x+1)^2-4x^2(x+1)}{x^2+x+1+2x\sqrt{x+1}}=0$
$<=>(x^2-x-1)^2[9+\frac{5(x-1)}{x^2+x+1+2x\sqrt{x+1}}]=0$
$<=>x^2-x-1=0(Vì 9+\frac{5(x-1)}{x^2+x+1+2x\sqrt{x+1}}>0 do x\geq 1 )$
$<=>x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(Vì \frac{1-\sqrt{5}}{2}<1\leq x)$
Vậy$, ...$
$-----------------------------------$
P/s: Nếu mấy bài phương trình bạn đã đăng mà bạn đã có cách giải thì bạn đăng lên luôn hộ mình nhé.
#715569 Chứng minh rằng nếu $2^{m}+1\vdots2^{n}+1$...
Đã gửi bởi Frosty Flame on 15-09-2018 - 16:40 trong Số học
Chứng minh rằng nếu $2^{m}+1\vdots2^{n}+1$ thì $m\vdots n$
Đặt $m=k.n+r(k,r\in\mathbb{N};0\leq r <n)$
$=>2^m+1=2^{k.n+r}+1=2^r(2^{k.n}+1)-(2^r-1)\vdots2^n+1$
$<=>2^r-1\vdots2^n+1(Vì 2^{k.n}+1\vdots 2^n+1)$
Mà $\begin{vmatrix}2^r-1\end{vmatrix}<2^n+1(Do 0\leq r<n)$
$=>2^r-1=0<=>r=0<=>m\vdots n(ĐPCM)$
#715547 Giải phương trình $x^2+3x\sqrt[3]{3x+2}-12+\frac...
Đã gửi bởi Frosty Flame on 14-09-2018 - 21:48 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$x^2+3x\sqrt[3]{3x+2}-12+\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}+8}{x}$
ĐKXĐ: $x>0$
Pt đã cho
$x^3+3x^2\sqrt[3]{3x+2}-12x-8=0<=>4(x^3-3x-2)+3x^2(x-\sqrt[3]{3x+2})=0$
$<=>(x^3-3x-2)[4+\frac{3x^2}{\sqrt[3]{(3x+2)^2}+x\sqrt[3]{3x+2}+x^2}]=0$
Vì $4+\frac{3x^2}{\sqrt[3]{(3x+2)^2}+x\sqrt[3]{3x+2}+x^2}>0$
$=>x^3-3x-2=0<=>...$
#715546 Giải phương trình $\sqrt[3]{x^3+12x+7}=\frac{3...
Đã gửi bởi Frosty Flame on 14-09-2018 - 21:43 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$\sqrt[3]{x^3+12x+7}=\frac{3}{2}\sqrt{x^2-3x-2}+x+1$
ĐKXĐ:...
$(x+1)-\sqrt[3]{x^3+12x+7}+\frac{3}{2}\sqrt{x^2-3x-2}=0$
$<=>\frac{x^2-3x-2}{(x+1)^2+(x+1)\sqrt[3]{x^3+12x+7}+\sqrt[3]{(x^3+12x+7)^2}}+\frac{3}{2}\sqrt{x^2-3x-2}=0$
$<=>\sqrt{x^2-3x-2}[\frac{1}{(x+1)^2+(x+1)\sqrt[3]{x^3+12x+7}+\sqrt[3]{(x^3+12x+7)^2}}+\frac{3}{2}]=0$
Vì $\frac{1}{(x+1)^2+(x+1)\sqrt[3]{x^3+12x+7}+\sqrt[3]{(x^3+12x+7)^2}}+\frac{3}{2}>0$
$=>x^2-3x-2=0<=>...$
#715537 Giải phương trình $(x+4)(\sqrt{x+2}+2)=(x+1)(x^2-2x+3)$
Đã gửi bởi Frosty Flame on 14-09-2018 - 20:08 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$(x+4)(\sqrt{x+2}+2)=(x+1)(x^2-2x+3)$
ĐKXĐ: ...
Đặt $\sqrt{x+2}=a\geq0,x-1=b$
+)Xét $x+1<0$
$=>(x+4)(\sqrt{x+2}+2)>0>(x+1)(x^2-2x+3)(Loại)$
+)Xét $x+1\geq0$
Ta có: $(x+4)(\sqrt{x+2}+2)=(x+1)(x^2-2x+3)<=>(a+2)(a^2+2)=(b+2)(b^2+2)$
$<=>...<=>(a-b)(a^2+ab+b^2+2(a+b)+2)=0<=>a=b($Vì $a^2+ab+b^2+2(a+b)+2>0)$
$<=>x-1=\sqrt{x+2}<=>...$
#715518 Giải phương trình $3x^3+3x^2+1=\sqrt{1+4x}\sqrt[3]...
Đã gửi bởi Frosty Flame on 13-09-2018 - 22:15 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$3x^3+3x^2+1=\sqrt{1+4x}\sqrt[3]{1-6x}$
ĐKXĐ: $x\geq\frac{-1}{4}$
$+)$Xét $1-6x<0=>\sqrt{1+4x}\sqrt[3]{1-6x}<0<3x^3+3x^2+1(Loại)$
$+)$Xét $1-6x\geq0$
$=>\sqrt{1+4x}\sqrt[3]{1-6x}\leq\frac{6\sqrt[6]{(1+4x)(1+4x)(1+4x)\begin{vmatrix}1-6x\end{vmatrix}\begin{vmatrix}1-6x\end{vmatrix}.1}}{6}$
$<=>\sqrt{1+4x}\sqrt[3]{1-6x}\leq\frac{1+4x+1+4x+1+4x+1-6x+1-6x+1}{6}=1\leq3x^3+3x^2+1$((Theo BĐT Cô-si 6 số và $3x^3+3x^2>0$ do $x\geq\frac{-1}{4}$)
Vì dấu $"="$ phải xảy ra theo gt
$=>1+4x=1-6x=1<=>x=0(T/m)$
Vậy$, ...$
#715476 Bài bđt THCS
Đã gửi bởi Frosty Flame on 12-09-2018 - 21:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$
$<=> \sum {\frac{a^{2}}{b+c} } \geq \frac{{(a+b+c)^2}}{2(a+b+c)}\geq \frac{{(a+b+c)}}{2}\geq \frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{2}$
(BĐT Cauchy-Schwarz dạng thông thường)
Tại sao lại có $a+b+c\geq \sqrt{3(a+b+c)}?$
#715440 $Cho f(x)=\frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2...
Đã gửi bởi Frosty Flame on 11-09-2018 - 22:39 trong Đại số
$Cho f(x)=\frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}.Tính giá trị của biểu thức A=f(\frac{1}{2012})+f(\frac{2}{2012})+...+ f(\frac{2010}{2012})+f(\frac{2011}{2012})$
$f(x)+f(1-x)=\frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}+\frac{(1-x)^3}{1-3x+3x^{2}}=1=>...<=>A=1005+f(\frac{1006}{2012})=...$
#715360 $x\sqrt{3x+2}+\sqrt{4-x}=\sqrt{2...
Đã gửi bởi Frosty Flame on 09-09-2018 - 21:47 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$x\sqrt{3x+2}+\sqrt{4-x}=\sqrt{2(x^2+1)(x+3)}$
ĐKXĐ: $\frac{-3}{2}\leq x\leq 4$
Ta có:
$x\sqrt{3x+2}+\sqrt{4-x}=\sqrt{2(x^2+1)(x+3)}$
$=>x^2(3x+2)+(4-x)+2x\sqrt{(3x+2)(4-x)}=2(x^2+1)(x+3)$
$<=>2x\sqrt{(3x+2)(4-x)}=-x^3+4x^2+3x+2$
$=>4x^2(3x+2)(4-x)=(-x^3+4x^2+3x+2)^2$
$<=>x^6-8x^5+22x^4-20x^3-7x^2+12x+4=0$
$<=>(x-2)^2(x^2-2x-1)^2=0$
$<=>x=2;x=1+\sqrt{2};x=1-\sqrt{2}$
Thử lại$($Do ở trên có 2 dấu $"=>)$
$=>x=2;x=1+\sqrt{2}$ thỏa mãn, loai nghiệm $x=1-\sqrt{2}$
Vậy,...
#715358 Giải phương trình $x^2+2x+4=3\sqrt{x^3+3x}$
Đã gửi bởi Frosty Flame on 09-09-2018 - 21:41 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$x^2+2x+4=3\sqrt{x^3+3x}$
ĐKXĐ:......
Pt đã cho
$<=>...<=>x^4-5x^3+12x^2-11x+16=0<=>...<=>x^2(x-\frac{5}{2})^2+(\frac{11x}{8}+4)^2+\frac{247}{64}x^2>0\forall x\in \mathbb{R}$
$<=>$Pt vô nghiệm.
#715357 $8x^2+\frac{1}{x}=\frac{5}{...
Đã gửi bởi Frosty Flame on 09-09-2018 - 21:38 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$8x^2+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$
ĐKXĐ: $x\neq0$
+)Xét $x>0$
$=>8x^2+\frac{1}{x}=8x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geq3\sqrt[3]{8x^2.\frac{1}{2x}.\frac{1}{2x}}>\frac{5}{2}($Vô nghiệm$)$
+)Xét $\frac{-1}{2}\leq x< 0$
$=>8x^2+\frac{1}{x}<8(\frac{1}{2})^2<\frac{5}{2}($Vô nghiệm$)$
+)Xét $\frac{-1}{2}>x$
$=>x< \frac{-\sqrt{15}}{12}$
$=>$ Ta có thể đặt $x=\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{5a}{3})(a\in \mathbb{R})$
Thay vào pt ban đầu
$=>16x^3-5x=-2<=>...<=>\frac{1}{4}(\frac{1}{a^3}+\frac{125a^3}{27})=-2$
$<=>...<=>a=\frac{\sqrt[3]{-108+\pm\sqrt{8289}}}{5}$
$<=>...<=>x=\frac{5}{12}(\sqrt[3]{-108+\sqrt{8289}}+\sqrt[3]{-108-\sqrt{8289}})$
Thử lại thấy t/m.
Vậy,...
- Diễn đàn Toán học
- → Frosty Flame nội dung