$\boxed{\textrm{Bài 146}}$ Chứng minh rằng với $\forall p$ là số nguyên tố thì không tồn tại $x,y \in \mathbb{Z^{+}}$ thoả mãn: 

$$ 2^p +3^p = x^{y+1} $$

Với p=2 thì $VT=13$ nên không thể tồn tại $x,y$ thỏa mãn.

Với p=3 thì $VT=35$ nên không thể tồn tại $x,y$ thỏa mãn.

Với p=5 thì $VT=32+243=275$ không thể tồn tại $x,y$ thỏa mãn.

Xét p>5 thì:

Ta sẽ chứng minh: 

$2^p+3^p$ chia hết cho $5$ nhưng không chia hết cho $25$ thật vậy:

$2^p+3^p=(2+3)(2^{p-1}+2^{p-2}.3+...+3^{p-1})=5(2^{p-1}+2^{p-2}.3+...+3^{p-1})$.

$2^{p-1}+2^{p-2}.3+..+3^{p-1}\equiv 2^{p-1}+(-2).2^{p-2}+...+(-2)^k.2^{p-1-k}+...+(-2)^{p-1}(mod 5)\equiv 2^{p-1}-2^{p-1}+2^{p-1}+...+2^{p-1}(mod 5)\equiv 2^p(mod 5)$ nên $2^{p}+3^{p}$ không chia hết cho 25.

Do đó: Giả sử tồn tại p thỏa mãn thì: $VP$ sẽ chia hết cho 5 nên $x$ sẽ chia hết cho $5$ mà $y+1>1$ nên VP sẽ chia hết cho $5^{2}$ mà VT không nên vô lí.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

$\boxed{141}$: Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(x;y;p)$ với $p$ là số nguyên tố và $x\neq y$ sao cho:

$x^4-y^4=p(x^3-y^3)$

Xét x=0, ta có: y=p(thỏa mãn).

Xét y=0 ta có x=p(thỏa mãn).

Xét x>0; y>0 ta có:

Gọi $d=(x,y)(x=dx';y=dy'((x',y')=1))$. (x',y' nguyên dương).

$\Rightarrow d^3(x'^3-y'^3)p=d^4(x'^4-y'^4)$.

$\Leftrightarrow (x'^3-y'^3)p=d(x'^4-y'^4)$.

$\Leftrightarrow p(x'^2+x'y'+y'^2)=d(x'+y')(x'^2+y'^2)$.

$\Rightarrow p>d$. Nếu cả 2 thừa số ở vế phải đều chia hết cho p thì: 

$x'+y';x'^2+y'^2;x'^2+x'y'+y'^2$ đều chia hết cho p.

$\Rightarrow x'y';x'+y'$ cùng chia hết cho p nên $x';y'$ cùng chia hết cho p(vô lí).

$\Rightarrow x'^2+x'y'+y'^2$ chia hết cho $x'+y'$ hoặc $x'^2+y'^2$.

Nếu: $x'^2+x'y'+y'^2$ chia hết cho $x'^2+y'^2$. Điều này không thể xảy ra do: $x\neq y$.

Nếu $x'^2+x'y'+y'^2$ chia hết cho $x'+y'$ $\Rightarrow x'y'$ chia hết cho $x'+y'$.( mà: $(x',x'+y')=1;(y',x'+y')=1$ nên loại).

Vậy các nghiệm của phương trình là: x=p;y=0 (với p là số nguyên tố); y=p;x=0( với p là số nguyên tố).

$\boxed{140}$ Tìm tất cả số nguyên dương $x,y,z$ và số nguyên tố $p$ sao cho $(2x+3y)(3x+2y)=p^z$

Ta có:

$(2x+3y)(3x+2y)=p^z\Rightarrow 2x+3y=p^a;3x+2y=p^b$(với a,b là các số nguyên dương).

Không mất tính tổng quát giả sử: $x\geq y\Rightarrow 3x+2y\geq 2x+3y\Leftrightarrow p^a\geq p^b\Rightarrow p^a$ chia hết cho $p^b$

Nếu $a>b\Rightarrow 3x+2y\geq p(2x+3y)\geq 2(2x+3y)=4x+6y$(vô lí).

Do đó: a=b.

$\Rightarrow x=y\Rightarrow 5x.5x=25x^2=p^z\Rightarrow p$ chia hết cho 5 nên $p=5$

$\Rightarrow x^2=5^{z-2}\Rightarrow z$ chẵn nên $z=2k$( k là số nguyên dương)$\Rightarrow x=y=5^{k-1}$.

Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy:$x=y=5^{k-1};p=5;z=2k$.

$\boxed{139}$: Tìm các số nguyên dương $(x;y)$ sao cho $2^x+5^y+2$ là số chính phương

Xét $x=1$ khi đó: $5^{y}+4$ là số chính phương.

$\Rightarrow 5^y+4=a^2$ với a là số nguyên dương.

$\Leftrightarrow (a-2)(a+2)=5^y$.

Từ đây suy ra: $a-2=5^l;a+2=5^k$(k,l là các số nguyên dương và k>l); Mặt khác: $a+2-(a-2)=4=5^k-5^l$ và k>l nên

$k=1;l=0$. Khi đó: a=3 và y=1 (thỏa mãn).

Xét x>1 khi đó: $5^y\equiv 1 (mod 4) ; 2^x\equiv 0(mod 4)$ nên $2^x+5^y+2\equiv 0+1+2\equiv 3(mod 4)$

nên không thể là số chính phương.

Vậy:$x=y=1$.

$\boxed{137}$: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn $x^{5}+2=3.101^{y}$

Trước hết, thấy ngay y phải là số tự nhiên. Thật vậy nếu y<0 thì: VT>2 và VP<1 nên vô lí.

Từ đó suy ra x cũng phải là số tự nhiên.

Với x=0 thì VT=2=3.101^y (vô lí).

Với x=1 thì VT=2+1=3=3.101^y . Từ đây 101^y=1 nên y=0( thỏa mãn).

Với x>1: thì VT>2+1=3 nên: 3.101^y>3 hay 101^y>1 nên y>0;

Nếu a chia hết cho 101 thì VT không chia hết cho 101 (2 không chia hết cho 101) và VP chia hết cho 101 (do y>0) (vô lí).

Do đó: a không chia hết cho 101 nên (a,101)=1. Từ đây áp dụng định lý Fermat nhỏ ta được: a^101-1 đồng dư với 1 (mod 101)

hay a¹⁰⁰ đồng dư với 1 (mod 101) (chứng minh định lý này đã có nhiều ở Internet).

Vì a⁵+2 =101^y.3 nên a⁵ đồng dư với -2 (mod 101) suy ra a¹⁰⁰ đồng dư với (-2)²⁰ (mod 101) đồng dư với 1024² (mod 101)

đồng dư với 14² (mod 101) đồng dư với 196 (mod 101) đồng dư với 95 (mod 101) khác 1 nên vô lý.

Vậy: x=1;y=0.