Đến nội dung

Mr handsome ugly nội dung

Có 53 mục bởi Mr handsome ugly (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#742120 CMR: tồn tại duy nhất $(u_{1},..,u_{H})$ và...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 13-11-2023 - 21:52 trong Số học

Cho $n$ là một số nguyên dương và phân tích thừa số nguyên tố của $n$ là $n=\prod_{i=1}^{f}p_{i}^{k_{i}}$ biết $k_{i}$ là nguyên dương với mọi i nguyên dương thoả $f\geq i\geq 1$ và f cũng nguyên dương. Đặt $d=[\varphi (p_{1}^{k_{1}}),\varphi (p_{2}^{k_{2}}),...,\varphi (p_{f}^{k_{f}})]$ và phân tích thừa số nguyên tố của $d$ là $\prod_{t=1}^{H}q_{t}^{m_{t}}$ biết $m_{t}$ là nguyên dương với mọi t nguyên dương thoả $H\geq t\geq 1$ và f cũng nguyên dương. Cho $a$ là một số nguyên dương thoả $a$ nguyên tố cùng nhau với $n$. Chứng minh rằng luôn tồn tại và duy nhất hai bộ số nguyên dương $(u_{1},..,u_{H})$ và $(L_{1},..,L_{H})$ sao cho $a\equiv \prod_{t=1}^{H}u_{t}^{L_{t}}$ trong đó $ord_{n}(u_{t})=q_{t}^{m_{t}}$ và $L_{t}\mid q_{t}^{m_{t}}$ với mọi t thoả $H\geq t\geq 1$ .

 

*Câu hỏi ngoài lề: Mọi người cho em hỏi theo như bài toán trên thì tập tất cả các phần tử u thoả $ord_{n}(a)=q_{t}^{m_{t}}$ với mọi t thoả t $H\geq t\geq 1$ có phải tập sinh của nhóm nhân các phần tử thuộc $\mathbb{Z}_{n}$ nguyên tố cùng nhau với n không ạ ?




#730613 CM $\frac{a}{b}$ là "không biểu diễn đ...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 22-09-2021 - 11:38 trong Số học

Em có tìm thấy hướng đi này trên mạng: ta có với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và không biểu diễn được trong hệ cơ số n thì $\frac{a}{b}= \frac{a}{b}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{r}{n^{gk}}$ với r là chu kì tuần hoàn của phần thập phân của  $\frac{a}{b}$ khi biểu diễn qua hệ cơ số n và g là số chữ số của r khi biễu diễn qua hệ cơ số n. Gọi $n^{g}=x$ ta được $\frac{a}{b}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{r}{x^{k}}= r\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{x^{k}}$

Ta dùng kết quả quen thuộc sau $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{n^{k}}=\frac{1}{n-1}$

vậy $\frac{a}{b}=\frac{r}{x-1}=\frac{r}{n^{g}-1}$. Như vậy để tìm $\frac{a}{b}$ là không biểu diễn được trong hệ cơ số n thì chỉ cần a;b sao cho tồn tại g và r thỏa $\frac{a}{b}=\frac{r}{n^{g}-1}$. Từ đây ta dễ dàng giải quyết tất cả các vấn đề trong bài toán trên.

Có một thiếu sót cho bài trên; xin bổ sung thêm điều kiện là $\frac{a}{b}$ phải nhỏ hơn 1 và chỉ dùng cho một vài phân số




#728361 Có tồn tại 2 đa thức $G(x)$; $Q(x)$ thuộc $\mat...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 23-06-2021 - 11:40 trong Đa thức

Anh Bản bớt nóng :D Bạn này mới làm quen với đa thức, chưa hệ thống được kiến thức nên hỏi vu vơ thôi.

Giờ em mới hiểu ra; cảm ơn các anh; anh perfectstrong có thể xóa TOPIC giúp em được không ạ.




#728301 Có tồn tại 2 đa thức $G(x)$; $Q(x)$ thuộc $\mat...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 20-06-2021 - 22:04 trong Đa thức

Bài đăng hỏi tồn tại T và L không thì mình chỉ ra rồi đó.
P/S: mình không hiểu tại sao bạn lại đi đến câu hỏi này vì nó không liên quan gì đến đa thức ở đây. Mình đoán là bạn đọc một ai đó áp dụng toán cao cấp vào toán sơ cấp, vì không hiểu từ đâu mà ra hoặc không hiểu lý thuyết, nên không biết câu hỏi nào có nghĩa. Bây giờ bạn có G+Q= P mod q thì tất nhiên phải có L và T sao cho L=G mod q, T=Q mod q bởi vì nó chính là định nghĩa! G+Q=P mod q theo định nghĩa thì tồn tại H sao cho G+Q=P+qH. Vậy thì không phải chọn L=G, T=Q-qH là xong à. Nhưng mình muốn nhấn mạnh rằng đây không phải một bài toán. Nó không giúp giải quyết bất cứ vấn đề gì cả. Mọi bài toán thuần túy về đa thức mà bạn được học cơ bản vẫn chỉ là những vấn đề như khả quy, bất khả quy, nghiệm của đa thức. Lý thuyết thêm vào cũng chỉ để phục vụ mục đích đó thôi chứ không thể thay đổi bộ mặt của vấn đề được. Câu hỏi của bạn không liên quan đến đa thức và học sinh cấp 2 cũng trả lời được vì nó y hệt bạn hỏi cho hai số x,y,z nếu có x+y=z mod q thì có x',y' sao cho x'+y'=z và x=x' mod q, y=y' mod q và khi học thặng dư đủ lâu thì chắc ai cũng thấy điều đó hiển nhiên, và thậm chí bây giờ mình phát hiện ra nó còn chẳng liên quan gì tới tính nguyên tố của q ở đây. Mình xin lỗi không thể thể hiện thái độ khác được bạn đang đặt câu hỏi về sự tồn tại của một thứ hiển nhiên. Trong nhiều năm chất lượng của diễn đàn không cao nhưng chắc chắn mục đa thức cũng không thể xuất hiện câu hỏi thế này được.

Dạ vâng thực lòng xin lỗi anh em có một vài bất cẩn khi đánh đề dẫn đến việc nhầm lẫn; bản thân em cũng rất tệ trong việc trình bày một ý tưởng thành một bài toán hoàn chỉnh ( em đã sửa lại đề ạ) nên em xin phép trình bày lại ý tưởng của mình: trong lúc học về đa thức bất khả quy thì có một tính chất như sau: Cho q là số nguyên tố; P(x) là một đa thức hệ số nguyên và nếu có hai đa thức G(x) và Q(x) sao cho $G(x)+Q(x)=P(x)$ thì $\overline{P(x)}_{q}=\overline{G(x)}_{q}+\overline{Q(x)}_{q}$. Thì em thắc mắc Liệu nếu lật ngược tính chất trên lại:Lúc đầu ta cho 1 đa thức P(x) cố định trước; tiếp theo cho hai đa thức L(x) và T(x) đều có hệ số nguyên bất kì sao cho $\overline{P(x)}_{q}=T(x)+L(x)$ thì liệu có luôn tồn tại hai đa thức G(x) và Q(x) thỏa G(x)+Q(x)=P(x) nhưng $T(x)\neq \overline{G(x)}_{q}; \overline{Q(x)}_{q}$ và tương tự $L(x)\neq \overline{G(x)}_{q}; \overline{Q(x)}_{q}$. Không rõ cách trình bày câu hỏi của em ở trên có gây nhầm lẫn gì không nếu có sai sót mong anh góp ý ạ; em xin cảm ơn!




#728283 Có tồn tại 2 đa thức $G(x)$; $Q(x)$ thuộc $\mat...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 20-06-2021 - 13:12 trong Đa thức

Có vấn đề gì khi lấy G=L, Q=T?

anh có thể giải tích rõ giúp em hơn được không ạ; em xin cảm ơn :)




#728282 Có tồn tại 2 đa thức $G(x)$; $Q(x)$ thuộc $\mat...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 20-06-2021 - 13:09 trong Đa thức

Lấy $G=1, Q=1-q, P=0$ là không có luôn rồi (xét $Q=\overline{R}_q$)?! :wacko: Đề nó cứ kỳ kỳ sao ý :wacko:

Em nghĩ nên đổi đề thành tìm đa thúc P(x) và số nguyên tố q  thành sẽ hợp lí hơn  :D ; không biết anh nghĩ sao?




#728216 Có tồn tại 2 đa thức $G(x)$; $Q(x)$ thuộc $\mat...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 17-06-2021 - 12:07 trong Đa thức

Cho một đa thức $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ và q là một số nguyên tố; ta kí hiệu $\overline{P(x)}_{q}$là đa thức $P(x)$ sau khi rút gọn các hệ số theo modulo q. Liệu có tồn tại 2 đa thức $G(x)$ và $Q(x)$ thuộc $\mathbb{Z}[x]$ thỏa $G(x)+Q(x)=\overline{P(x)}_{q}$ sao cho không tồn tại hai đa thức $T(x)$ và $L(x)$ thuộc $\mathbb{Z}[x]$ thỏa $L(x)+T(x)=P(x)$ và $G(x)\neq \overline{L(x)}_{q}$ và $Q(x)\neq \overline{T(x)}_{q}$ với mỗi đa thức $P(x)$ và số nguyên tố $q$ cho trước




#728113 Khảo sát dãy $u_{n}=\sum_{i=1}^{n}...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 14-06-2021 - 12:54 trong Dãy số - Giới hạn

Hãy tính $S=\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{p_{i}}$ với $p_{i}$ là số nguyên tố thứ $i$




#728083 CMR: mọi đa thức với hệ số thực và có bậc lớn hơn 2 đều khả quy trên $...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 13-06-2021 - 15:26 trong Đa thức

Theo định lý cơ bản của đại số thì mọi đa thức đều khả quy trên $\mathbb{C}[x]$. Do đó mọi đa thức $P(x)$ trên $\mathbb{R}[x]$ đều có thể viết dưới dạng $a(x-x_1)\ldots (x-x_n)$.

Tiếp theo, chỉ cần chứng minh rằng nếu $P(x)$ nhận $z_0$ phức là nghiệm thì cũng nhận $\overline{z_0}$ là nghiệm (*).

Do đó có thể nhóm các nghiệm phức thành cặp $(z_0; \overline{z_0})$.

Và khi đó chứng minh $(x-z_0)(x-\overline{z_0}) \in \mathbb{R}[x]$. Vậy là xong :D

 

Quan trọng là cái nhận xét (*) :)

$\overline{z_0}$  là gì vậy anh  :))




#728076 CMR: mọi đa thức với hệ số thực và có bậc lớn hơn 2 đều khả quy trên $...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 13-06-2021 - 13:58 trong Đa thức

Chứng minh rằng mọi đa thức với hệ số thực và có bậc lớn hơn 2 đều khả quy trên $\mathbb{R}[x]$.




#727929 Tìm tất cả các số $n$ nguyên dương sao cho $[\sqrt{n...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 07-06-2021 - 20:01 trong Số học

1) Nếu đặt $\lfloor \sqrt{n}\rfloor =x$ thì tồn tại số tự nhiên $k$ thỏa mãn $n=x^{2}+k$. Do tính lớn nhất của $x$ nên $0\leq k\leq 2x$.

Ta chỉ cần tìm điều kiện của $k$ là được.

Nếu $k=2x$ thì $n+1=(x+1)^{2}$ nên $\lfloor \sqrt{n+1}\rfloor>\lfloor \sqrt{n}\rfloor$, không thỏa.

Vậy $0\leq k\leq 2x-1$ thỏa mãn đề bài. 

2) $0\leq k\leq 2x-k$

Bạn giải thích lại giúp mình đoạn in đỏ được không ?




#727924 Tìm tất cả các số $n$ nguyên dương sao cho $[\sqrt{n...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 07-06-2021 - 18:15 trong Số học

1) Tìm tất cả các số $n$ nguyên dương sao cho $[\sqrt{n}]=[\sqrt{n+1}]$ biết rằng $[x]$  là kí hiệu của phần nguyên của số thực $x$ 

2) Cho $d$ là một số nguyên dương lớn hơn 1. Hỏi $d$ phải có tính chất gì để tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa $[\sqrt{n}]=[\sqrt{n+d}]$.




#727505 [TOPIC] ÔN TẬP HÌNH HỌC THI VÀO THPT CHUYÊN 2020-2021

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 23-05-2021 - 17:06 trong Hình học

Bài 44: Cho một góc $\widehat{xOy}$ trên một mặt phẳng ( góc này nhỏ hơn 180 độ) và một điểm A nằm trong góc này. Chứng minh rằng luôn tồn tại điểm B và C biết B thuộc dường thẳng 0x và C thuộc dường thẳng Oy sao cho A là trung điểm BC và liệu có tồn tại vô hạn các cặp điểm (B;C) khác nhau như vậy không.

 

P/S: Bạn nào vẽ hình giúp anh với; anh không biết vẽ bằng máy tính :((




#727391 Định lý Fermat Euler về tổng hai bình phương

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 21-05-2021 - 12:42 trong Vẻ đẹp Toán học - BOM



Mình chỉ biết cách chứng minh dùng vành các số nguyên trong $\mathbb{Q}[i]$. Không rõ bạn có muốn tham khảo.

Anh có thể đăng lên cho mọi người tham khảo được không ạ ( thực ra là em tham khảo  :D )

Nếu được mong bạn nào đó đăng lên bài chứng minh định lý jakobi về số cách phân tích một số nguyên dương thành tổng của 2 số chính phương; mình thấy trong sách có chứng minh bằng $\mathbb{Z}[i]$ nhưng rất khó hiểu mong bạn nào chứng minh lại một cách tường minh và rõ ràng; dễ hiểu với một học sinh cấp 3 chưa học đến vành trường :))




#727338 Thảo luận lý thuyết tập hợp

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 20-05-2021 - 22:09 trong Tài liệu và chuyên đề Tôpô

Em mong có ai đó có thể đăng bài khởi động topic này; bản thân em đang rất mong chờ về nó!




#727284 $\sum_{k=1}^{p-1}\frac{k(x_{_...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 19-05-2021 - 16:46 trong Số học

Câu a thì là phép nghịch đảo modula quen thuộc ( cái này bạn search google sẽ có) nhưng mình không rõ lắm về tính duy nhất của $x_{k}$ cái này bạn google xem lại giúp mình.

Câu b mình nghĩ đề nên là $\sum_{1}^{p-1}\frac{kx_{k}-1}{p}\equiv \frac{p-1}{2}(modp)$ ; câu này mình không biết làm.




#726687 chứng minh rằng với n là hợp số và n lớn hơn 4 thì $(n-1)!$ chi...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 08-05-2021 - 20:16 trong Số học

Nếu $n=pq$ với $p,q>1$ thì $p,q\leq \frac{n}{2}<n-1$ nên cả $p$ và $q$ đều có mặt trong $\lbrace 1,\ldots ,n-1\rbrace$ nên $n|(n-1)!$. $\square$

Làm sao chứng minh $p;q\leq \frac{n}{2}$ được vậy bạn.




#726673 chứng minh rằng với n là hợp số và n lớn hơn 4 thì $(n-1)!$ chi...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 08-05-2021 - 18:18 trong Số học

Xét $n$ có 2 ước nguyên tố trở lên; ta phân tích $n$ thành dãy thừa số nguyên tố $p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{y}^{a_{y}}$ với $y$ là số ước nguyên tố của n và $p_{1};p_{2};...;p_{y}$ là các ước nguyên tố của $n$ đôi một khác nhau. Ta dễ dàng thấy $p_{i}^{a_{i}}$ với $i$ nguyên dương bất kì và $i\leq y$ mà $p_{i}^{a_{i}}\neq p_{j}^{a_{j}}$ với i khác $j$và $j$ nguyên dương $(j<i)$ nên tập hợp các số ${p_{1}^{a_{1}};p_{2}^{a_{2}};...;p_{y}^{a_{y}}}$ là một tập hập con của tập hợp ${1;2;...;n-1}$. Từ đây suy ra ĐPCM.

 Xét $n$ có một ước nguyên tố $p$ thì $n$ có dạng $p^{k}$ với $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1. Tương tự như trên ta cũng có $p^{k-1}<n$ và $p<n$ mà $p$ và $p^{k-1}$ khác nhau nên suy ra ĐPCM.




#726651 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 08-05-2021 - 11:37 trong Số học

bài 128 là một bài khá lạ và nó thuộc về cấp 3 nên mình xin đưa ra một gợi ý như sau: Sử dụng tính chất nếu $a$ nguyên tố cùng nhau với $n$ thì $n-a$ cũng nguyên tố cùng nhau với $n$ .

 

Những bài còn lại vẫn thuộc về mảng kiến thức của THCS nên mình xin phép không đưa ra gợi ý nhưng xin được nói về nguồn của các bài đó: bài 129 là câu số học trong đề thi toán vòng 2 của trường chuyên PBC còn bài 133 là một bài thuộc mục toán THCS của tạp chí PI ( mình không nhớ rõ là số mấy); bài 132 là một bài cũ trong TOPIC ôn số học chuyên năm học 2019-2020.




#726572 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 07-05-2021 - 11:33 trong Số học

Những bài tiếp theo cho TOPIC đây các bạn! 

 

Bài 127: Cho $M=a^{2}+3a+1$ với $a$ nguyên dương 

a) Chứng minh rằng mọi ước số của $M$ đều lẻ

b) Tìm $a$ sao cho M chia hết cho 5. Với giá trị nào thì $M$ là lũy thừa của 5 

 

Bài 128: Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn 5 . Chứng minh rằng số các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $n$ và không vượt quá $n$ luôn là số chẵn ( tính luôn cả số 1) .

 

Bài 129: Tìm các số nguyên $x;y$ sao cho $xy+2\mid x^{2}-2$

 

Bài 130: Cho $a;b$ là các số nguyên dương thỏa $ab\mid a^{2}+b^{2}$  . Tìm tất cả giá trị có thể có của $\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}$

*Nếu được hãy giải cho trường hợp $a;b$ nguyên 

 

Bài 131: Số nguyên dương $n$ được gọi là điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước nguyên dương của nó ( kể cả $1$ và $n$ ) đúng bằng $(n+3)^{2}$

a) Chứng minh rằng 287 là số điều hòa 

b) Chứng minh rằng số $n=p^{3}$ với $p$ là số nguyên tố lẻ không phải là số điều hòa

c) Chứng minh rằng nếu $n=pq$ với $p;q$ là 2 số nguyên tố là số điều hòa thì $n+2$ là số chính phương 

 

Bài 132: Tìm các số $x;y$ nguyên dương sao cho $(y-1)!+1=y^{x}$

 

Bài 133: Tìm số $n$ nguyên dương lớn hơn 1 bé nhất sao cho với mọi số thực $x\geq 2$ ; nếu $[x^{2}];[x^{3}];...; [x^{n}]$ là số chính phương thì $[x]$ cũng là số chính phương biết kí hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất sao cho $[x]<x$.




#726456 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 04-05-2021 - 18:48 trong Số học

Góp cho các bạn một bài hay nhưng dễ: 

 

Bài 125: Hỏi có bao nhiêu cách phân tích số 2019 thành tổng của các số tự nhiên liên tiếp.

*Nếu được hãy giải quyết luôn trường hợp tổng quát: Hỏi có bao nhiêu cách phân tích số nguyên dương $n$ thành tổng của các số tự nhiên liên tiếp.

 

P/S: Vì dạo này mình khá bận nên không đăng bài nhiều cho các bạn được; mong thời gian tới các bạn tự quản lí TOPIC mình sẽ cố gắng hết sức đăng bài khi rảnh !




#726452 Chứng minh rằng với mỗi số thực $k\in (0;1)$ luôn tồn tại a; b...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 04-05-2021 - 17:53 trong Hàm số - Đạo hàm

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $[0;1]$ và $f(0)=f(1)=0$ và $f(x)>0\forall x\in (0;1)$ . Chứng minh rằng với mỗi số thực $k\in (0;1)$ thì luôn tồn tại hai số thực a và b biết 1>a;b>0 sao cho $f(a)=f(b)$ và $\left | a-b \right |=k$




#726104 CM: $\exists x;y\in \mathbb{Z}:x^{2}...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 28-04-2021 - 18:14 trong Số học

Cho p là một số nguyên tố lẻ và a là một số nguyên dương không chia hết cho p. Chứng minh rằng với mỗi số $a$ bất kì cố định thì luôn tồn tại 2 số tự nhiên $x$ và $y$ sao cho $x^{2}+y^{2}\equiv a(modp)$    




#725878 Tìm tất cả $n\in \mathbb{N}$ thỏa bất kì số chí...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 24-04-2021 - 15:07 trong Số học

Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho với bất kì số chính phương nào khi chia cho $n$ đều sẽ nhận được số dư là một số chính phương.

 

P/S: Nếu thay đề bài từ chính phương thành lũy thừa của một số bất kì thì liệu có giải quyết được không ?




#725830 Tim Min của $a^{x}-b^{y}$ khi biết $a...

Đã gửi bởi Mr handsome ugly on 23-04-2021 - 22:10 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Có thể liên quan tới định lý Catalan-Mihăilescu:

https://en.wikipedia...an's_conjecture

Bài này nếu dùng những công cụ của toán cao cấp thì có giải quyết được không anh ạ  :D ?