Bài 4:
Ta chứng minh với mọi $n\in\mathbb{N*}$ phương trình $a^2+3b^2=7^n$ (*) luôn có nghiệm nguyên dương.
Với n = 1 ta có $a=2;b=1$.
Giả sử với n; $n\in\mathbb{N}*$ phương trình (*) có hai nghiệm a, b.
Ta có $7^{n+1}=7(a^2+3b^2)=(2a+3b)^2+3(a-2b)^2$.
Do đó phương trình (*) cũng có nghiệm nguyên dương với n + 1.
Vậy ta có đpcm.
Ý tưởng bạn đúng nhưng chưa chặt chẽ bởi nếu áp dụng như bạn thì đến $n=2$ là có vấn đề.
Bạn nên bổ sung thêm đẳng thức $7^{n+1}=7(a^2+3b^2)=(2a+3b)^2+3(a-2b)^2=(2a-3b)^2+3(a+2b)^2$
Rồi dựa theo tính chất của $a,b$ để lựa chọn khai triển thích hợp.