Sử dụng đa thức Taylor, tính gần đúng $\sin 1$ với sai số không vượt quá $0.002.$

Tính giới hạn: $\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} +\sqrt{x^{2}+2x}\right )$

Tính giới hạn: $\lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1}+\sqrt{x^{2}+2x} \right )$

Tính giới hạn: $\lim_{x \to1^{+} }\left [ \left ( lnx + 2^{3x-1}-4 \right )tan\frac{\pi x}{2} \right ]$

Tính giới hạn: $\lim_{x \to+ \infty }\left ( 1+\frac{2}{x-3sinx} \right )^{x+cosx}$

Tính giới hạn: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{4+x^{2}}-2.cos\left ( 2x \right )}{x.tan\left ( 2x \right )}$

Cho 2 ma trận A, B sao cho $A.B= \begin{pmatrix} 5 & 11\\ 11 & 25 \end{pmatrix}$, $B.A=\begin{pmatrix} x & 14\\ 14 & y \end{pmatrix}$. Hãy tìm x,y và A,B.

Cho hàm 3 biến số $f\left ( X \right )= \begin{pmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 2& 1 & 0\\ 1& 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix}$

CMR: $f\left ( X \right )< 0$ với mọi $X\neq O_{3}$.

Cho $S=\left \{ A_{1}=\left ( 1,1,2 \right ),A_{2}=\left ( 0,1,-1 \right ),A_{3}=\left ( 2,1,1 \right ),A_{4}=\left ( 3,3,2 \right ),A_{5}=\left ( 2,-1,3 \right ) \right \}$

1. Tìm sự biểu thị tuyến tính của $A_{4},A_{5}$ qua $B=\left \{ A_{1},A_{2},A_{3} \right \}$ bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.

2. $B=\left \{ A_{1},A_{2} ,A_{3}\right \}$ có phải là một cơ sở của S không? Vì sao? 

Hãy chỉ ra hai cơ sở khác nhau (nếu có) của hệ véc tơ sau: 

$S_{1}=\left \{ A_{1}=\left ( 5,2,-3,1 \right ) ,A_{2}=\left ( 4,1,-2,3 \right ),A_{3}=\left ( 1,1,-1,-2 \right ),A_{4}=\left ( 3,4,-1,2 \right )\right \}$

Cho biết A là ma trận cấp n và $\left | A \right |= m\neq 0$, hãy tính $\left | A^{-1} \right |, \left | \overline{A} \right |$.

A=$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 2 &1 &2 &1 \\ 1 &1 &m &2 \\ 2 &2 &1 &m \end{pmatrix}$

Giải phương trình: $\begin{vmatrix} x & x^{2} &x^{3} &... &x^{n} \\ 1 & 1 & 1 & ... &1 \\ 2 & 4 &8 & ... &2^{n} \\ ... & ... & ... & ... & ...\\ \left ( n-1 \right )& \left ( n-1 \right )^{2} &\left ( n-1 \right )^{3} & ... & \left ( n-1 \right )^{n} \end{vmatrix}= 0$

Tính định thức: $D= \begin{vmatrix} a^{2} &\left ( a+1 \right )^{2} &\left ( a+2 \right )^{2} &\left ( a+3 \right )^{2} \\ b^{2} & \left ( b+1 \right )^{2} &\left ( b+2 \right )^{2} &\left ( b+3 \right )^{2} \\ c^{2}& \left ( c+1 \right )^{2} & \left ( c+2 \right )^{2} & \left ( c+3 \right )^{2}\\ d^{2} &\left ( d+1 \right )^{2} &\left ( d+2 \right )^{2} & \left ( d+3 \right )^{2} \end{vmatrix}$

Tìm m để hpt tuyến tính có ma trận mở rộng có vô số nghiệm: $\bar{A}=\left ( \begin{matrix} -2 & 3& 4 & 5\\ 4& m &6 & 13\\ 3& -2 & 1 & 4 \end{matrix} \right )$

Cho $F_{i}(i=\overline{1,3})$ là các vector trong khong gian $\mathbb{R}^{3}$ có các thành phần thứ i tương ứng bằng $\left ( -1 \right )^{i}$, các thành phần còn lại bằng 0. Chứng tỏ hệ $F_{i}(i=\overline{1,3})$ là một cơ sở của $\mathbb{R}^{3}$ và tìm biểu thị tuyến tính của vector bất kì $X \in \mathbb{R}^{3}$ qua cơ sở đó.

Trong $\mathbb{R}^{n}$ cho hệ véc tơ $S=\left \{ A,B,C,D \right \}$. Nêu điều kiện để đảm bảo rằng $h(S)=2$. CMR nếu $h(A,B)\leq 1$ và C là tổ hợp tuyến tính của $\left \{ A,B \right \}$ thì $h\left ( A,B,C \right )=h(A,B)$.

Cho A, B là các vec tơ n chiều. CMR {A,B} phụ thuộc tuyến tính thì $h\left ( A,B \right )=max\left \{ h\left ( A \right ) ,h\left ( B \right )\right \}$.

Đường thẳng d trong không gian $\mathbb{R}^{3}$ cho bởi phương trình $X\left ( \lambda \right )=\left ( 1, 2, 1 \right )+\lambda (2,1,0)$. Chứng tỏ rằng với mọi $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ thì hệ $\left \{ X\left ( \lambda _{1} \right ),X\left ( \lambda _{2} \right ) \right \}$ đều độc lập tuyến tính.

Trong $\mathbb{R}^{n}$ cho ba vector A, B, C. Sử dụng định nghĩa hạng của hệ vector chứng minh rằng nếu h(A, B) = h(A, B, C) = 1 thì C biểu diễn tuyến tính qua A, B.