Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=(log_{a}{b^{2}})^{2}+6(log_{\frac{\sqrt{b}}{a}}{\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}})^{2}$ với a, b là các số thực thay đổi thỏa mãn $\sqrt{b}>a>1$

Cho hai số thực x, y thỏa mãn hệ thức $2^{2|y|-x^{2}}=log_{2|y|+1}{x}$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc [-2022;2022] để tồn tại duy nhất một số thực x thỏa mãn hệ thức $4y^{2}=10x^{2}+mx+1$

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(-8;-1;6), B(1;2;3), C(16;3;5). Điểm M di động trên mặt cầu $(S_{1}): (x-4)^{2}+(y-3)^{2}+(z+3)^{2}=49$ sao cho tam giác MAB có $2sin\widehat{MAB}=sin\widehat{MBA}$. Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng CM.

Gọi S là tập hợp các số nguyên dương x sao cho tồn tại số thực dương y thỏa mãn: $ylog_{2}{(x+3y)}\leq 8-x$ và $log_{3}{3x}\geq 27^{-y}$. Tính tổng các phần tử của S.

Cho hai điểm thay đổi A, B lần lượt thuộc đồ thị $y=e^{x+1}$ và $y=ln(x+1)$. Giá trị nhỏ nhất của AB bằng $a+b.e+c\sqrt{2}$. Tìm a, b, c.

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f^{4}(x)+2=3f^{3}(x)+|f(x)+2m|$ có 4 nghiệm phân biệt?

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm f'(x)=0 với mọi x trên R và f(x) nghịch biến trên R. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [-2022;2022] để hàm số g(x) = $f(\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}mx^{2}+4x+2022)$ nghịch biến trên khoảng (1;3)?

Xét các số phức thỏa mãn $|z^{2}-6z-i(3+5i)|=4|z-3|$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z-3|. Giá trị của biểu thức $3M^{2}-4m^{2}$ là?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn $2f(x)+f(1-x)=3x^{2}-6$ với mọi x trên R. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=f(x) và y=f'(x) bằng $\frac{a}{b}.\sqrt{5}$ (với a,b thuộc N* và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó giá trị a-b bằng?

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu (S1): $(x+1)^{2} + (y-2)^{2} + (z-3)^{2}=36$ và (S2): $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=49$ và điểm A(7; 2; -5). Xét đường thẳng d di động nhưng luôn tiếp xúc với (S1) đồng thời cắt (S2) tại hai điểm B, C phân biệt. Diện tích lớn nhất của tam giác ABC bằng?

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;3;1), N(2;0;3) và mặt cầu (S): $(x-1)^{2}+(y-5)^{2}+(z+3)^{2} = 9$ . Mặt phẳng (P) đi qua M, N và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Khoảng cách từ điểm E(0;0;1) đến (P) bằng?

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;3;1), N(2;0;3) và mặt cầu (S): $(x-1)^{2}+(y-5)^{2}+(z+3)^{2} = 9$ . Mặt phẳng (P) đi qua M, N và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Khoảng cách từ điểm E(0;0;1) đến (P) bằng?