Cấu trúc Hodge trộn
1 cấu trúc Hodge trộn hữu tỉ được cho bởi 1 không gian vector trên trường hữu tỉ cùng với 2 dẫy lọc được gọi là lọc trọng và lọc Hodge. Trên thực tế dẫy lọc trọng của cấu trúc Hodge trộn relate very strong với trọng theo nghĩa Conjecture de Weil II của Deligne. Công cụ để làm việc trên trường hữu hạn thì có rất nhiều, rigid, cristalline, l-adic, algebraic De Rham cohomology. Tuy nhiên tôi sẽ chỉ chọn l-adic và DeRham như là realization. Infact thì cristalline chỉ work với smooth schemes. Original work của Deligne ở Hodge II thực tế chọn Betti và DeRham realization. Tuy nhiên chúng ta có thể phiên dịch ngôn ngữ giữa chúng không mấy khó khăn.
Ký hiệu $ F \in Gal(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q $ là geometric Frobenius tác động Galois-equivariant lên đối đồng điều giá compact $H^i_{c, et}(X \otimes_{\mathbb{F}_q} \overline{\mathbb{F}}_q, \mathbb{Q}_{\ell}) $. Kết quả của Deligne cho biết với mọi phép nhúng $\overline{\mathbb{Q}}_{\ell} \subset \mathbb{C}$ thì trị tuyệt đối của các giá trị riêng của toán tử Frobenius hình học lên đối đồng điều của lược đồ trơn xạ ảnh đều là $q^{i/2}$. Điều này dẫn tới lọc trọng in sense Weil conjecture, như là $W_p = \oplus_{i \leq p} V_i $, với $V_i$ là không gian vector con thỏa mãn tính chất nói trên.
Trên trường phức, ta có Hodge decomposition cho trường hợp đa tạp đại số xạ ảnh trơn (hoặc thậm chí Kähler) điều này dẫn tới cấu trúc Hodge thuần khiết (pure Hodge structure). Với đa tạp non-compact có singularities, Deligne đã chứng minh đối đồng điều của nó luôn sở hữu 1 cấu trúc Hodge trộn (mixed Hodge structure). Trên thực tế đây chính là spirit của mixed motives. Ta định nghĩa DeRham realization của 1 đa tạp như là Zariski hypercohomology của dẫy phức DeRham. Sử dụng giải kỳ dị (trên trường phức ta luôn có Hironaka), ta nhúng đa tạp của ta vào 1 good compactification, sao cho phần bù của nó làm thành 1 ước ngang chuẩn tắc (normal crossing divisor).
Khi đó lọc trọng của bó vi phân với cực loga theo phần bù ước ngang chuẩn tắc được cho bởi tích wedge với bó vi phân của compactification nếu độ dài của dẫy lọc nhỏ hơn hạng của bó vi phân có cực loga, trường hợp khác thì giữ nguyên. Lọc Hodge trên De Rham realization được được nghĩa thông qua dẫy phổ tương ứng với Hypercohomology với hệ số là các mảnh phân bậc của dẫy lọc trọng trên bó vi phân cực loga.
Mệt quá, mai viết nốt l-adic realization.