Walker's inequality
chuyenndu nội dung
Có 185 mục bởi chuyenndu (Tìm giới hạn từ 05-05-2020)
#744805 Chứng minh rằng: $abc(a-1)(b-1)(c-1)\leq 8$
Đã gửi bởi chuyenndu on 01-05-2024 - 19:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
#744804 CM tồn tại $c\in (0,1)$ sao cho $f'(c)=2022f(c)$
Đã gửi bởi chuyenndu on 01-05-2024 - 19:06 trong Dãy số - Giới hạn
$g(x)=\frac{f(x)}{e^{2022x}}$
g(0)=g(1)=0 nên tồn tại $c\in(0,1):g'(c)=0$
#744802 tồn tại một nhóm $n$ người để trong $2n$ người còn lại đề...
Đã gửi bởi chuyenndu on 01-05-2024 - 18:57 trong Tổ hợp và rời rạc
#744501 $40$ số tự nhiên liên tiếp của tập $X$, trong đó có...
Đã gửi bởi chuyenndu on 06-04-2024 - 06:00 trong Toán rời rạc
bài 1 liên tục trong rời rạc.pdf 202.78K 27 Số lần tải
#744416 $(1 - abc)(ab + bc + ca) \le 1$
Đã gửi bởi chuyenndu on 28-03-2024 - 15:56 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bất đẳng thức cuối có vẻ bị sai rồi
đúng với $\frac{2}{3}\le a\le 2$,giả sử a=max(a,b,c) là được
#744382 Cách để dự đoán điểm rơi?
Đã gửi bởi chuyenndu on 26-03-2024 - 17:27 trong Bất đẳng thức và cực trị
biến bằng nhau hoặc tại biên
đây là phân tích chứ k phải sol,mục đích để sử dụng đúng bdt
#744381 $M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1...
Đã gửi bởi chuyenndu on 26-03-2024 - 17:23 trong Bất đẳng thức và cực trị
(a,2b,3c)=(x,y,z) => x+y+z=3
cần cm $\sum\frac{1}{x^2+y^2+2}\le \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\ge \frac{3}{2}$
$\sum\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\ge \frac{(\sum\sqrt{x^2+y^2})^2}{\sum(x^2+y^2+2)}=\frac{\sum x^2+\sum\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}}{\sum x^2+3}$
$\sum\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\ge\sum (x^2+yz)\Rightarrow$ dpcm
#744380 Chứng minh $n$ đường thẳng đôi một cắt nhau và không có $3...
Đã gửi bởi chuyenndu on 26-03-2024 - 17:19 trong Tổ hợp và rời rạc
xét các trường hợp nhỏ để thấy khi thêm đường mới sẽ ntn
hệ thức truy hồi a(n+1)=a(n)+n+1
#744379 Tìm Max của $ P = (1 - xyz)(xy + yz + zx)$
Đã gửi bởi chuyenndu on 26-03-2024 - 17:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
#744090 $f(x+y^3f(y))=y^4+f(x)$
Đã gửi bởi chuyenndu on 11-03-2024 - 18:19 trong Phương trình hàm
tìm hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn $f(x+y^3f(y))=y^4+f(x)$ với $x,y\in R$
#744089 Cho $A(-1;2),B(2;-1),C(-2;3),D(6;1)$ tìm điểm $M$ nằm trê...
Đã gửi bởi chuyenndu on 11-03-2024 - 18:15 trong Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
tập hợp $\left \{ M:MA+MB=5\sqrt{2} \right \}$ là elip
C thuộc elip này nên viết được pt elip
tìm giao điểm elip với đt CD easy
#744088 $a_{n+2}+\frac{1}{2}=\sqrt{...
Đã gửi bởi chuyenndu on 11-03-2024 - 18:11 trong Dãy số - Giới hạn
bình phương gt $\Rightarrow a_{n+1}^2+a_{n+1}+a_n+\frac{1}{8(2n-1)}=...=a_2^2+a_2+a_1+\frac{1}{8}=8$
$\Rightarrow (a_{n+1}-2)(a_{n+1}+3)+a_n-2=\frac{-1}{8(2n-1)}$
quy nạp $\frac{-1}{8(2n-1)}\le a_n-2\le 0$
#744067 CMR với mỗi số nguyên dương n, tồn tại nhiều nhất một bộ ba số nguyên dương...
Đã gửi bởi chuyenndu on 10-03-2024 - 09:47 trong Số học
$a+b,b+c,c+a,a+b+c+n$ đều có dạng $p^k$
nếu $p>2$ thì vô lí vì $a+b,b+c,c+a$ không thể cùng lẻ $\Rightarrow p=2$
$\Rightarrow a+b=2^m,b+c=2^n,c+a=2^p,a+b+c+n=2^k\Rightarrow n+2^{m-1}+2^{n-1}+2^{p-1}=2^k$
cần CM với mỗi $n$ tồn tại nhiều nhất một bộ ba $(m',n',p')$ để $n+2^{m'}+2^{n'}+2^{p'}$ là lũy thừa của 2
hiển nhiên khi viết $n$ dưới dạng cơ số 2 (để ý vị trí số 0)
vd $n=\overline{10110}_{(2)}$ thì $n=2^5-2^3-2^0-2^0$
$n=\overline{100001}_{(2)}$ thì không tồn tại
#744066 $(1 - abc)(ab + bc + ca) \le 1$
Đã gửi bởi chuyenndu on 10-03-2024 - 09:34 trong Bất đẳng thức và cực trị
GS a=min(a,b,c) $\Rightarrow a\le \frac{2}{3}$
xét $a\neq 0$
$(1-abc)\frac{abc+a^2(b+c)}{a}\le \frac{(1-abc+abc+a^2(b+c))^2}{4a}=\frac{(1+a^2(2-a))^2}{4a}$
cần CM $\frac{(1+a^2(2-a))^2}{4a}\le 1\Rightarrow (a-1)^2(a^2-3a+1)(a^2+a+1)\le 0$
vì $a\le \frac{2}{3}\Rightarrow a^2-3a+1\le 0$
#743938 $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b...
Đã gửi bởi chuyenndu on 02-03-2024 - 20:47 trong Bất đẳng thức - Cực trị
cho 4 số thực a,b,c,d thỏa mãn ab+ac+ad+bc+bd+cd=0. CMR $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}+\frac{d}{d^2+1}\ge -1$
#743936 Con ếch và hạt nhân
Đã gửi bởi chuyenndu on 02-03-2024 - 20:35 trong Toán rời rạc
đi tối thiểu thì chỉ đi đến ô (x+1,y),(x,y+1). số đường đi ngắn nhất từ (a,b) đến (c,d) thì đã biết theo công thức là $C_{c-a+d-b}^{c-a}$
giờ đếm bằng bù trừ, sẽ đếm số đường đi đã đi qua ô phóng xạ, WLOG giả sử 4 đỉnh của ô có tọa độ (1,1),(2,1)(1,2),(2,2)
đếm bằng cách tính số đường đi từ (0,0) đến (1,1) và từ (1,1) đến (5,5)
ý tưởng đại khái là thế
#743760 Tìm chu vi tam giác khi biết chiều cao.
Đã gửi bởi chuyenndu on 21-02-2024 - 19:04 trong Hình học
từ công thức heron $S^2 =p(p-a)(p-b)(p-c) =\left(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}\right)\left(\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}-\frac{S}{h_a}\right)\left(\frac{S}{h_c}+\frac{S}{h_a}-\frac{S}{h_b}\right)\left(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}-\frac{S}{h_c}\right)$
tính được S theo đường cao
$a=\frac{2S}{h_a}$ là xong
#743759 $\sum\frac{a}{b+c^2}\geq\frac{3}{2}$
Đã gửi bởi chuyenndu on 21-02-2024 - 19:00 trong Bất đẳng thức và cực trị
Vào năm 2007, thầy Phạm Kim Hùng có đăng một bài bất đẳng thức rất đẹp và chặt như sau.
Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$\frac{a}{b+c^2}+\frac{b}{c+a^2}+\frac{c}{a+b^2}\geq\frac{3}{2}.$$
Dựa trên ý tưởng của thầy quykhtn-qa1, mình đã tìm ra một cách giải khá đẹp (mình sẽ đăng lên sau). Tuy nhiên, mình mong muốn tìm được những lời giải khác với những ý tưởng khác. Mời mọi người cùng thảo luận về bài toán đẹp này.
P/s: Trong quá trình tìm hiểu về bài toán này, mình có tìm được một bài toán khác được đăng vào 2006 cùng cấu hình (tuy không đẹp và chặt bằng) như sau.
Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1.$ Chứng minh rằng $$\frac{x}{y+z^2}+\frac{y}{z+x^2}+\frac{z}{x+y^2}\geq\frac{9}{4}.$$
Mời mọi người cùng thảo luận ạ.
P/s: Em xin lỗi vì phần tiêu đề em gõ LaTeX bị lỗi nhưng không thể sửa được ạ, mong BQT thứ lỗi cho em và sửa lại phần tiêu đề giúp em với ạ.
$\sum\frac{x}{y+z^2}\ge \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx+z^2x+x^2y+y^2z}$
$\frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx+z^2x+x^2y+y^2z}\ge \frac{9}{4}\Leftrightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)+z^2x+x^2y+y^2z\le \frac{4}{9}$
kết hợp $z^2y+x^2z+y^2x+xyz\le \frac{4}{27}(x+y+z)^3,z^2x+x^2y+y^2z+xyz\le \frac{4}{27}(x+y+z)^3$ là xong
#743757 Cho dãy số ${u_{n}}$ xác định bởi $u_...
Đã gửi bởi chuyenndu on 21-02-2024 - 18:37 trong Dãy số - Giới hạn
#743756 Cho $a^2\geq 2b> 0$. Tìm GTNN của $A=\frac{a^6+4...
Đã gửi bởi chuyenndu on 21-02-2024 - 18:35 trong Bất đẳng thức và cực trị
5. $a+b+c+2=abc\Rightarrow a=\frac{x+y}{z},b=\frac{y+z}{x},c=\frac{z+x}{y}$
- Diễn đàn Toán học
- → chuyenndu nội dung