Đến nội dung

Alexi Laiho nội dung

Có 373 mục bởi Alexi Laiho (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#195277 Các tính chất số học của đa tạp đại số

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 02-01-2009 - 04:30 trong Toán học hiện đại

Cấu trúc Hodge trộn


1 cấu trúc Hodge trộn hữu tỉ được cho bởi 1 không gian vector trên trường hữu tỉ cùng với 2 dẫy lọc được gọi là lọc trọng và lọc Hodge. Trên thực tế dẫy lọc trọng của cấu trúc Hodge trộn relate very strong với trọng theo nghĩa Conjecture de Weil II của Deligne. Công cụ để làm việc trên trường hữu hạn thì có rất nhiều, rigid, cristalline, l-adic, algebraic De Rham cohomology. Tuy nhiên tôi sẽ chỉ chọn l-adic và DeRham như là realization. Infact thì cristalline chỉ work với smooth schemes. Original work của Deligne ở Hodge II thực tế chọn Betti và DeRham realization. Tuy nhiên chúng ta có thể phiên dịch ngôn ngữ giữa chúng không mấy khó khăn.

Ký hiệu $ F \in Gal(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q $ là geometric Frobenius tác động Galois-equivariant lên đối đồng điều giá compact $H^i_{c, et}(X \otimes_{\mathbb{F}_q} \overline{\mathbb{F}}_q, \mathbb{Q}_{\ell}) $. Kết quả của Deligne cho biết với mọi phép nhúng $\overline{\mathbb{Q}}_{\ell} \subset \mathbb{C}$ thì trị tuyệt đối của các giá trị riêng của toán tử Frobenius hình học lên đối đồng điều của lược đồ trơn xạ ảnh đều là $q^{i/2}$. Điều này dẫn tới lọc trọng in sense Weil conjecture, như là $W_p = \oplus_{i \leq p} V_i $, với $V_i$ là không gian vector con thỏa mãn tính chất nói trên.

Trên trường phức, ta có Hodge decomposition cho trường hợp đa tạp đại số xạ ảnh trơn (hoặc thậm chí Kähler) điều này dẫn tới cấu trúc Hodge thuần khiết (pure Hodge structure). Với đa tạp non-compact có singularities, Deligne đã chứng minh đối đồng điều của nó luôn sở hữu 1 cấu trúc Hodge trộn (mixed Hodge structure). Trên thực tế đây chính là spirit của mixed motives. Ta định nghĩa DeRham realization của 1 đa tạp như là Zariski hypercohomology của dẫy phức DeRham. Sử dụng giải kỳ dị (trên trường phức ta luôn có Hironaka), ta nhúng đa tạp của ta vào 1 good compactification, sao cho phần bù của nó làm thành 1 ước ngang chuẩn tắc (normal crossing divisor).

Khi đó lọc trọng của bó vi phân với cực loga theo phần bù ước ngang chuẩn tắc được cho bởi tích wedge với bó vi phân của compactification nếu độ dài của dẫy lọc nhỏ hơn hạng của bó vi phân có cực loga, trường hợp khác thì giữ nguyên. Lọc Hodge trên De Rham realization được được nghĩa thông qua dẫy phổ tương ứng với Hypercohomology với hệ số là các mảnh phân bậc của dẫy lọc trọng trên bó vi phân cực loga.

Mệt quá, mai viết nốt l-adic realization.



#195268 Các tính chất số học của đa tạp đại số

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 01-01-2009 - 20:21 trong Toán học hiện đại

Arithmetic of algebraic varieties


Câu chuyện về tương tác giữa hình học và số học có 1 lịch sử khá thú vị, gắn liền với nhiều tên tuổi như Diophantine, Chevalley, Deligne, Lang, Manin, Katz... Bài viết introduction này là 1 informal overview về 1 hướng trong lãnh vực này. Lịch sử của nó có thể nói bắt nguồn từ việc giải hệ các phương trình Diophantine, dưới ngôn ngữ của hình học hiện đại nó tương đương với việc ta đi tìm điểm của 1 lược đồ số học cho trước. Để hiểu điều này ta trước hết đưa vào khái niệm:

Def: 1 lược đồ số học có thể hiểu như là 1 cấu xạ từ 1 lược đồ $X$ vào phổ của vành các số nguyên $X \rightarrow Spec ( \mathbb{Z} ) $.

Mỗi 1 điểm của $ Spec ( \mathbb{Z} ) $ được đặc trưng bởi 1 số nguyên tố p và trường thặng dư tại đó là $\mathbb{F}_p$, vậy ta có thể xem lược đồ số học như là 1 họ các lược đồ trên $Spec (\mathbb{F}_p) $. Hiển nhiên 1 lược đồ không thể có cùng 1 lúc cả characteristic 0 và p trừ phi bó cấu trúc là vành 0, nên cấu xạ $X \rightarrow Spec (\mathbb{Z} ) $ sẽ phải factors uniquely qua $X \rightarrow Spec (\mathbb{F}_p) $. Điều này dẫn đến việc nghiên cứu các lược đồ trên trường có đặc số p.

Def: 1 lược đồ X được gọi là lược đồ đặc số p nếu $p \cdot \mathcal{O}_X = 0 $ hay tương đương với việc cho trước 1 cấu xạ cấu trúc $ X \rightarrow Spec (\mathbb{F}_q) $, với q là số lũy thừa của p.

Như vậy là ta đã thực hiện bước đầu tiên, có nghĩa là chuyển về nghiên cứu hình học trên trường hữu hạn. Mỗi 1 điểm hữu tỉ của 1 lược đồ trên trường hữu hạn được cho bởi 1 cấu xạ $ x: Spec (\mathbb{F}_q) \rightarrow X $, và chữ số học ở đây, có nghĩa là việc ta đếm xem có bao nhiêu cấu xạ như vậy ứng với 1 lược đồ cho trước. Câu chuyện được nối tiếp bởi định lý sau của Chevalley-Warning, được chứng minh hết sức sơ cấp trong cuốn Arithmetic của Serre:

Định lý (Chevalley-Warning): 1 siêu mặt bậc d của không gian xạ ảnh số chiều n với d nhỏ hơn n trên 1 trường hữu hạn luôn có điểm hữu tỉ.

Remark: Định lý này sau được Katz mở rộng ra, hứa hẹn 1 lớp khá rộng các đa tạp đại số có chứa kỳ dị. Chúng ta phải rất cẩn thận khi nói tới kỳ dị, bởi kỳ dị có thể làm thay đổi hoàn toàn các tính chất hình học cũng như số học của các đa tạp.

Quay trở lại về vấn đề đếm điểm trên trường hữu hạn, ta hãy xét 1 ví dụ tầm thường là không gian xạ ảnh
 

$\mathbb{P}^n = \mathbb{A}^0 \coprod \mathbb{A}^1 \coprod \cdots \coprod \mathbb{A}^n $


Như vậy số điểm nó phải có là $|\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_q)| = 1 + q + \cdots + q^n $. (chú ý rằng việc phân tích thành tổng như vậy rất có ý nghĩa sau này trong lý thuyết của Mô típ). Do đó ta có thể viết
 

$|\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_q)| \equiv 1 \quad mod \quad q .$


Câu hỏi thú vị đặt ra, có những đa tạp đại số này có tính chất số học này tương tự gần giống với không gian xạ ảnh. Ta hãy xem thử tiếp 1 ví dụ khá sơ cấp trong hình học trường hợp 2 chiều, đó là các mặt Del Pezzo.

Định nghĩa: Mặt Del Pezzo được phân loại như là: mặt phẳng xạ ảnh $\mathbb{P}^2 $, tích của 2 đường cong hữu tỉ $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $, hoặc nổ của mặt phẳng xạ ảnh tại r điểm trên vị trí tổng quát, với r lớn hơn bằng 1 và nhỏ hơn bằng 8.

Hiển nhiên trong 2 trường hợp đầu thì tầm thường, ta xét thử ví dụ Nổ của mặt phẳng xạ ảnh tại điểm, điều này có nghĩa là ta lấy bớt đi 1 điểm và thêm vào đó 1 đường cong hữu tỉ, phép tính sơ cấp cho thấy số điểm hữu tỉ của mặt nhận được vẫn là 1 mod q.

Bài viết sau tôi sẽ nói về 1 số công cụ để làm việc với hình học trên trường hữu hạn và mối liên hệ tương tự với lý thuyết Hodge trên trường đặc số 0.




#194716 Elementary

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 13-12-2008 - 08:15 trong Hình học và Tôpô

Characteristic classes là lý thuyết cổ điển và kinh điển, không học nó ngay thì bao giờ mới chịu học? Blowing-up thì chắc nên tự học, chứ vác lên đây hỏi, chắc chả ai trả lời, trừ phi bạn có vài câu hỏi thú vị. Không lẽ lại ngồi trình bầy proj của đại số graded, hay là thay thế 1 điểm trên 1 mặt bằng 1 đường cong P^1... thế thì chắc là đọc sách còn chuẩn hơn là bài post ở đây.



#194631 Elementary

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 10-12-2008 - 06:02 trong Hình học và Tôpô

Làm sao mà giải thích nổi qua diễn đàn cơ chứ, chỉ giới thiệu thế thôi. Định nghĩa của motives hay Tate twist thì xem sách còn nhanh hơn. Nói chung for non-expert, thì khó explain được hết. Còn hỏi cụ tỉ vào vấn đề trên thì mới thảo luận chung với nhau được.



#194620 Elementary

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 09-12-2008 - 18:40 trong Hình học và Tôpô

Có cách xây dựng trên Motives tổng quát hơn nhiều. Fix base scheme S, xét X là 1 S-scheme cùng với 1 Grothendieck Topology, say h-Topology hoặc qfh-Topology. Gọi M là hàm tử tương ứng từ phạm trù S-scheme vào phạm trù motive (hiểu như là phạm trù đồng điều của Site with interval) $(Schm)/S \rightarrow DM(S)$. Nếu E là 1 vector bundle trên X, gọi P(E) là projectivization của nó, vậy thì ta có

$M(P(E)) = \oplus_{i=0}^{dim E - 1} M(X) (i) [2i]$ (lấy Tate twist rồi shift). Từ cái này lấy realization xuống etale topos sẽ nhận được Chern classes như trong etale cohomology, hoặc nếu Base scheme là complex field C thì GAGA sẽ ra Chern classes cho complex topology.



#194273 K_0(Z[x]) = ?

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 03-12-2008 - 17:02 trong Toán học hiện đại

Cái này tầm thường. Nếu thích dùng fancy language thì đưa về étale cohomology, nhưng để trả lời đơn giản thì dùng đại số là đủ.

Thứ nhất $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$ là local ring (địa phương hóa tại maximal ideal (x)), nên mọi projective modules trên nó đều free, kết quả là $K_0 ( \mathbb{Z}[x,x^{-1}]) \simeq \mathbb{Z} $.

Tổng quát hơn, nếu R là 1 vành giao hoán có đơn vị, thì K_0(Rings) = K_0(Affine Schemes), vậy nên $K_0(\mathbb{Z}[ x ]) \simeq K_0(\mathbb{A}^1_{\mathbb{Z}}) \simeq \mathbb{Z} $.

Tổng quát hơn nữa, as we know, K_0 là $\mathbb{A}^1$-invariant (giống Chow groups), nên có thể lấy fiber product suy ra $K_0(\mathbb{Z}[ x_1,..., x_n ]) \simeq \mathbb{Z} $. Nói theo ngôn ngữ fancy của motives, thì hàm tử K_0 là 1 presheaf with transfer (see Voevodsky).



#194214 Some viewpoints

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 02-12-2008 - 03:47 trong Toán học hiện đại

Trong bài báo perverse sheaves, Deligne đã phác thảo ra 1 con đường xây dựng conjectural mixed motive category MM_k, tuy nhiên Voevodsky mới chỉ dừng ở DM_gm. Như vậy để working out philosophy của Deligne chúng ta phải bắt đầu thế nào?

Hiện tôi cũng đang đọc về weight filtration/weight spectral sequence sáng tạo bởi Rapoport và đang phải dùng abelian category của perverse sheaves. Liệu ai có cùng interesse không nhỉ?



#194175 Some viewpoints

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 01-12-2008 - 13:17 trong Toán học hiện đại

Trên motive level ta có thể xem ĐĐĐ như là các cấu xạ của phạm trù mixed motif DM từ motif M vào bó F nào đó trên 1 Grothendieck topology. Cụ thể hơn nữa thì có thể xem DDD trên 1 Grothendieck Topo T như là nhóm mở rộng Ext trên phạm trù bó tương ứng với T của bó hằng Z với 1 bó F nào đó.

Với mọi người thì thế nào là điểm nhỉ? Xin cho biết thêm ý kiến. Như đã biết trong Zariski Topo thì điểm có thể xem như là Spec của 1 local ring. Trong h-topo của Voevodsky thì điểm có thể xem như là Spec của 1 strictly Heselian ring... Mỗi Grothendieck Topology sẽ yields 1 quan điểm về điểm khác nhau. Mời mọi người đóng góp thêm.



#194163 Dạy và học bất đẳng thức ở trường phổ thông như thế nào?

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 01-12-2008 - 01:35 trong Kinh nghiệm học toán

Topic này chắc để dùng để vui :). Ngày xưa mình khá số học, nên giờ vẫn theo được con đường số học hình học. Đề nghị các thầy giúp đỡ các em học sinh học hành nghiêm chỉnh arithmetic :D. Đùa thôi, ngoài số học và đại số thì toán sơ cấp tớ chả môn nào khá. Bác nào có kinh nghiệm chuyên toán vào góp tí ý kiến nhỉ.

Theo tớ, BDT đẹp, nhưng không khó, nhiều bài hình học khó hơn, nhưng bị coi nhẹ hơn, thế nên hình như học sinh VN học hình học kém hơn các bạn khoai tây =)). Đùa thôi, khoai tây cũng nhiều loại, kém cũng có, nhưng nếu giỏi thì thế nào cũng đạt loại khá sau đại học trở lên.



#193933 Some viewpoints

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 25-11-2008 - 04:57 trong Toán học hiện đại

Thế nào là 1 đối đồng điều? Mọi người có thể cho vài đóng góp được không?



#192819 Mirror Symmetry (Lược dịch)

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 25-10-2008 - 18:18 trong Toán học hiện đại

Bắt chước KK, tớ cũng mở 1 student seminar về cohomological methods/techniques in arithmetic geometry, có 5 người tham gia cả thẩy. Tuần sau sẽ bắt đầu. Ban đầu chắc chỉ làm theo cuốn của Milne hoặc Freitag/Kiehl về etale đối đồng điều, Betherlor về Crystalline đối đồng điều, sau khi nắm vững kha khá và biết về Chow groups thì có thể có tham vọng tìm hiểu về motives. Nếu không có gì cản trở các thành viên, thì Seminar sẽ vẫn được tiếp tục kể cả trong lúc nghỉ hè.

1 người thì làm về mặt elliptic trên trường hữu hạn, 1 người làm về vành Grothendieck/motif, 1 người làm Tích phân Feynman/motif, 1 người làm gì đó xung quanh Hodge theory và biến dạng+hình học song hữu tỷ, 1 người thì giản ước mod p của đa tạp đại số. Tóm lại là khá đa dạng, tuy nhiên ai cũng cần các phương pháp đối đồng điều.



#192760 Đối ngẫu Spanier-Whitehead

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 24-10-2008 - 12:37 trong Toán học hiện đại

Không biết cách định nghĩa higher homotopy, nhưng cho etale topology thì không chắc nó đã thú vị, but i dont know. Anyway, fundamental group được defined như là Galois group, vậy nên nếu muốn có như kiểu bên topology, thì chắc phải dùng A^1-homotopy may ra mới construct được \pi_n, for n>1 (đoán thế).



#192483 Mirror Symmetry (Lược dịch)

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 19-10-2008 - 08:23 trong Toán học hiện đại

Anh KK thử trình bầy sơ qua ý tưởng của Langlands duality bên phía toán lý có được không? Em đang mới học local Langlands correspondence, cụ thể hơn là tính semisimple của lifting Frobenius lên Deligne-Weil group.
Ps: Mod nào vào sửa lại cái topic cái, sao hình nó lại biến dạng ra thế này?



#192480 Đối ngẫu Spanier-Whitehead

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 19-10-2008 - 03:46 trong Toán học hiện đại

Thấy các bác bàn bạc về homotopy hăng hái quá, hôm nọ có nghe 1 người trình bầy seminar về stable homotopy trong hình học đại số, link về với $\mathbb{A}^1$-homotopy của Voevodsky, tất nhiên là mình ngồi nghe thì chả hiểu gì rồi.

Chuyển đề tài tí nhỉ, có ai đang quan tâm tới $\pi_1^{et}(X,\overline{x})$ không nhỉ? Tớ đang đọc bài Weil II của Deligne.



#191950 Mirror Symmetry (Lược dịch)

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 06-10-2008 - 22:01 trong Toán học hiện đại

Tôi nghĩ small QC cho Fano hoặc K3 surfaces có thể tính tường minh được, tất nhiên là sẽ nhiều tổ hợp. Nhưng không hiểu A-model bao gồm QC như trường hợp riêng nghĩa là sao?



#191890 Mirror Symmetry (Lược dịch)

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 05-10-2008 - 08:19 trong Toán học hiện đại

Thế tóm lại cái topic này định phát triển thế nào nữa đây nhỉ? Đọc từ đầu chí cuối vẫn chưa hiểu Mirror Symmetry là cái gì nữa. Tôi đang tò mò xem dự đoán của Mirror Symmetry nêu ra cho các mặt cong bậc 5 trong P^4 mà anh TLCT có nêu trên kia?

Tôi muốn tìm hiểu chẳng hạn 1 Calabi-Yau 2-fold cụ thể

$(1+x+y+xy+xyz)(1+z+zy+xyz)t = (t+1)^2xyz$


Vậy thì mirror của nó là gì? Calabi-Yau này là 1 K3-surfaces. Ai đó tính toán tường minh xem mấy cái A-model, B-model, mirror pair gì đó nó cụ thể ra sao? Như vậy chắc mọi người sẽ dễ hiểu hơn thông qua 1 ví dụ cụ thể, mà không đến nỗi quá khó lắm.



#188614 Phát động trại hè toán học II - tháng 8 năm 2008

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 18-07-2008 - 06:16 trong TP HCM - Trại hè toán học 8/2008

Chuyentoan sang thành phố nào, và học gì thế? <_<



#187922 finite Correspondence

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 08-07-2008 - 00:08 trong Toán học hiện đại

Tiếp tục với phần chứng minh của Bổ đề trên. Ta sẽ chứng minh 1 cách tổng quát luận điểm cuối của bổ đề bằng định lý Chevalley (EGA III, 4.4.2).

Proposition: Cho $f:X \rightarrow Y$ là cấu xạ, với Y là 1 lược đồ địa phương noetherian. Những phát biểu sau là tương đương:

(i) f là hữu hạn
(ii) f affine và thực (proper)
(iii) f proper và quasi-finite (tựa hữu hạn), điều này có nghĩa ứng với mỗi điểm y trong Y, nghịch ảnh của y theo f sẽ là 1 tập hữu hạn.

Proof: EGAIII 4.4.2.

Cách tiếp cận với Correspondence của Voevodsky ở trên thực tế là 1 kiểu reformulation cho nhóm Chow. Trong lecture của Voevodsky, phần phụ lục cho chương I được viết để xây dựng Correspondence tổng quát hơn, đó là tương ứng trong ngôn ngữ tương đối. Người ta có thể xây dựng phạm trù $Corr/S$, với S là base scheme, thay vì làm việc over field k. Đây cũng là 1 luận điểm chúng ta cần phải khai thác rõ ràng. Trên thực tế, để định nghĩa 1 phép giật (pull-back) của 1 chu trình thông qua 1 cấu xạ phẳng, tương đối dễ dàng, tổng quát thì khó hơn rất nhiều. Why do we care about $Corr/S$? Tất nhiên là chúng ta không thể lúc nào cũng làm trên 1 trường k cố định nào đó. Chẳng hạn khi ta xét schemes trên 1 vành Dedekind (hoặc cụ thể hơn DVR), $\mathfrak{X} \rightarrow Spec ( R )$, ta sẽ không thể có $Corr/k$, thay vào đó base scheme của chúng ta sẽ có Krull dimension $\leq 1$. Các situations như thế sẽ xuất hiện khi chúng ta study arithmetic surfaces chẳng hạn.

Tất nhiên cũng phải nói rằng, chúng ta không có 1 good theory trên vành, vì những bổ đề như moving lemma, rất khó làm trên DVR, cũng như nhóm Chow cũng rất khó có thể kiểm soát cụ thể, nếu chúng ta rời khỏi k, chuyển sang làm trên R.

Nhưng bây giờ, before we go deeper in Corr/k, ta muốn nhắc lại 1 ít intersection theory, để có chút feeling, what is going on. Đây cũng là nội dung chính của classical pure motives. Như ở trên ta fix 1 trường k, và xét phạm trù các lược đồ trơn xạ ảnh trên k. Thay vì nhóm Correspondence, ta sẽ dùng 1 thuật ngữ cổ điển, đó là nhóm các chu trình cycle, được hiểu như là 1 nhóm abelian sinh bởi các đa tạp con có đối chiều d, more precisely, we set
 

$Z^d(X) = \oplus_{V \subset X, codim_X(V) = d} \mathbb{Z}[V]$


Gọi ~ là 1 tương đương nào đó trong các tương đương hữu tỷ, tương đương đồng điều, tương đương đại số, tương đương số. Chú ý rằng, với tương đương đồng điều ta ngầm hiểu rằng ta đã fixed 1 Weil cohomology theory. Ta cũng ngầm quy ước với nhau rằng, nhóm Chow sẽ là nhóm thương của nhóm các chu trình modulo 1 tương đương nào đó trong các tương đương trên, không nhất thiết phải lấy tương đương hữu tỷ.
 

$CH^d(X) = Z^d(X) / \text{ equiv \quad rel}$


Để tiện theo dõi, ta cũng remind rằng, algebraic equivalence chính là rational equivalence, tuy nhiên đường cong hữu tỷ $\mathbb{P}^1$ và 2 điểm $0, \infty$ đựoc replaced by 1 đường cong đại số trơn C bất kỳ, và 2 điểm a,b bất kỳ trên C.

Cách định nghĩa như thế này khá phù hợp với ngôn ngữ của Correspondence, namely, nếu lược đồ X của chúng ta là purely n-dimensional, vậy thì các tương đương bậc r từ X vào Y sẽ được biểu thị như là:
 

$Corr^r(X,Y) = CH^{r+d}(X \times_k Y)$


Từ đó dễ dàng định nghĩa được tích hợp của Correspondence thông qua Chow groups như sau: Nếu ta lấy tích của 3 lược đồ X,Y,Z, say $X \times Y \times Z$, và ký hiệu lần lượt $pr_{ij}$ là các phép chiếu chính tắc lên các thành phần factors tương ứng của tích, ta sẽ nhận được
 

$$Corr^r(X,Y) \otimes Corr^s(Y,Z) \rightarrow Corr^{r+s}(X,Z), \quad f \otimes g \rightarrow g \circ f = pr_{13\star}(pr_{12}^{\star}f \cdot pr_{23}^{\star}g).$$

 


Từ bây giờ, chúng ta sẽ coi ngầm như tích hợp của Correspondence đã được định nghĩa, thực chất tích các tương ứng theo Voevodsky cũng được motivated thông qua nhóm Chow như thế này. Chú ý rằng, dấu * ở trên là phép giật, còn dấu * ở dưới có nghĩa là phép đẩy.

Câu hỏi đặt ra, pushforward chúng ta đã có, thế pull-back thì phải làm thế nào. Đây sẽ là nội dung chính của bài sau, nhằm quan sát tỉ mỉ cách mà Voevodsky làm trong phạm trù Corr/S, với S là base scheme bất kỳ (xin nhắc lại lần nữa, bất kỳ có nghĩa là lược đồ tách được, và với base scheme thì ta ngầm quy ước S là Noetherian).

Có thể hiểu ý tưởng của Voevodsky như là làm đầy các điểm lên, thay thế mỗi điểm bằng 1 điểm dầy (fat point), tuy nhiên bản thân người viết post này (AL) cũng không hề hiểu chút gì về ý tưởng này.




#187861 finite Correspondence

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 07-07-2008 - 04:09 trong Toán học hiện đại

Tiếp theo:
Như ở cuối bài trên chúng ta đã định nghĩa thế nào là pushforward của 1 chu trình. Infact, nếu đọc Fulton, ta sẽ thấy Fulton yêu cầu số chiều của bao đóng của ảnh của 1 đa tạp con không tăng dưới tác động của cấu xạ, điều này được đảm bảo bởi Fulton dùng cấu xạ proper. Điều này được dấu 1 cách implicitly trong định nghĩa theo Voevodsky.

Bài này tôi muốn nói tới Lemma 1.4. trong Lecture 1 của Voevodsky, được phát biểu như sau:

Lemma: Cho $f: X \rightarrow Y$ là cấu xạ của các lược đồ tách được và of finite type trên 1 lược đồ cơ sở Noetherian S. Gọi W là 1 tập con đóng bất khả quy của X và W hữu hạn trên S. Vậy thì ảnh của W bởi f là đóng và bất khả quy trong Y và hữu hạn trên S. Hơn nữa, nếu W hữu hạn toàn ánh vào S, vậy thì f(W) cũng hữu hạn toàn ánh vào S.

Trước hết, ta có nhận xét nhỏ rằng điều kiện ở bổ đề này đã được làm yếu đi, thay vì cấu xạ hữu hạn, ta có cấu xạ thuộc kiểu hữu hạn. Để self-contained, ta nhắc lại thế nào là cấu xạ thuộc kiểu hữu hạn. 1 cấu xạ $f: X \rightarrow Y$ gọi là of finite type, nếu nó quasi-compact (i.e. nghịch ảnh của 1 tập con affine được phủ bởi 1 họ hữu hạn các tập affine) và locally of finite type. Cấu xạ thuộc kiểu hữu hạn địa phương có nghĩa là tồn tại 1 phủ affine

$Y = \cup_i Spec(B_i)$


sao cho với mỗi chỉ số i, nghịch ảnh

$f^{-1}(Spec(B_i) = \cup_j Spec(A_{ij})$

,

và $B_i \rightarrow A_{ij}$ là đại số hữu hạn.

Bài tập 3.1 chương II Hartshorne, sẽ cho ta giảm bớt điều kiện trên chỉ số phủ. Namely, cấu xạ f là thuộc kiểu hữu hạn địa phương, nếu và chỉ nếu với mọi tập mở $Spec(B) \subset Y$, nghịch ảnh của tập này được phủ bởi 1 họ các tập affine $Spec(A_i)$, sao cho $A_i$ là đại số hữu hạn trên B.
Nhắc lại 1 đại số $B \rightarrow A$ gọi là hữu hạn, nếu ta có 1 toàn cấu đại số

$A \rightarrow B[T_1,...,T_n]/J$,



tương đương với việc tồn tại các phần tử $a_1,...,a_n \in A$ sao cho $A = B[a_1,...,a_n]$

Khác với cấu xạ hữu hạn (infact là cấu xạ thực (proper)), ở trường hợp bổ đề này, chúng ta chỉ có cấu xạ kiểu hữu hạn. Để cm bổ đề này ta cần bài tập 4.4 chương II Hartshorne và EGA III. Trước hết ta chứng minh f(W) đóng trong Y. Gọi $\phi_X : X \rightarrow S $ và $\phi_Y : Y \rightarrow S$ lần lượt là các cấu xạ cấu trúc. Đặt

$\phi_X|W = \phi_W: W \rightarrow S, \quad f_W : W \rightarrow f(W)$.


Do bổ đề của chúng ta yêu cầu W là hữu hạn trên S, và hữu hạn là proper, nên suy ra W proper trên S, điều này có nghĩa $\phi_W$ là proper, ngoài ra do các lược đồ là tách được, nên $\phi_Y$ là cấu xạ tách, mà $\phi_Y \circ f_W = \phi_W$, nên theo định lý 4.8 chương II trong sách Hartshorne, ta phải có $f_W$ là cấu xạ proper. Vì cấu xạ proper theo định nghĩa là universal closed, nên ta có thể thay thế X bởi W và Y bởi f(W), do đó sẽ nhận được 1 toàn cấu trên S $f: X \rightarrow Y$. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $\phi_Y :Y \rightarrow S$ là coi như xong phần f(W) làm thành tập đóng, mà hơn nữa còn thu được f(W) là proper over S.

Mục đích của chúng ta sẽ là base change. Trước hết ta cm rằng tính toàn ánh là ổn định dưới phép chuyển cơ sở. Thật thế, nếu $f : X \rightarrow Y $ surjective, và $g : Y' \rightarrow Y$ là 1 cấu xạ bất kỳ vậy thì ta có các homeomorphisms trên thớ

$(f \times id)^{-1}(y') \simeq X \times_Y Y' \times_{Y'} Speck(y') \simeq X \times_Y Speck(y') \simeq f^{-1}(g(y'))$


Theo như hệ quả 4.8 chương II Hartshorne, thì properness là stable under base change, nên ta tiến hành tiếp cm của chúng ta bằng việc thay X bởi $X \times_S T$, Y bởi $Y \times_S T$ , S bởi T và thay cấu xạ f bởi f x id, với T là 1 S-lược đồ bất kỳ. Do đó để chứng minh là f là universal closed, ta chỉ cần cm f là closed. Nhưng điều này hoàn toàn đơn giản bởi: với 1 tập Z đóng trong Y thì ta sẽ có $Z = f(f^{-1}(Z))$, vì cấu xạ f của ta là surjective (stable under base change). Hiển nhiên f liên tục nên nghịch ảnh của Z phải đóng trong X. Nhưng

$\phi_Y(Z) = \phi_Y \circ f(f^{-1}(Z)) = \phi_X(f^{-1}(Z)) $


là tập đóng do $\phi_X$ là cấu xạ proper, do đó ta có điều phải chứng minh. Vậy từ đó ta kết luận được gì, được 1 điều là ảnh của tập đóng trong X sẽ là đóng trong Y, và proper trên S.

Để chứng minh phần còn lại trong bổ đề, ta sẽ chứng minh luận điểm sau: Nếu f(W) có thớ hữu hạn trên S, vậy thì nó hữu hạn trên S. Luận điểm này được chứng minh bằng EGA. Bài post tiếp theo, tôi sẽ nói tiếp.



#187859 finite Correspondence

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 07-07-2008 - 01:09 trong Toán học hiện đại

:mellow:, lập ra cái topic này để discuss 1 cách tỉ mỉ về Lecture 1 của Voevodsky. Rút kinh nghiệm từ các topic khác, thường die ngay lập tức, topic này mình hy vọng có thể bàn luận 1 cách tỉ mỉ từng chi tiết trong từng ngõ ngách của vấn đề. Điều này chắc chắn sẽ phải dẫn tới việc giải bài tập trong Hartshorne, hoặc tra lần lại EGA.

Hôm nay mình sẽ chỉ nói về 2 trang đầu trong Lecture 1 của cuốn sách, các bạn có thể down tại đây

Trước hết, chúng ta làm việc với phạm trù các lược đồ trên 1 trường k bất kỳ. Như Voevodsky thống nhất, mọi lược đồ sẽ là lược đồ tách, theo định nghĩa điều này có nghĩa phép nhúng diagonal là đóng, i.e. $\Delta: X \rightarrow X \times_k X$ is a closed immersion. 1 cách cơ bản, nhúng đóng, có nghĩa là đường chéo $\Delta(X) \subset X \times_k X$ là 1 tập đóng, và cấu xạ tự nhiên trên bó cấu trúc phải là 1 toàn ánh.

Nhắc thêm, tính tách của 1 lược đồ, có thể kiểm tra bằng điều kiện định giá (Valuation criterion), nói 1 cách trực quan, thì mỗi vành định giá R (Valuation ring) có 1 ideal cực đại và 1 ideal nguyên tố. Vậy nên, ta sẽ có 1 phép nhúng tầm thường từ điểm đóng (tương ứng với Spec(K)), với K là trường thương của R, vào Spec ( R ). Xét cấu xạ cấu trúc X vào Spec(k), ta nói X tách được, nếu tồn tại nhiều nhất 1 phép nâng từ Spec ( R ) vào X làm biểu đồ sau giao hoán

$\begin{array} Spec(K) \longrightarrow & X \\ \downarrow & \downarrow \\ Spec ( R ) \longrightarrow & Spec(k) \end{array}$



Điều kiện tách theo vành định giá này khá là trực quan về mặt hình ảnh. Để thống nhất, từ giờ, chúng ta sẽ viết S cho 1 base scheme, và luôn đòi hỏi các base scheme là Notherian. Recall, noetherian có nghĩa là local noetherian, và quasi-compact, trong đó local noetherian, có nghĩa là địa phương, mỗi lược đồ affine là phổ của 1 vành Noether. Tức là mọi dẫy tăng của Ideal đều sẽ dừng, dịch sang ngôn ngữ của topo, ta sẽ có 1 dẫy dừng các tập con đóng. Do đó ta thấy lược đồ Noether sẽ suy ra không gian topo Noether.

1 chu trình / hoặc 1 xích ( Cycle) của 1 lược đồ X sẽ là 1 tổng hình thức tuyến tính với hệ số nguyên của các tập đóng bất khả quy của X. Điều này có nghĩa, nếu Z là 1 chu trình của 1 lược đồ X, vậy thì

$Z = \sum_W n_W \cdot W$,


với W là closed irreducible subsets của X. Tuy nhiên định nghĩa như thế này sẽ không cho ta 1 tín hiệu nào cụ thể từ phía hình học của lược đồ, bởi tập đóng quá tổng quát. Do đó ứng với mỗi tập đóng, ta phải phong cho nó 1 cấu trúc hình học lên nó. Điều này ta sẽ làm cụ thể như sau:

Với mỗi tập đóng bất khả quy W, ta tương ứng nó với 1 lược đồ con nguyên $\tilde{W}$ sao cho tập W bằng với giá của $\tilde{W}$. Để tiện theo dõi, ta nhắc lại lược đồ nguyên (integral). Lược đồ nguyên nếu, địa phương, các lát cắt của bó cấu trúc làm thành 1 vành nguyên. Do tính chất của vành nguyên, dễ dàng cm được, lược đồ nguyên nếu và chỉ nếu nó bất khả quy và giản ước (reduced), ở đây giản ước meaning rằng mỗi vành địa phương tại 1 điểm không có nilpotent.

Ta sẽ nói tập con đóng bất khả quy (closed irreducible subset) W là hữu hạn, dọc theo cấu xạ cấu trúc $X \rightarrow S$, nếu hạn chế của cấu xạ này lên lược đồ con tương ứng là 1 cấu xạ hữu hạn (finite morphism). Điều này cần phải giải thích rõ ràng hơn. Giả sử cấu xạ cấu trúc của chúng ta là $\phi : X \rightarrow S$, khi ta xét

$\phi_{\tilde{W}}: \tilde{W} \rightarrow S$,



ta sẽ yêu cầu cấu xạ này là hữu hạn. Cụ thể hơn (finite morphism) cấu xạ hữu hạn có nghĩa là affine địa phương, và hữu hạn sinh theo nghĩa module. More precisely, nếu S được phủ bởi 1 họ các phủ mở affine $S = \cup_i Spec (B_i)$, vậy thì

$\phi_{\tilde{W}}^{-1}(Spec(B_i)) = Spec(A_i)$,


và $B_i \rightarrow A_i$ được xem là 1 module hữu hạn sinh trên $B_i$.

Cấu xạ hữu hạn rất quan trọng để ta định nghĩa phép đẩy của 1 chu trình như ta sẽ trình bầy dưới này. Trước hết, ta nói 1 chu trình $\sum n_i W_i$ là finite (hữu hạn) nếu mỗi $W_i$ hữu hạn dọc theo cấu xạ cấu trúc. Bây giờ ta sẽ nói, thế nào là 1 elementary correspondence (tương ứng cơ bản) giữa 2 lược đồ cho trước.

Nếu X là 1 lược đồ trơn liên thông (smooth connected) trên 1 trường k và Y là 1 lược đồ bất kỳ trên k (chú ý bất kỳ có nghĩa là ta ngầm quy ước Y là lược đồ tách). Liên thông (connected) tức là không gian topo nền $|X|$ liên thông, theo nghĩa không thể viết nó dưới dạng hợp của 2 tập con mở thực sự, và để đơn giản, ta nói X trơn trên trường k nếu mọi vành địa phương tại mỗi điểm là 1 vành regular (chính quy). Tất nhiên trong relative context, thì smooth morphism sẽ hoàn toàn khác regular (1 khái niệm absolute), nếu có dịp chúng ta sẽ bàn về vấn đề này sau.

1 tương ứng cơ bản từ X vào Y, được hiểu đơn giản là 1 tập con đóng bất khả quy $W \subset X \times_k Y$, sao cho lược đồ nguyên tương ứng của nó là $\tilde{W}$ sẽ hữu hạn và surjective vào X (hiển nhiên thông qua phép chiếu chính tắc lên thành phần X).

Trường hợp nếu X không connected, say $X = \coprod_i X_i$, với X_i là các thành phần liên thông (connected component), ta sẽ định nghĩa 1 tương ứng cơ bản từ X vào Y như là 1 tương ứng cơ bản bất kỳ từ X_i vào Y. Nhóm các tương ứng sẽ được định nghĩa như là nhóm abelian sinh bởi các tương ứng cơ bản W, explicit, we set

$Corr_k(X,Y) = \oplus_{W \subset X \times_k Y} \mathbb{Z}[W]$.


Mỗi phần tử của nhóm tương ứng (Correspondence) sẽ được biểu thị dưới dạng $T = \sum_W n_W \cdot W$, và đựoc gọi là 1 tương ứng hữu hạn (finite Correspondence). Từ định nghĩa của tương ứng cơ bản trên các thành phần liên thông của 1 lược đồ, dễ thấy, nếu lược đồ X là không liên thông, vậy thì ta sẽ có 1 decomposition:

$Corr_k(X,Y) = \oplus_i Corr_k(X_i, Y)$.


Ta xét 1 vài ví dụ hết sức cơ bản, tự nhiên, và quan trọng sau đây: Đó là đồ thị của 1 cấu xạ cho trước. Cho $f : X \rightarrow Y$ là 1 cấu xạ giữa các lược đồ trơn. Giả sử X là liên thông, ta khẳng định rằng đồ thị $\Gamma_f$ là 1 tương ứng cơ bản giữa X và Y. Chứng minh điều này không khó (vậy nên Voevodsky bỏ qua), ta có thể tiến hành như sau. Trước hết vẽ nên 1 hình chữ nhật cho tích XxY, vẽ 1 đồ thị bất kỳ nào đó. Ta biết

$\Gamma_f = \{(x,f(x)) \in X \times_k Y \} \subset X \times_k Y$.


Do Y là lược đồ tách, nên đồ thị phải là 1 tập con đóng. Xét phép chiếu chính tắc $pr_1 : \Gamma_f \rightarrow X$, hiển nhiên phép chiếu này là 1 toàn ánh (surjective). Nếu $\{ V_i = Spec(B_i) \}$ là 1 phủ affine cho X, nhìn vào hình vẽ dễ thấy, nghịch ảnh của V_i theo phép chiếu phải là affine và bằng chính V_i (nếu cần thiết phải thu nhỏ). Do đó đồ thị của cấu xạ làm thành 1 tương ứng cơ bản.

1 ví dụ cơ bản nữa hết sức quan trọng đó là đồ thị của cấu xạ đơn vị $id : X \rightarrow X$, được xem như là giá của đường chéo $\Delta(X) \subset X \times_k X$.

Tiếp theo ta muốn định nghĩa hợp của 2 tương ứng. Để làm điều này ta phải hiểu phép đẩy (pushforward) của 1 chu trình. Đây cũng sẽ là phần cuối cho bài mở đầu introduction này. Trước hết cho 1 cấu xạ cấu trúc $p : X \rightarrow S$, với S là base scheme. Nếu W là 1 tập con đóng bất khả quy và hữu hạn dọc theo cấu xạ cấu trúc p, ta có thể nói gì về ảnh của nó. Để làm điều này, trước hết ta cần phải giải bài tập 3.5.b chương II trong cuốn Hartshorne, khẳng định rằng cấu xạ hữu hạn sẽ là cấu xạ đóng. Do đó p(W) sẽ là 1 tập con đóng bất khả quy.

Như theo định nghĩa của cấu xạ hữu hạn, ta sẽ chứng minh trước hết, cấu xạ đóng là bảo toàn qua phép chuyển cơ sở (stable under the base change). Do định nghĩa của cấu xạ hữu hạn, ta sẽ reduce cm của ta về trường hợp affine. Cho X = Spec (A), S = Spec(B) và Z = Spec ( C ) lần lượt là 3 lược đồ affine với S là lược đồ cơ sở (base scheme). Khi chuyển cơ sơ, ta sẽ thu được cấu xạ

$Spec(A \otimes_B C) \rightarrow Spec ( C )$



(theo định nghĩa của tích thớ). Hiển nhiên nếu

$A = a_1 B +...+ a_n B$



hữu hạn sinh, thì $A \otimes_B C$ sẽ hữu hạn sinh trên C, bởi các phần tử sinh

$a_i \otimes 1_C$.


Do đó cấu xạ trên hữu hạn, và do đó cấu xạ hữu hạn là bất biến khi chuyển cơ sở.

Vẫn làm việc với trường hợp affine, ta thay thế base scheme S bởi bao đóng của ảnh $\overline{p(S)}$, vậy thì cấu xạ cấu trúc p sẽ đựoc cảm sinh bởi 1 mở rộng nguyên của vành $B \subset A$, giờ áp dụng định lý going up theorem ta có kết quả cần chứng minh. Do đó, từ cm này, ta cũng thấy, cấu xạ hữu hạn thậm chí còn là 1 cấu xạ proper (cấu xạ thực).

Từ đó ta có thể xét mở rộng hữu hạn của trường các hàm $k(W)/k(p(W))$ với degree d. Ta định nghĩa phép đẩy của 1 chu trình W thông qua

$p_{\star}W = d \cdot p(W)$.



Mở rộng tuyến tính ra ta định nghĩa cho các chu trình bất kỳ.



#187044 Phát động trại hè toán học II - tháng 8 năm 2008

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 20-06-2008 - 18:58 trong TP HCM - Trại hè toán học 8/2008

Hay đấy, cho tớ tham gia với nhé, đúng dịp về VN. Các bạn có thể sắp xếp lịch vài ngày sau ngày mùng 8 tháng 8 có được không? Vì sau Quy Nhơn tớ phải vào Nha Trang vài ngày.



#186906 Did Fermat has the proof?

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 17-06-2008 - 13:29 trong Lịch sử toán học

Không phải quản lý họ có ý gì đâu, chỉ vì alias chưa post lên chứng minh của alias, nhưng lại copy-paste linh tinh mấy cái lời giới thiệu về các bài toán thiên niên kỷ như giả thuyết Riemann, giả thuyết Birch-Swinnerton-Dyer từ trang chủ viện toán Clay, và hoành tráng tuyên bố sẽ chứng minh hết cả các giả thuyết này, nên mọi người mới cảm thấy topic của alias does not make sense thôi. :D

Bây giờ mới quay ra hỏi alias này, alias sao cứ ngồi dọa dẫm là đã tìm được chứng minh của Fermat thế, chi bằng post nó lên đây, cho mọi người chiêm ngưỡng trước khi gửi sang Inventiones hay Annals...

Trong cái Theorem mà alias đưa ra phát biểu làm cho mình liên tưởng tới sự mơ hồ :leq, không có ý negative diễu cợt alias đâu, nhưng cho phép mình hỏi 1 vài câu, to clearify something thôi.

1) Đường cong L là gì? 1 đường cong bất kỳ? Nó được định nghĩa over field nào? Cái đa thức f(x,y) là homogeneous hay là thế nào, tức là L là affine hay projective?
2) rational point ở đây của alias có nghĩa là gì? Nói tới rational points thì alias cũng nên nói tới đang working over field nào, để mọi người còn tiện theo dõi, và nói thẳng ra, thế nào là điểm hữu tỷ đối với Alias? Cái ký hiệu M(x,y) của alias tôi không hiểu.
3) Slices của f là gì?

Xin cảm ơn alias.



#186585 Excess intersection

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 09-06-2008 - 05:16 trong Toán học hiện đại

Định viết tiếp bài trả lời như đã hứa với anh TLCT nhưng mà lại lười quá, vì nói chung trình bầy trên này cũng khó, thứ 2 nữa là cũng ít người cùng hướng trao đổi. Nhưng mà nếu nói về mặt ngôn ngữ toán học phổ thông, có khi mọi người lại có nhiều điểm chung dễ nói hơn đấy.

Dạo này em đang thích những kiểu toán thế này, anh TLCT ngó thử qua 1 cái mấy dạng bài ở topic
này.

Như thế chắc cũng đủ nói lên vài ví dụ cụ thể trong số học. :(



#186584 Phương Trình Nghiệm Nguyên

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 09-06-2008 - 05:09 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

Quên, có thêm 1 bài này nữa, chắc để mọi người giải trí cũng vui.
Gọi $P = \{\sum_{i \in \mathbb{Z}}a_i p^i, 0 \leq a_i < p \}$. Xét pt:

$xy(ax^4+bx^2y^2+cy^4) + ex^6+gx^2y^4 +fx^4y^2+hy^6$, với a,b,c,d,e,f,g,h thuộc P.

Hãy tìm nghiệm của pt trên trong $P$, và liệu từ đó có suy ra được pt trên có nghiệm hữu tỷ (tức trong $\mathbb{Q}$) hay không?



#186583 Phương Trình Nghiệm Nguyên

Đã gửi bởi Alexi Laiho on 09-06-2008 - 04:51 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

Ơ thế mọi người chê bài dễ quá à? :( Thôi thế để tớ tìm bài khó hơn vậy.

Bài 1: Gọi $F$ là tập hợp các số nguyên đồng dư $p^n$, với p là 1 số nguyên tố cho trước, và n là số tự nhiên lớn hơn 0. Hãy tìm nghiệm của các phương trình sau trong $F$:

(1) $x^3+y^3 + z^3 + w^3 + xyz = 0$
(2) $w^2y+z^2w + xy^2 + x^3 = 0$
(3) $x^4 +y^4 + xz^3 = 0$
(4) $x^4 + y^4 + x^2 y^2 + x^3z$
(5) $bc x^2(z-y)+ ab z^2(x-y)+ acy^2(x-z)$, với a,b,c là số nguyên mod $p^n$.

Bài 2: Gọi $T$ là tập hợp các chuỗi số có dạng $\sum_{i\in \mathbb{Z}} a_i t^i$, trong đó $a_i \in F$, F là tập hợp các số nguyên mod $p^n$ như đã nói ở bài 1. Hãy tìm nghiệm của phương trình sau trong tập T nói trên:
$b(a-c)x^2z+c(b-a)x^2y+a(a-c)y^2z+a(b-a)yz^2+2a(b-c)xyz=0$, với a,b,c thuộc T.

Tạm thế cái đã. :D