Ây ya, các huynh đệ thiệt là siêu quá đi Cơ mà sư phụ của đệ chỉ cho đề như thế thôi á :v

Vậy nếu phải kiểm tra , bạn cm đề bài sai vô luôn phần bào làm nha:))

cậu lại lộn nữa rồi bài này còn thiếu đề nên ko cm đc đâu 

vả lại xét như cậu là thiếu tại vì còn có TH $n^{2}=2p$ nữa cơ VD m=n=p=2 

            

Đề sai hay thiếu là chuyện bình thường mà,quan trọng là người ta biết sửa thế nào để mình làm đúng là đc, (ý kiến riêng nha:có gì đừng ném đá).Với bài này mình đang tự cho m,n phân biệt à

làm thế nào mà $p^{2}\vdots n^{2}-p$ $\left ( 1 \right )$ được 

chẳng hạn lấy bộ ba số p=3,n=2 thì vẫn thỏa mãn 1 nhưng 3 không chia hết cho 2 => vô lí

Ừm, vậy từ $p^{2}\vdots n^{2}-p$ suy ra $\left\{\begin{matrix} n^{2}-p=1 & & \\ p^{2}\vdots n^{2}& & \end{matrix}\right.$

Ta có:$m^{2}=\frac{n^{2}p}{n^{2}-p}$=$p+\frac{p^{2}}{n^{2}-p}$

Do m, n là số nguyên dương nên $p^{2}\vdots n^{2}-p\Rightarrow p\vdots n$

Tương tự có p chia hết cho m.

Vì p là số nguyên tố và m, n phân biệt nên không mất tính tổng quát giả sử m=p,n=1

Thay lại vào giả thiết , suy ra vô lý.$\rightarrow$ đpcm

Bài 2 Rút y theo x,tìm điều kiện cuả y. Thế vào P,tính đạo hàm , vẽ bbt.

Bài 3 Đặt t=x/y+y/x.Đưa giả thiết về dạng đấy rồi làm bình thường.

Dấu bằng tại a=b=2

$\frac{a^{2}}{b-1}+4(b-1)\geq 4a$

Tương tự ta đc min F=8

Hệ quả của định lý Wilson:(p-1)!+1 chia hết cho p.

Ta có(p-1)((p-2)!-1)=(p-1)!+1-p chia hết cho p

Mà p-1 không chia hết cho p , suy ra đpcm.

tên sách:Tài liệu chuyên toán đâị số(hình học)10.

Bài 1:$a^{2}+4c^{2}=(a+2c)^{2}-4b^{2}=(a+2c-2b)(a+2c+2b)$

Bài 2:Từ giả thiết ta có:$(a-c)(b^{2}-ac)=0$

Suy ra có:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+c-b)(a+c+b)$

chứng minh  đc a+c-b >1.Suy ra đpcm.

Bài 3:$a^{3}+b^{3}-3ab+1=(a+b)^{3}+1-3ab(a+b+1)=(a+b+1)(a^{2}+b^{2}-ab-a-b+1)$

Anh ơi đây là lý thuyết ạ????

Cho hỏi ý của bạn là gì vậy?

Vì tất cả số nguyên dương đều viết được dưới dạng như vậy.
Với k=0 thì với mỗi m lẻ ta được 1 số lẻ.
Với k>0 thì ta sẽ được các số chẵn.
P/s:Nếu bạn chưa chắc thì hãy thử tìm 1 số nguyên dương khác quy luật trên:))

4a)

Bình phương VT ta có:

$\sum (a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)=\sum (a+ac-1)(b+ba-abc)=\sum b(a+ac-1)(1+a-ac)=abc\sum (a^{2}-(ac-1)^{2})\leq abc.a^{2}.b^{2}.c^{2}=1$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

P/s không chắc.

Anh ơi cho em hỏi 3 cái dấu chấm đấy là gì vậy ạ?

Căn đầu tiên cho liên hợp với 3 ,căn còn lại cho liên hợp với 2.

Xét ....

Xét x=y=z suy ra pt vô nghiệm.

Xét x<y,z,x,y,z khác 0

Dễ dàng chứng minh đc $yz\vdots x$. Không mất tính tổng quát giả sử y$\vdots x$

Chia cả 2 vế của pt cho y^{2}  $x^{2}+z^{2}=\frac{x^{4}}{y^{2}}-\frac{x^{2}.z^{2}}{y^{2}}=\frac{x^{2}(x^{2}-z^{2})}{y^{2}}$

Vì x,z nguyên dương nên x^{2}(x^{2}-z^{2}) phải chia hết cho y^{2} 

Do x<y và y chia hết cho x nên x^{2}-z^{2} chia hết cho y hay chia hết cho x 

Suy ra z chia hết cho x 

Chia cả hai vế của pt cho x^{2} ta đc pt a^2+ab+b^2=1

........

P/s k chắc ,mong mọi người góp ý.

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu và a>0 chỉ là 1 điều kiện để loại nghiệm thôi , chỉ khi phương trình có 2 nghiệm âm bạn mới kết luận pt vô nghiệm.

P/s:đã hỏi nhiều người về vấn đề này.

vậy cho 2X-1=a,2Y-1=7-a

khi đó thay X và Y tìm được ở trên vào, mình nghĩ là bài này làm cũng được nhưng hơi dài thôi

ít nhiều gì cũng có liên quan tới giả thuyết đề bài chứ

Ừm thứ nhất là (2x-1).(2y-1)=7 chứ k phải  2x-1+2y-1=7,thứ hai đây là bđt nên bạn nên dùng các bđt đơn giản để giải chứ k nên biến về thành pt ngiệm nguyên vì có nhiều lí do..

P/s tôi chưa thử cách này nhưng bạn thử làm xem,tôi thấy khá là hứng thú  

Nhưng pt có 2 nghiệm phân biết, denta = ( b-c)^2 + 4bc > 0 , kết hợp vs nghiệm phải là nghiệm dương sao loại dc ạ 

Hai nghiệm trái dấu k phải là 2 nghiệm phân biệt à bạn.

Bạn k thể kết luận nó vô nghiệm đc.

Vậy bạn có thể loại nghiệm âm , khi tính toán những bài bt cũng có mà.Không thì bạn cũng làm thiếu ở đâu đấy vì bài có nhiều nghiệm mà.

x,y nguyên dương ?

Nó có khá nhiều nghiệm ạ!!
(0;0;m);(0;m;0) (m;0;m)(m;m;0)

Bạn thử tính $\Delta$ rồi tính a theo b và c rồi tính tiếp.

P/s ;tôi chưa thử tính đâu.

Cách làm hơi dài:

Tìm được điểm rơi x=y=2

Dễ dàng chứng minh được $\sqrt{xy}\geq 2$

$P=(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}+\frac{7xy}{8}+(\frac{xy}{8}+\frac{2}{xy})\geq \frac{7}{8}.4+1=\frac{9}{2}.$

mình không biết cách giải ngắn gọn là gì nhưng mình có cách này hơi dài

bần cùng sinh đạo tặc thôi     

đầu tiên ta có $2xy-4=x+y\rightarrow \left ( 2x-1 \right )\left ( 2y-1 \right )=7$

tính phương trình nghiệm nguyên này ra rồi thay vào chọn giá trị nhỏ nhất    

Bạn xem lại nha,x,y không nguyên mà.

Xét $ x= y=z = 0 $ thỏa 

Xét $ x,y,z $ khác 0 . Đặt $ x^2 = b > 0 $ , ...

Ta có $ ab+bc + ac = a^2 $ . 

$ \Leftrightarrow  a^2 - a(b+c) - bc = 0 $ Dễ thấy phương trình bậc 2 này có tích 2 nghiệm =  - bc < 0 do b,c > 0  mà do a > 0 nên pt phải có nghiệm nguyên dương. Vậy => pt vô nghiệm 

Vậy $ x= y= z = 0 $ 

Nhỡ phương trình đấy có hai nghiệm trái dấu thì sao ,vẫn có 1 nghiệm dương mà.