Ta có : 

$det \begin{pmatrix} I & B\\ -A & I \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix} I & B\\ O & AB + I \end{pmatrix} = det (I + AB)$

Mặc khác:

$det\begin{pmatrix} I & B\\ -A & I \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix} I & B\\ O & BA + I \end{pmatrix} = det ( I + BA)$

 Nên $det (I + AB) = det(I + BA)$

Suy ra $I + AB$ khả nghịch

1) Đây không phải ma trận phảm đối xứng. Vì ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính phải bằng 0.

2) Có lẻ đề thiếu điều kiện $a\neq -1$ hoặc $b\neq 0$ hoặc $c\neq 0$ hoặc $d\neq 0$

3) Giải với điều kiện $a\neq -1$

Ta đặt $A=\begin{pmatrix} a+1 & b & c & d\\ -b & a+1 & b & c\\ -c & -b & a+1 & b\\ -d & -c & -b & a+1 \end{pmatrix}$

Ta có:

$AA^{T}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ].I$

$\Rightarrow \det (AA^{T})=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$

$\Rightarrow (\det A)^{2}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$

Với $a\neq -1$ thì ta có:

$(a+1)^{2}> 0$

$\Rightarrow (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}> 0,\forall b,c,d$

$\Rightarrow \left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}> 0,\forall b,c,d$

$\Rightarrow (\det A)^{2}> 0$

Suy ra: $\det A\neq 0$

Suy ra ma trận A khả nghịch

..................................................
Bài viết đã được sửa sau khi nhận góp ý của bạn "phudinhgioihan"

Tại sao : $AA^{T} = ( (a+1)^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) I$     vậy ạ?? e nhân lại thì không ra kết quả như v?

Câu 1:
Ta có:
$A^{2}=2A\Leftrightarrow A^{2}-2A-3E=-3E\Leftrightarrow (A+E)(A-3E)=-3E\Leftrightarrow (A+E)(E-\frac{1}{3}A)=E$
Suy ra A + E khả nghịch và $(A+E)^{-1}=E-\frac{1}{3}A$

Câu 2:

Ta có:

$A^{2011}=0\Rightarrow detA=0$

$A+B=AB\Leftrightarrow A=B(A-I)\Rightarrow detA=detB.det(A-E)$

$\Rightarrow detB.det(A-E)=0$

Ta lại có:

$A^{2011}=0\Leftrightarrow A^{2011}-E^{2011}=-E\Leftrightarrow (A-E)(A^{2010}+A^{2009}+...+A+E)=-E$

$\Rightarrow det(A-E).det(A^{2010}+A^{2009}+...+A+E)=(-1)^{n}$

$\Rightarrow det(A-E)\neq 0$

Suy ra $detB = 0$

Suy ra B không khả nghịch

làm như thế này đc ko a?.

$A + B = AB \rightarrow B = A(B-I) \rightarrow det(B) = det(A)det(B-I) \rightarrow det(B) = 0$

E làm như thế này được không ạ!

Ta Có:

$A^{2009} = O$  , $B^{2010} = O$ nên A, B là ma trận lũy linh

Mà A, B giao hoán nên A + B là ma trận lũy linh. 

Suy ra I + A + B khả nghịch