Đến nội dung

Marshmello nội dung

Có 21 mục bởi Marshmello (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)


Sắp theo                Sắp xếp  

#722783 Bất Đẳng Thức

Đã gửi bởi Marshmello on 05-06-2019 - 20:27 trong Hình học

Đề hình như phải cho ĐK : a > b > 0 

 Ta có : $\sqrt{a^2-b^2} + \sqrt{2ab-b^2} > a$

 $\Leftrightarrow$ $(\sqrt{a^2-b^2} + \sqrt{2ab-b^2})^2 > a^2$

$\Leftrightarrow a^2 - 2b^2 + 2ab + 2\sqrt{(a^2-b^2)(2ab-b^2)} > a^2$

$\Leftrightarrow 2b(a-b) + 2\sqrt{(a^2-b^2)(2ab-b^2)} > 0$ 

( đúng với mọi a > b > 0 )

=> BĐT được c/m 




#722701 cho ab+bc+ca=1

Đã gửi bởi Marshmello on 03-06-2019 - 22:55 trong Bất đẳng thức và cực trị

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$P=\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}-\frac{1}{1+c^2}$

Do ab + bc + ac = 1 => (a+b)c = 1 - ab

=> c = 1-ab/a+b

=> c^2 + 1 = (a^2+1)(b^2+1)/(a+b)^2

=> 1/c^2+1 =  (a+b)^2/(a^2+1)(b^2+1)

Có : a/a^2+1  + b/b^2+1  - 1/c^2+1

= a/a^2+1  + b/b^2+1  -  (a+b)^2/(a^2+1)(b^2+1)

= a(b^2+1) + b(a^2+1) - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= ab^2 + a + ba^2 + b - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= (ab+1)(a+b) - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= (a-1)(b-1)(a+b)/(a^2+1)(b^2+1)

Áp dụng BĐT Cô - si , ta có : 

(a-1)(b-1)(a+b) $\leq \frac{[(a-1)(b-1)+a+b]^2}{4} = \frac{(ab+1)^2}{4}$

(a^2+1)(b^2+1) $\geq (ab+1)^2$

$\Rightarrow P $\leq$\frac{1}{4}$




#722666 Tìm GTNN $P=\frac{x+y}{\sqrt{x\left (...

Đã gửi bởi Marshmello on 01-06-2019 - 21:53 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x,t là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=\frac{x+y}{\sqrt{x\left ( 2x+y \right )}+\sqrt{y\left ( 2y+x \right )}}$

Giải giúp mình bài này với

 

 

Admin: Bạn chú ý cách đặt tiêu đề nhé!

Với x ; y dương ,  áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương , ta có : 

$\sqrt{3x(2x+y)} \leq \frac{3x+2x+y}{2} = \frac{5x+y}{2} \Rightarrow \sqrt{x(2x+y)} \leq \frac{5x+y}{2\sqrt{3}}$

Tương tự : $\sqrt{y(2y+x)} \leq \frac{5y+x}{2\sqrt{3}}$ 

=> $\sqrt{x(2x+y)} + \sqrt{y(2y+x)} \leq \frac{6x+6y}{2\sqrt{3}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{x+y}{\frac{6x+6y}{2\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dấu " = " xảy ra <=> x = y 




#722514 Đề tuyển sinh chuyên KHTN vòng 1 + vòng 2 năm 2019 - 2020.

Đã gửi bởi Marshmello on 26-05-2019 - 21:42 trong Tài liệu - Đề thi

Cop được : 

 

 

61567222_2186360908151905_88681657645955




#722484 \int \frac{1}{a^{2}}+\frac{...

Đã gửi bởi Marshmello on 26-05-2019 - 10:25 trong Đại số

\int \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{\ (a+b)^{2}}=\left  |\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b} \right |

Ta có : $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{(a+b)^2}$

$= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{(a+b)^2} + \frac{2}{ab} -\frac{2}{b(a+b)} - \frac{2}{a(a+b)} - (\frac{2}{ab} - \frac{2}{b(a+b) } - \frac{2}{a(a+b)})$

$= (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{a+b})^2 - 2 . 0$

$= (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{a+b})^2$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{(a+b)^2} } = \left | \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{a+b} \right |$




#722113 Đề thi học kì

Đã gửi bởi Marshmello on 10-05-2019 - 15:48 trong Đại số

Bài 5 : 

Ta có : a + b + c + ab + bc + ac = 6abc

=> 1/ab + 1/bc + 1/ac + 1/a + 1/b + 1/c = 6

Đặt 1/a = x ; 1/b = y ; 1/c = z ( x ; y ; z dương ) 

Đề bài đã cho trở thành : Cho x ; y ; z dương thỏa mãn : 

x + y + z + xy + yz + xz = 6

C/m : x^2 + y^2 + z^2 >= 3

AD BĐT Cô - si cho các cặp số dương , ta có : 

x^2 + 1 >= 2x ; y^2 + 1 >= 2y ; z^2 + 1 >= 2z

=> x^2 + y^2 + z^2 + 3 / 2  >= (x+y+z)(1) 

Tiếp tục AD BĐT Cô - si , ta có : 

x^2 + y^2 >= 2xy ; y^2 + z^2 >= 2yz ; x^2 + z^2 >= 2xz

=> 2(x^2+y^2+z^2) >= 2xy + 2yz + 2xz

=> x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + xz (2)

Từ (1) ; (2)

=> 3(x^2+y^2+z^2+1)/2   >= xy + yz + xz + x + y +z = 6

=> x^2 + y^2 + z^2 + 1 >= 4

=> x^2 + y^2 + z^2 >= 3

hay 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 >= 3 

Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 

<=> a = b = c = 1 




#722112 Đề thi học kì

Đã gửi bởi Marshmello on 10-05-2019 - 15:32 trong Đại số

Đặt a = x ; 2b = y ; 2c = z

=> x + y + z = 6 ;  xy = 2ab ; xz = 2ac ; yz = 4bc

Áp dụng BĐT Cô-si cho các cặp số ko âm , ta có : 

x^2 + y^2 >= 2xy

y^2 + z^2 >= 2yz

x^2 + z^2 >= 2xz

=> x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + xz

=> (x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+xz)

=> 36 >= 3(xy+yz+xz)

=> xy + yz + xz =< 12

hay 2ab + 2ac + 4bc =< 12

=> ab + ac + 2bc =< 6

Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z ; x + y + z = 6

<=> a = 2b = 2c ; a + 2b + 2c = 6

<=> a = 2 ; b = 1 ; c = 1

Vậy ... 




#720893 cauchy nguoc dau

Đã gửi bởi Marshmello on 15-03-2019 - 19:45 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bn giải hộ mik bài này với . Cảm ơn :

Cho 2 đa thức P(x) = $x^5 - 5x^3 + 4x + 1 ; Q(x) = 2x^2 + x - 1$ . Gọi x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 là các nghiệm của P(x) . Tính g/t của Q(x1) . Q(x2) . Q(x3) . Q(x4) . Q(x5)  :icon6:




#720832 chứng minh rằng $\frac{x^{2006}}{a^{1...

Đã gửi bởi Marshmello on 13-03-2019 - 23:01 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

x^4/a + y^4/b = 1/a+b

Thay 1 = (x^2+y^2)^2 vào rồi giải như thường  :P




#720708 Cơ bản về nguyên lý Đi-rích-lê

Đã gửi bởi Marshmello on 08-03-2019 - 12:13 trong Toán rời rạc

Em sắp đi thi tỉnh toán 8 mà kinh nghiệm về đi-rích-lê còn non quá , hôm nay ms học buổi đầu mà khó hiểu quá , anh chị  chia sẻ k/n cho em về phương pháp làm với ạ . khó ở mấy phần tìm thỏ và chuồng ấy ạ , có cách chung nào để xác định chuồng thỏ và số thỏ được ko ạ 




#720530 đề thi hsg toán 9 tỉnh

Đã gửi bởi Marshmello on 28-02-2019 - 20:32 trong Tài liệu - Đề thi

Áp dụng BĐT phụ 2(x^4+y^4) >= (x+y)(x^3+y^3) vào bài toán , ta có : 

a^4 + b^4 / ab(a^3+b^3) >= (a+b)(a^3+b^3)/2ab(a^3+b^3)  = a+b/2ab (1)

Tương tự : b^4+c^4/bc(b^3+c^3) >= b+c/2bc (2)

c^4+a^4/ac(a^3+c^3) >=  a+c/2ac (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) 

=> a^4+b^4/ab(a^3+b^3)  + b^4+c^4/bc(b^3+c^3)  + c^4+a^4/ac(a^3+c^3) >= a+b/2ab + b+c/2bc + a+c/2ac

= 1/2(1/a + 1/b + 1/c + 1/b + 1/a + 1/c)

= 1/a + 1/b + 1/c

= ab + bc + ac / abc  = 1 

Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c  




#720417 Chứng minh đẳng thức

Đã gửi bởi Marshmello on 23-02-2019 - 06:39 trong Đại số

Đề đúng mà bạn.

v: . Mình nghĩ là đề sai vì cô giáo mik cx cho bài thế này nhưng khác ở chỗ nó = 1/a+b+c not 1/abc  :))




#720344 Chứng minh đẳng thức

Đã gửi bởi Marshmello on 20-02-2019 - 06:34 trong Đại số

Phải là 1/a + 1/b + 1/c = 1/a+b+c nhỉ ?  :lol:




#720103 Tìm GTNN của A

Đã gửi bởi Marshmello on 12-02-2019 - 13:19 trong Đại số

A = $\frac{2(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}+2} = \frac{2\sqrt{x} + 4 - 6}{\sqrt{x}+2} = 2 - \frac{6}{\sqrt{x}+2}$

vì $\sqrt{x}+2\geq 2$

$\Rightarrow \frac{6}{^{\sqrt{x}+2}} \leq 3$

=> A >= 2 - 3 = -1

Dấu " = " xảy ra <=> x = 0 




#719252 cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác

Đã gửi bởi Marshmello on 09-01-2019 - 06:12 trong Bất đẳng thức và cực trị

Do a ; b ; c là 3 cạnh của 1 tam giác 

$\Rightarrow a + b - c > 0 ; - a + b + c > 0 ; a - b + c > 0$

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz , ta có : 

$\frac{(a+b)^2}{a+b-c} + \frac{(b+c)^2}{a+b+c} + \frac{(c+a)^2}{a-b+c} \geq \frac{(a+b+b+c+a+c)^2}{a+b+c} = \frac{4(a+b+c)^2}{a+b+c} = 4(a+b+c)$

....




#718985 gõ thử

Đã gửi bởi Marshmello on 02-01-2019 - 21:08 trong Thử các chức năng của diễn đàn

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$




#718570 Số học

Đã gửi bởi Marshmello on 21-12-2018 - 06:22 trong Số học

Ta có : 

$(x^2 + y)(x + y^2) = (x+y)^3$

$\Leftrightarrow x^3 + xy + x^2y^2 + y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

$\Leftrightarrow xy + x^2y^2 = 3x^2y + 3xy^2$

$\Leftrightarrow xy(1+xy) = 3xy(x+y)$

$\Leftrightarrow 1 + xy = 3(x+y)$

$\Leftrightarrow 1 + xy - 3x - 3y = 0$

$\Leftrightarrow x(y-3) - 3(y-3) = 8$

$\Leftrightarrow (x-3)(y-3) = 8$

...




#718547 $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} +...

Đã gửi bởi Marshmello on 20-12-2018 - 16:42 trong Bất đẳng thức - Cực trị

$$\sum\limits_{\it{cyc}} \frac{\it{a}^{\,\it{2}}}{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}}}- \it{1}= \frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )^{\,\it{2}}}{\it{3}\left ( \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}} \right )}+ \frac{\left ( \it{b}- \it{c} \right )^{\,\it{2}}}{3\left ( \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{c}^{\,\it{2}} \right )}+$$ $$+ \frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )\left ( \it{b}- \it{c} \right )\it{Q}}{\it{3}\left ( \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{c}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{c}^{\,\it{2}}+ \it{ca}+ \it{a}^{\,\it{2}} \right )}\geqq \it{0}$$
với $\it{b}= \text{mid}\left \{ \it{a},\,\it{b},\,\it{c} \right \},\,\it{Q}= \it{a}^{\,\it{3}}\it{b}+ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{3}}\it{c}+ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{5}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{c}+ \it{2}\,\it{c}^{\,\it{2}}\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{a}\it{b}^{\,\it{2}}\it{c}- \it{ab}\it{c}^{\,\it{2}}- \it{a}\it{c}^{\,\it{3}}- \it{b}^{\,\it{2}}\it{c}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}\it{c}^{\,\it{3}}$

Spoiler

Cái này lớp 8 chưa học mà bạn 




#718021 Tìm n $\in N*$ để n4+n3+1 là số chính phương

Đã gửi bởi Marshmello on 30-11-2018 - 22:12 trong Đại số

:D Ai vô trang giải hộ em bài này với 

Tìm số nguyên dương n để A = n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 là scp




#717755 tìm các nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2}+2y^{2...

Đã gửi bởi Marshmello on 24-11-2018 - 12:53 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình

phương trình ước số là gì ?

Theo mik là lập bảng đó  :D




#717497 Rút gọn biểu thức: (x^2 + x - 6) / (x^3 - 4x^2 - 18x + 9)

Đã gửi bởi Marshmello on 14-11-2018 - 23:54 trong Đại số

a) Rút gọn phân thức: $\frac{x^2+x-6}{x^3-4x^2-18x+9}$

b) Cho $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0(x,y,z\neq 0)$. Tính $\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}$

a ) $\frac{x^2 + x-6}{x^3 -4x^2-18x + 9 } = \frac{x^2 - 2x + 3x - 6}{x^3 + 3x^2 - 7x^2 - 21x + 3x + 9} = \frac{x(x-2)+3(x-2)}{x^2(x+3)- 7x(x+3) + 3(x+3)} = \frac{(x+3)(x-2)}{(x+3)(x^2 - 7x + 3)} = \frac{x-2}{x^2 - 7x + 3}$

b ) C/m 1 bài toán phụ 

Cho $a + b + c = 0$ . CM : $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

Ta có : $a + b + c = 0 \Leftrightarrow a + b = -c \Leftrightarrow (a+b)^3 = -c^3$

Lại có : $a^3 + b^3 + c^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 = -c^3 - 3ab . (-c) + c^3 = 3abc$

Theo GT : $\frac{1}{x}+ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ , áp dụng từ bài toán phụ trên , ta có : 

$\frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} + \frac{1}{z^3} = \frac{3}{xyz}$

Ta lại có : $\frac{yz}{x^2} + \frac{xz}{y^2} + \frac{xy}{z^2} = \frac{xyz}{x^3} + \frac{xyz}{y^3} + \frac{xyz}{z^3} = xyz ( \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} + \frac{1}{z^3} ) = xyz . \frac{3}{xyz} = 3$

:luoi