mấy bài này chỉ là những câu kiểm tra xem bạn có hiểu lý thuyết một chút không thôi mà.

Tuyệt hảo.

À em thấy anh trích câu của Phật mà Gandhi hay dùng. Nhưng em sợ rằng anh chưa hiểu câu đó, ít nhất là áp dụng trong toán học. Để em viết lại nó hộ anh nghen:

There is no way to great math. Great Math is just the way. Just do it!

nô nô em về làm trong bộ phận đầu tư và chứng khoán trong ngân hàng thôi anh, cũng chẳng được nhiều tiền như anh nghĩ đâu hihi. Em bít trí tưởng tượng của em có hạn, học nữa cũng thế thôi à. Ban đầu em dzào diễn đàn đọc thấy anh viết cũng hay nhưng mà lâu ngày dần nhận ra anh bức xúc vấn đề danh hiệu quá, sinh ra ngày càng lẩn thẩn như đứa bé mới lớn em bùn lắm.

Anh ơi anh đừng lấy các tấm gương như Einstein, Grothendieck ra để phấn đấu nữa nghen, cả dân Pháp dân Mỹ em quen cũng phải nói rằng đó là những trường hợp ngoại lệ, giống như Gisele Bundchen vậy đó - xác xuất khoảng 1 phần tỉ mới có một người có những tỉ lệ cơ thể như thế. Người Việtnam chúng ta trời sinh ra đã vậy, như con gái chúng em có bao giờ hy vọng có ai có được tỉ lệ cơ thể như chị Gisele đâu. Có những giấc mơ không bao giờ thành hiện thực mà anh hihihi.

Dạo này trong diễn đàn em thấy có anh bị mắc chứng bệnh vĩ cuồnng, học thì ít mà mơ mộng bắt chước Einstein, Grothendieck định về quê làm bưu điện mộng tới ngày phát minh ra công trình ri rỉ rì ri cái rì rất khíp hihi. Em cho đây là căn bệnh vĩ cuồng- dấu hịu của tuổi mới lớn - đáng để coi là một chiện hài hước nên mở chủ đề ở quán này. Mời các bạn và các em thiếu nhi tham gia bày tỏ í kín.

cuối năm em về VN đi làm ngân hàng rùi, không phải vì cũng có giấc mơ vĩ cuồng mà vì bố mẹ giục con gái lớn phải đi lấy chồng phải bít kím tiền tự lo cho cuộc sống của em thui. Bùn lắm nhưng làm sao được huhuhu.

Em yêu Poincare cơ.

không không, lời giải của Kummer thì nói làm gì nữa - tự chứng minh ra như Kummer như vậy thì giỏi quá rồi.

Tôi xin lỗi.

String với DG là kỷ niệm đẹp còn thực tế là tôi phải lo cho cuộc sống bản thân mình mà ở VN thì làm gì có nhiều chỗ cho đứa bất tài như tôi loay hoay làm String với DG. Tôi kể thật kỷ niệm buồn là advisor của tôi đã trách tôi không tìm cách độc lập làm một cái gì đó, dù nhỏ nhoi như là tự chứng minh một lemma tự độc lập nghiên cứu từ một hướng nhỏ mà chỉ chăm chăm học cho nhiều môn. May mà trước đây tôi nghe lời bạn khuyên học cả toán kinh tế nên giờ mới có lối thoát.

Ông Varadhan là người rất dễ chịu, tôi đã từng nghe 2 buổi thuyết trình của ông ấy. Vậy là càng ngày càng nhiều giải thưởng được trao cho các ngành toán ứng dụng hihi. Tôi cũng đang chuyển dần sang làm toán ứng dụng để cuối năm nay về VN làm cho ngân hàng rồi.

^__^ hihi tui thấy hay lém, cindy hát nhiều lên hén ^^

Hihi mình rất yêu nhạc của anh Eminem, mình thấy lời nhạc của anh ấy thật hay. Có bạn nào cũng là fan của anh Eminem ở đây không ạ?

To leoteo: leoteo nói thế thì tôi biết tôi nhầm. To AL: hình vi phân và string theory là ngành tôi học- cách tiếp cận của tôi đi từ vật lý cho nên không hiểu tác dụng của hhds vào nó mấy, AL thấy có gì không đúng thì sửa sai hộ cho.

Erdos và Selberg cùng lúc độc lập chứng minh được định lý về phân bố các số nguyên tố nhưng Selberg nhận Fields còn Erdos thì không. Có thể do cách giải của Erdos dùng các lý thuyết đơn giản hơn cho nên không làm ưng ý các nhà toán học trao giải hồi đó chăng? Dù không được Fields, nhưng Erdos vẫn được coi là ông tổ của toán rời rạc - tức là bao gồm nhiều thứ như toán tổ hợp, toán đồ thị, lý thuyết số giải tích, lý thuyết số tổ hợp .. và nói chung ông ấy có vị trí tương đối cao trong lịch sử toán học thế kỷ 20, có thể nói là trong top 20, dù người này đồng ý người kia không. Khi tham khảo các công trình của Terence Tao, tôi thấy một phần lớn các công trình của Terence Tao đi theo hướng Erdos.

Điểm đáng khâm phục nhất ở Erdos ngoài tài năng toán học trời cho của ông ấy, là tình yêu (có thể mù quáng) và ý chí làm việc phi thường có một không hai trong lịch sử toán học. Về điểm này, mỗi khi nhìn thấy cái tên Erdos tôi vẫn phải ngả mũ kính chào.

Về bài toán Fermat tôi thấy có hai trường hợp n=3 và n=4 có thể giải được với các bạn đã học qua đại số cho nên tôi nêu nó ra trong box Đại số và Lý thuyết số. Mời các bạn tham gia tìm cách giải để hiểu rõ hơn một chút lịch sử phát triển từ số học lên đại số.

Cuốn hạng nặng về Inverse Galois Theory hiện nay là cuốn này, của Malle, Matzat:

http://www.amazon.co...s/dp/3540628908

Nếu bạn muốn có kiến thức vỡ lòng đi từ Galois theory trở đi cho tới Inverse Galois Theory thì nên đọc cuốn này, của Escofier:

http://www.amazon.co...P...3876&sr=1-6

Còn cuốn Galois theory phổ biến nhất là cuốn này, của Stewart:

http://www.amazon.co...-...3876&sr=1-1

Tôi không rõ bản mới (3.Edition) của Stewart có nói về Inverse Galois Theory không, còn bản cũ thì không có.

Mời các bạn giải giúp bài này (dùng Algebra, nhưng không phải lý thuyết Galois):

Chứng minh bài toán Fermat cho trường hợp n=3 (và 4).
Tức là hãy chứng minh phương trình x³ + y³ = z³ không có nghiệm nguyên.

Tôi nghĩ vấn đề ở chỗ chúng ta không có được định nghĩa chung về những thuật ngữ cơ bản như thế nào là hình học, thế nào là ý nghĩa và tính chất hình học, cho nên chẳng đi đến đâu. Có những cái tôi coi là kết quả đại số thì AL gọi là hình học chẳng hạn. Thôi tranh luận kiểu này mất công.

Điểm crazy của cái gọi là ý nghĩa hình học của các elliptic curves chính là ở chỗ đó. Trong chứng minh Fermat của Wiles - các elliptic curves chả có ý nghĩa hình học cụ thể nào cả, mà chỉ có ý nghĩa đại số. Các elliptic curves cá biệt chả có ý nghĩa gì và việc xét nó trên các trường hữu hạn và dùng lý thuyết Galois, xét tính chất nhóm của nó chẳng phải toàn là tính chất đại số thì còn là cái gì? Chưa kể khi Wiles chứng minh các semistable elliptic curves chỉ là các modular forms là đã đưa các curves về giải tích và số học rồi còn gì?.
Ngày xưa tôi nhớ có hai nhà toán học nói chuyện với nhau- một người làm hình học vi phân, người còn lại làm hình học đại số số học. Sau khi nghe nhà hình học đại số trình bày về các kết quả hình học đại số trên các trường hữu hạn, nhà hình học vi phân mới hỏi rằng: thế thực ra ngành của ông nghiên cứu hình học ở chỗ nào? Nhà hình học đại số đã trả lời rằng: ngành của tôi nghiên cứu hình học ở chỗ là các kết quả trên trường hữu hạn cũng đúng trên trường số phức. Hình học trong hình học đại số là hình học phức. Đến đó nhà hình học vi phân mới chịu đồng ý là hình học đại số có hình học.
Rốt cục, tôi cho rằng ý nghĩa hình học trong hình học đại số số học là cái gì đó hoang tưởng. Bản thân việc coi một Scheme bất kỳ như một đối tượng hình học đã là một sự gượng ép đại số vào hình học, cho dù có thể mổ xẻ một curve như một scheme đi chăng nữa thì cái làm cho curve đó trở thành một scheme không phải là tính chất hình học của nó, mà là tính chất đại số của nó. Sự tổng quát hóa hình học của Grothendieck thật ra đã làm mất đi hình học lần thứ 2.

Cái Calabi-Yau-1-fold là cái chẳng có gì thực sự quan trọng cả. Cách đây ít lâu tôi nhớ có anh nào đó người Đức khi muốn tấn công giả thuyết gương đồng điều của Kontsevich đã đi làm một việc là trình bày cụ thể hóa cái 1-fold này ra. Nhưng đó là kiểu làm toán tay to. Ý nghĩa hình học của 1-fold tôi thấy chẳng có ý nghĩa gì ghê gớm hệ trọng đối với các quintic three-fold mà người ta cần trong các đa tạp Calabi-Yau mô tả lý thuyết dây. Từ 1-fold tới 3-fold chẳng khác nào mặt đất với bầu trời.

To AL: tôi chẳng hiểu ngày nay các elliptic curves có tính chất hình học quan trọng gì ngoài tính chất đại số của nó. Ví dụ tính chất nhóm giao hoán người ta định nghĩa trên nó (thật ra tính associative của nhóm giao hoán trên các elliptic curves là thứ khó định nghĩa nhất và khá lằng nhằng- nếu tôi không nhầm thì trong những năm 70-80 người ta có dùng computer để viết thuật toán cho phần này. Tôi không nhớ rõ lắm nhưng nếu cần sẽ tra cứu lại cẩn thận). Nhờ AL mở rộng tầm mắt hộ cho tôi về sự quan trọng của tính chất hình học của những elliptic curves cụ thể với.

Yes, tôi đồng ý. Lịch sử không dạy cho chúng ta được mọi thứ, vì lịch sử là những thứ ai cũng biết (tất nhiên nếu họ đọc). Những thứ ai cũng đã biết- đã bắt chước theo thì khó đến lượt những người mới có thể dùng để tạo ra những cái mới khác được. Như ý tưởng về pullback khi đã được người đầu tiên dùng trong lý thuyết hàm, sẽ lập tức được người khác mượn ý tưởng để dùng trong lý thuyết phạm trù, rồi người tiếp theo sẽ nhét vào trong các lý thuyết khác nữa. Đến thế hệ chúng ta, đừng hòng dùng được chúng để làm được cái gì kiểu Serre dùng lý thuyết phổ cho topo đại số, hhds. Nếu làm kiểu đó, cũng chỉ trát được thêm tí màu xanh đỏ cho một viên gạch trên bức tường, chứ đừng hòng ghép được viên gạch nào vào bức tường. Vì vậy, kiến thức là rất cần nhưng ý tưởng (nhiều khi ý tưởng cũng chính là sự may mắn) mới quyết định chuyện cao thấp. Tôi quen đầy vị là trợ giảng, trợ lý có kiến thức sâu, hiểu biết rất rộng về các ngành toán cao cấp (tôi không thích dùng từ quí tộc- một từ tôi cho là không có chỗ đứng trong khoa học) nhưng chẳng bao giờ trở thành một vị giáo sư. Và tất nhiên là có vô số các vị trẻ măng, kiến thức thiếu mảng này mảng kia nhưng đã trở thành giáo sư.

Với lại tôi tin rằng trong tương lai, dù TLCT hay Kaka, AL làm về cái gì đi nữa, sẽ đến lúc tất cả cùng hướng về một thứ hoặc làm một số thứ có liên quan đến nhau. Hiện nay toán học đi theo lối này- nó giống như một cơn lốc xoáy và chúng ta chỉ là những ngọn cỏ trong cơn lốc xoáy ấy. Sẽ đến lúc gặp nhau ở tâm cả. Đừng lo!

Vâng, tôi cũng đồng ý rằng các ngành hình học được coi là toán cao cấp, mặc dù bản thân trong các ngành đó, chả còn cái gì thật sự là hình học nữa. Công cụ không phải giải tích thì là đại số, như các alg. curves dù đặc biệt đến mấy cũng chẳng có ý nghĩa gì, chỉ có tính chất abelian group của nó có ý nghĩa. Chắc để cho đẹp, cho hình tượng.
hy vọng là AL đã đọc tiểu sử Einstein thời ông ấy còn nhỏ, trẻ và hồi ông ấy học ở ETH Zurich cũng tiểu sử Grothendieck khi ông ấy còn nhỏ, trẻ và hồi học ở Monpellier thế nào. Nếu không, thì tôi có thể kể một chút như sau:

Theo tôi biết thì khi còn học ở ETH Zurich (theo hệ như kiểu đại học tại chức ngày nay) Einstein không bao giờ là một sinh viên xuất sắc, vì hoặc và một phần thời gian không nhỏ ông ấy học ở ETH Zurich là dành cho những lĩnh vực chẳng liên quan đến vật lý tí nào- như xã hội học, tâm lý học, triết học, âm nhạc. Khi tốt nghiệp, Einstein là sinh viên điểm thấp thứ 4 trong số 5 sinh viên ngành vật lý tốt nghiệp năm đó- (người đứng thứ năm về sau trở thành vợ ông ấy), và do đó, đã không thể xin được làm trợ lý hoặc nghiên cứu sinh của bất cứ giáo sư vật lý nào khắp châu Âu thời đó (Einstein đã gửi thư đi xin hầu hết các giáo sư vật lý ở khắp châu Âu thời đó và đều bị từ chối). Việc được làm nghiên cứu sinh và viết công bố 5 công trình năm 1905 trong đó nổi tiếng nhất như thuyết tương đối hẹp hay công trình về mật độ lượng tử để lấy bằng tiến sĩ khi đang làm nhân viên hạng 3 ở sở công chứng bằng phát minh là chuyện sau. Trong thời điểm học ở ETH Zurich, các câu hỏi (có 5 câu hỏi chính) của Einstein đặt ra tất nhiên là rất bản chất đối với vật lý, nhưng điểm khởi phát của ông ấy cũng không phải là ngay lập tức nghĩ đến công việc to tát nhất là giải thích vũ trụ, mà thông qua điện động lực học. Vào thời điểm đó, kiến thức vật lý của Einstein khá xoàng, kiến thức toán thậm chí có thể coi là tệ so với những sinh viên khác. Nói chung câu nói nổi tiếng của Einstein nói lên rất nhiều về ông ấy: "trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức".

Grothendieck hơi khác Einstein, ở chỗ ông ấy học ở môi trường lạc hậu hơn so với môi trường của Einstein (vào thời điểm Einstein học ở ETH Zurich, ETH Zurich là một môi trường mới, rất thoáng và tiên phong trong cả cách nghĩ và kiến thức so với các trường đại học khác, vì nó khá giống mô hình một vài trường đại học Đức Phổ danh tiếng, còn Monpellier thời Grothendieck có một nền toán học khá lạc hậu so với mặt bằng chung ở Pháp). Do đó, dù có thừa khả năng tiếp thu, nhưng Grothendieck không hề được tranh bị các vũ khí hạng nặng của toán học như những nhà toán học Pháp cùng lứa như Serre, Cartan, Weil. Điểm đặc biệt của Grothendieck so với những vị được trang bị vũ khí hạng năng kia là khả năng xây dựng đặc biệt của ông. Cũng vì thế hồi tham gia các Seminar đặc biệt cao cấp với Cartan ở Paris- toàn những lý thuyết toán rất mới rất phức tạp, Grothendieck thường hỏi những câu khá ngớ ngẩn, bị coi là hổng kiến thức so với các bạn cùng lứa và vì thế đã được Cartan khuyên nên về tỉnh học với J. Schwarz- vẫn rất tốt mà còn theo kịp kiến thức do ngành của Schwarz là ngành đã được phổ biến ở Pháp, không quá mới quá lằng nhằng. Về sau khi quay lại Paris, Grothendieck học các kiến thức hhds với lý thuyết phổ thông qua trao đổi miệng, tranh luận với Serre là chính, chứ chẳng phải là đã tự học để trang bị các loại vũ khí hạng nặng đó từ sớm. Khẳng định thêm cho những điều tôi nói trên, chính ông ấy cũng từng nói rằng: tôi không đọc sách, tôi chỉ viết sách.

Nhưng rốt cục phải nhắc lại là đó là những người đặc biệt, chúng ta không thể lấy họ để noi gương. Họ chỉ là những ví dụ cho những người không cần biết quá nhiều, hiểu quá rộng vẫn và đã có thể lật đổ được cả thế giới thôi. Như chúng ta, muốn lên được vẫn cần phải được trang bị vũ khí đầy đủ, càng nặng càng tốt (như Kaka, AL) và cũng nên thử để tìm cách đặt câu hỏi sớm (như TLCT) vì ý tưởng lạ thường đến khi người ta còn trẻ.

Nếu tôi không nhầm thì từ quí tộc trong toán học ban đầu có ý nghĩa hơi khác. Từ "quí tộc" trong toán ban đầu mang nghĩa giống từ "cao" (higher). Như hình học đại số hiện đại được gọi là toán quí tộc là vì nó không phải một môn toán có thể xây dựng lên từ một số tiên đề đơn giản riêng biệt của riêng nó, mà phải sử dụng hoàn toàn nền móng từ các môn toán khác như đại số giao hoán, đại số đồng điều, giải tích phức. Các môn như đs giao hoán, đs đồng điều, gt phức thì lại là những môn có thể xây dựng được từ các tiền đề đơn giản (tất nhiên chúng ta không tính tới các kết quả phức tạp, có sự giao thoa giữa nhiều ngành trong đs giao hoán, đs đồng điều, gt phức). Theo cách gọi như vậy, một môn như topo đại số cũng có thể coi là một môn toán quí tộc, còn một môn như lý thuyết đồ thị hoàn toàn chẳng thể là toán quí tộc.

Còn cách hiểu toán quí tộc theo nghĩa "cao quí" thì là hoàn toàn sai và trái ngược với bản chất của tất cả những người làm khoa học chân chính. Không ai làm khoa học lại coi mình là quí tộc, là thượng lưu so với những người làm khoa học khác cả. Đó là thuật ngữ của dân celebs, bọn nhà giàu, bọn làm chính trị và những ngành hoa hoét khác. Grothendieck hay Einstein đều không phải là những học giả hay chuyên gia hiểu rộng biết nhiều khi sắn tay lao vào xây dựng lên các công trình của họ- nhưng đó là những ngoại lệ chúng ta không thể đem ra so sánh làm gương cho chúng ta được. Tôi đồng ý với KK và AL về việc cần học nhiều, nhắm tới hướng chính, nhưng cũng đồng ý với TLCT về việc nên tìm cách nghĩ đến nghiên cứu sớm. Phải tìm cách săn ý tưởng, vì chẳng thể biết lúc nào ý tưởng sẽ đến, lúc nào không. Chính Faltings mà AL hay trích dẫn cũng từng nói rằng: "ngày nay tôi biết nhiều, hiểu rõ vấn đề hơn hồi còn trẻ rất nhiều, nhưng chẳng thể làm được gì, giống như chờ mãi mà bóng không đến chân (như ngày xưa) vậy."