b1. Tìm $a$ để hệ sau có nghiệm với $\forall b$:

$\left\{ \begin{array}{l}
(x^2 + 1)^a + (b^2 + 1)^y = 2 \\
a + bxy + x^2 y = 1 \\
\end{array} \right$

b2. Giải bpt:

$\log _3 (4.3^x - 1) \ge 2x + \log _3 4^{x^2 + 1} $

b3. Tìm $x $để pt sau đúng với $\forall a$:

$\log _2 (a^2 x^3 - 5a^2 x^2 + \sqrt {6 - x} ) = \log _{2 + a^2 } (3 - \sqrt {x - 1} )$

Bài này chắc là dùng đồ thị để giải thôi

Bạn có thể viết rõ ra được không?

Trong các nghiệm $(x;y)$ của bất phương trình: $\log _{x^2 + y^2 } (x + y) \ge 1$, tìm nghiệm để $(x+2y)$ max

cả 2 bài trên đều dùng phương pháp BĐT cả

Cả 2 bài này đều dùng pp hàm số thì đúng hơn. Chuyển về 1 bên là hàm đơn điệu, 1 bên là hàm hằng. Pt nếu có nghiệm thì là nghiệm duy nhất.!

Cho tam giác ABC. Tìm GTLN của: M=4cosA+5cosB+5cosC. Mọi người giúp em với!

+/Ta có:

$M = 4\cos A + 5(\cos B + \cos C) = 4\left( {1 - 2\sin ^2 \dfrac{A}{2}} \right) + 10\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} = - 8\sin ^2 \dfrac{A}{2} + 10\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} + 4$

+/ Đặt $P=M-\dfrac{57}{8}$

+/ Ta lại có:

$P = - 8\sin ^2 \dfrac{A}{2} + 10\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} + 4 - \dfrac{{57}}{8} = - 8\sin ^2 \dfrac{A}{2} + 10\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} - \dfrac{{25}}{8}$

+/ Xét P là một tam thức bậc 2 của $sin^2\dfrac{A}{2}$ và có

$\left\{ \begin{array}{l} 25\cos ^2 \dfrac{{B - C}}{2} - 25 = 25\left( {\cos ^2 \dfrac{{B - C}}{2} - 1} \right) \le 0 \\ a = - 8 < 0 \\ \end{array} \right$

Do đó $P=M-\dfrac{57}{8}\leq 0$ hay $ M \leq\dfrac{57}{8}$

+/ Dấu bằng xảy ra

$\left\{ \begin{array}{l} \cos ^2 \dfrac{{B - C}}{2} = 1 \Leftrightarrow B = C \\ \sin \dfrac{A}{2} = - \dfrac{{b'}}{{a}} = \dfrac{5}{8}\cos \dfrac{{B - C}}{2} = \dfrac{5}{8} \\ \end{array} \right$

Cho A,B,C là 3 góc 1 tam giác. CMR:
$\sin \dfrac{{A + 3B}}{2}.\sin \dfrac{{B + 3C}}{2}.\sin \dfrac{{C + 3A}}{2} \ge \sin A.\sin B.\sin C$

Có 1 số công thức tổng quát này, ai có chứng minh gọn thì giúp em với:

1. $\sin (2k + 1)A + \sin (2k + 1)B + \sin (2k + 1)C = ( - 1)^k. 4.\cos (2k + 1)\dfrac{A}{2}.\cos (2k + 1)\dfrac{B}{2}.\cos (2k + 1)\dfrac{C}{2}$

2. $\sin 2kA + \sin 2kB + \sin 2kC = ( - 1)^{k + 1} .4.\sin kA.\sin kB.\sin kC$

3.$\cos (2k + 1)A + \cos (2k + 1)B + \cos (2k + 1)C = 1 + ( - 1)^k .4.\sin (2k + 1)\dfrac{A}{2}.\sin (2k + 1)\dfrac{B}{2}.\sin (2k + 1)\dfrac{C}{2}$

4.$c{\rm{os}}2kA + c{\rm{os}}2kB + c{\rm{os}}2kC = - 1 + ( - 1)^k .4.\cos kA.\cos kB.\cos kC$

E cảm ơn!

Bài 1: Tìm a để hệ sao có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $ x \geq 4$

$\left\{\begin{\sqrt{x}+\sqrt{y}=3}\\{\sqrt{x+5}+ \sqrt{y+3} \leq a$

Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

$\left\{\begin{3x^2+2x-1<0}\\{x^3+3mx+1<0$

Em đang học về phần ứng dụng sự biến thiên tìm điều kiện có nghiệm của pt, bpt ạ, mong mọi người giúp đỡ hoặc hướng dẫn sớm, em xin cảm ơn!

Sao không ai trả lời vậy, sắp đến ngày thi giúp em với ạ!

Bài 1:

Trong (P) cho đường tròn © đường kính AB. Gọi (d) là đường thẳng vuông góc (P) tại A. Lấy S là 1 điểm trên (d), M là điểm chạy trên ©.H,K thứ tự là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SM. HK cắt BM tại I.
a. CM: AI vuông góc (SAB) và AI là tiếp tuyến của ©.
b. Khi M thay đổi trên © tìm giá trị lớn nhất diện tích tam giác AKM.
c.Chứng minh K là trực tâm tam giác SIB. Tìm điểm cách đều 5 điểm A,B,M,K,H.

Bài 2:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, SA vuông góc (ABC). Mặt (SAC) hợp với các mặt (SAB),(SBC) các góc $ \alpha$,$ \beta$. AH và AK lần lượt là các đường cao của tam giác SAC và SAB.
a. Xác định các góc $ \alpha$,$ \beta$?
b.CMR:
$SA=\dfrac{a.cos\beta}{\sqrt{-cos(\alpha+\beta).cos(\alpha-\beta)}}$

Bạn cần đề năm nào?lớp 10 hay lớp 11?

Anh ơi cho em đề lớp 11 được ko ạ? E cảm ơn!

+/Bài 2 đề đúng của nó là CMR:

$ tan{\dfrac{A}{2}}.tan{\dfrac{C}{2}}=\dfrac{1}{3}$

+/Nếu đề như vậy thì mình xin làm như sau:

Ta có a,b,c lập thành CSC :

$=>a+c=2b$

Theo định lý hàm số sin suy ra:

$sin A+sin C=2sin B$

$<=>2sin{\dfrac{A+C}{2}}.cos{\dfrac{A-C}{2}}=2sin(A+C)$

$<=>2sin{\dfrac{A+C}{2}}.cos{\dfrac{A-C}{2}}=4sin{\dfrac{A+C}{2}}.cos{\dfrac{A+C}{2}}$

$<=>cos{\dfrac{A-C}{2}}=2cos{\dfrac{A+C}{2}}$

$<=>cos{\dfrac{A}{2}}.cos{\dfrac{C}{2}}+sin{\dfrac{A}{2}}.sin{\dfrac{C}{2}}-2(cos{\dfrac{A}{2}}.cos{\dfrac{C}{2}}-sin{\dfrac{A}{2}}.sin{\dfrac{C}{2}})=0$

$<=>3sin{\dfrac{A}{2}}.sin{\dfrac{C}{2}}=cos{\dfrac{A}{2}}.cos{\dfrac{C}{2}}$

$<=>tan{\dfrac{A}{2}}.tan{\dfrac{C}{2}}=\dfrac{1}{3}$

=> đpcm.

Co bao gio chung ta nghi vi sao lai co duoc phuong trinh dac trung : ax^2 + bx + c =0 hay khong? Theo toi mot cach rat tu nhien de giai bai nay la: Toi se dua phuong trinh nay ve dang : U{n+2} - U{n+1} = (U{n+1}- U{n}) roi sau do ta dung he so bat dinh va tim , . Khi do cach giai se rat tu nhien va toi nghi trong truong hop nghiem kep ta se biet giai quyet the nao.

Nếu là nghiệm kép thì sẽ ra sao, bạn nói rõ hơn được chứ!

Khi đó $\alpha$=$\beta$ nên ta có:

$ U_{n+1}-\alpha U_n=\alpha (U_n-U_{n-1})=\alpha^n (U_1-\alpha U_0)$

Có thể biến đổi ra như trên xong rồi sẽ tìm $U_n$ như thế nào, mong giúp đỡ!

-/Như đã biết thì mọi dãy số cho dưới dạng :

$ aU_{n+1}+bU_n+cU_{n-1}=0$

đều có thể tìm được số hạng tổng quát $U_n$ nhờ tìm 2 nghiệm $\alpha;\beta$ của pt

$ax^2+bx+c=0$

-/ Khi $ \alpha $#$\beta$ thì em đã hiểu và tìm được $U_n$ nhưng khi $\alpha=\beta$ thì em chưa tìm được. (Em đã biết CTTQ nhưng làm sao dẫn đến CTTQ thì chưa tìm được)

Mọi người giúp em tìm $U_n$ trong trường hợp còn lại được ko (có nghĩa là cách dẫn đến $U_n$ như vậy chứ ko fai chỉ đưa ra kết quả^^)? Em cảm ơn!!!

Đúng ko?

x^4 - (m+1)x^2 + 2m + 1 = 0 (1)

định m để phương trình có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng

+/Đặt $ t=x^2 (t\geq0) $

$ (1) \Leftrightarrow t^2-(m+1)t+2m+1=0(2)$

+/Để pt (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt(2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt:

$ \Leftrightarrow \left{\begin{delta >0}\\{S>0}\\{P>0}$

$ \Leftrightarrow \left{\begin{m^2-6m-3>0}\\{m+1>0}\\{2m+1>0}$

$ \Leftrightarrow \left{\begin{3-2\sqrt{3}<m<3+2\sqrt{3}}\\{m>-1}\\{m>-\dfrac{1}{2}$$ \Leftrightarrow 3-2\sqrt{3}<m<3+2\sqrt{3}$

+/Gọi 2 nghiệm pt(2) là $ t_1;t_2$ và giả sử $ t_1>t_2$

+/Khi đó các nghiệm của pt(1) lần lượt từ bé đến lớn là $ -sqrt{t_2} ; \sqrt{t_1} ; \sqrt{t_1} ; \sqrt{t_2} $. Để các nghiệm này lập thành cấp số cộng thì:

$\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}=\sqrt{t_1}-(-\sqrt{t_1)$

hay $ t_2=9t_1$.

+/Lại theo định lí Viet thì:

$\left{\begin{t_1+t_2=m+1}\\{t_1t_2=2m+1}\\{t_2=9t_1}$

+/ Biến đổi hệ ta được:

$ \dfrac{(m+1)^2}{100}=\dfrac{2m+1}{9}$

$ \Leftrightarrow 9m^2-182m-91=0$

$ \Leftrightarrow \left{\begin{m_1=\dfrac{91-10\sqrt{91}}{9}\\{m_2=\dfrac{91+10\sqrt{91}}{9}}$

+/Cả 2 nghiệm đều ko thỏa mãn, vậy ko có m.

bài 1:
tìm số hạng tổng quát $(u_n)$ biết :
$u_1=x$
$aU_(n+1) =bU_n +c $
với x ; a; b; c là số thực
bài 2:
anh em nào cho cách giải ngắn ngắn 1 tí :
cho $U_1 = 7$
$U_(n+1) = -3U_n +8$
tìm số hạng tổng quát $(u_n)$
thank !

+/Bài tổng quát :

$\left{\begin{U_1=x}\\{U_{n+1}=\dfrac{b}{a}U_n+\dfrac{c}{a}} (1) $

+/Ta thêm vào 2 vế :

$ U_{n+1} + \dfrac{c}{b-a} = \dfrac{b}{a}(U_n+\dfrac{c}{b-a})$

+/ Khi đó đặt:

$ V_n=U_n+\dfrac{c}{b-a} $

$ (1) \Leftrightarrow V_{n+1}=\dfrac{b}{a}V_n$

$ \Rightarrow V_n$ là 1 cấp số nhân với công bội $ q= \dfrac{b}{a}$


+/ Mặt khác ta có :

$V_n=V_1.q^{n-1}=(U_1+\dfrac{c}{b-a}).(\dfrac{b}{a})^{n-1}=(x+\dfrac{c}{b-a}).(\dfrac{b}{a})^{n-1}$

+/Thay vào :

$ (x+\dfrac{c}{b-a}).(\dfrac{b}{a})^{n-1}=U_n+\dfrac{c}{b-a}$

$ \Rightarrow U_n= \dfrac{c}{a-b}+(x+\dfrac{c}{b-a}).(\dfrac{b}{a})^{n-1} $

+/Có bài tổng quát thì bài kia tìm được dễ dàng thôi mà. Quan trọng tìm được hệ số để cộng vào $ U_{n+1}$ thôi!

Mục 2) và 3) xin hẹn lần sau đăng tiếp

Anh ơi mục 2 và 3 là j` thế, anh viết tiếp đi anh, mục 1 thi` em biết rồi còn 2 cái kia, bài nó gợi mở và hấp dẫn quá! Anh viết tiếp đi cho mọi người còn đọc.Cảm ơn anh!

Chả hiểu gì

BUNHIACOPXKI chắc bạn học rồi:

$(\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b})[a(b+2c)+b(c+2a)+c(a+2b)]\geq(a+b+c)^2$

Từ đây do a,b,c>0 nên chuyển về đổi dấu được bất đẳng thức Svác thôi mà!! Nói cách # thì SVÁC chỉ là hệ quả trực tiếp của BUNHIACOPXKI!!!!^^.

Xin chi cho em, Phuong phap tim pt duong tron ngoai tiep tam giac khi biet pt duong thang ba canh cua tam giac do?

Khi biết PT 3 đường cạnh thì dễ dàng suy ra tọa độ 3 đỉnh tam giác.

Gọi PT đường tròn ngoại tiếp tam giác có dạng:

$ x^2+y^2+2ax+2by+c=0$

Rồi tiếp tục thay tọa độ 3 đỉnh vào ta được hệ 3 PT với 3 ẩn a,b,c. Tìm ra a,b,c là ra PT đg` tròn.

Giải hệ PT:

$\left{\begin{128x^2(4x^2-1)(8x^2-1)^2}+1-2x=0\\{-\dfrac{1}{2}<x<0}$

Một số BĐT khá hay, mời mọi người giúp em luôn:

a,Cho các số thực dương a,b,c có tổng bằng 1. CMR:

$\sum{\dfrac{a}{4b^2+1}}\geq(\sum{a\sqrt{a}})^2$

9,Cho a, b, c >0.CMR:

$\sum{\dfrac{a}{\sqrt{bc}+2a}}\leq1$

10,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR:

+) Nếu $n\geq2$ thì:

$ \dfrac{1}{x+n}+\dfrac{1}{y+n}+\dfrac{1}{z+n}\leq\dfrac{3}{1+n}$

+) Nếu $n\leq\dfrac{1}{2}$ thì:

$ \dfrac{1}{x+n}+\dfrac{1}{y+n}+\dfrac{1}{z+n}\geq\dfrac{3}{1+n}$

cm he vo ngiem
x^2+xy+y^2=4
y^2+yz+z^2=25
xy+yz+zx>10
ko bit go~ sao
phie`n ca'c ban chinh giu`m

Chứng minh hệ vô nghiệm:
$\left{\begin{x^2+xy+y^2=4}\\ {y^2+yz+z^2=25}\\{xy+yz+zx>10}$

@chauzu:Mình sửa lại oy` đấy bạn xem đúng ko, bạn xem mấy topic trên diễn đàn mà học gõ TEX đi.

cảm ơn bạn rất nhiều. Nhân tiện bạn cho mình hỏi CAUCHY-SCHWARD mà bạn nói có phải là BDT cosi không hay là BDT bunhia thế? Mình thật sự chả biết gì . Nếu là bunhia thì gay to vì mình biết mỗi cosi thôi hic.

Đó chính là Bunhia đó bạn, bạn nên biết về nó vì nó có nhiều ứng dụng rất hay và có thế Cm hoàn toàn chỉ dùng BĐT Côsi!!!!!!!Chúc bạn thành công!

Cho a,b,c >0 và abc = 1 cm:
$ \dfrac{a}{(ab+a+1)^2}$ + $ \dfrac{b}{(bc+b+1)^2}$ + $ \dfrac{c}{(ca+a+1)^2}$ $ \dfrac{1}{(a+b+c)}$

Bài này bạn chỉ cần nhớ một đẳng thức là ra:

$\sum{\dfrac{a}{ab+a+1}}=1$ với $abc=1$

Chứng minh cái này chỉ cần đặt : $a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}$ rồi thay vào là ra.

Mặt khác theo CAUCHY-SCHWARD ta có:

$(a+b+c)[\dfrac{a}{(ab+a+1)^2}$ + $ \dfrac{b}{(bc+b+1)^2}$ + $ \dfrac{c}{(ca+a+1)^2}]\geq (\sum{\dfrac{a}{ab+a+1}})^2=1$.

Suy ra đpcm. Đạt bằng khi a=b=c=1.