bài 1   liên tục trong rời rạc.pdf   202.78K   27 Số lần tải

Bất đẳng thức cuối có vẻ bị sai rồi 

đúng với $\frac{2}{3}\le a\le 2$,giả sử a=max(a,b,c) là được

biến bằng nhau hoặc tại biên

đây là phân tích chứ k phải sol,mục đích để sử dụng đúng bdt

(a,2b,3c)=(x,y,z) => x+y+z=3

cần cm $\sum\frac{1}{x^2+y^2+2}\le \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\ge \frac{3}{2}$

$\sum\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\ge \frac{(\sum\sqrt{x^2+y^2})^2}{\sum(x^2+y^2+2)}=\frac{\sum x^2+\sum\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}}{\sum x^2+3}$

$\sum\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\ge\sum (x^2+yz)\Rightarrow$ dpcm

xét các trường hợp nhỏ để thấy khi thêm đường mới sẽ ntn

hệ thức truy hồi a(n+1)=a(n)+n+1

https://diendantoanh...cab-bc-ca-le-1/

tìm hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn $f(x+y^3f(y))=y^4+f(x)$ với $x,y\in R$

tập hợp $\left \{ M:MA+MB=5\sqrt{2} \right \}$ là elip

C thuộc elip này nên viết được pt elip

tìm giao điểm elip với đt CD easy

bình phương gt $\Rightarrow a_{n+1}^2+a_{n+1}+a_n+\frac{1}{8(2n-1)}=...=a_2^2+a_2+a_1+\frac{1}{8}=8$

$\Rightarrow (a_{n+1}-2)(a_{n+1}+3)+a_n-2=\frac{-1}{8(2n-1)}$

quy nạp $\frac{-1}{8(2n-1)}\le a_n-2\le 0$

$a+b,b+c,c+a,a+b+c+n$ đều có dạng $p^k$

nếu $p>2$ thì vô lí vì $a+b,b+c,c+a$ không thể cùng lẻ $\Rightarrow p=2$

$\Rightarrow a+b=2^m,b+c=2^n,c+a=2^p,a+b+c+n=2^k\Rightarrow n+2^{m-1}+2^{n-1}+2^{p-1}=2^k$

cần CM với mỗi $n$ tồn tại nhiều nhất một bộ ba $(m',n',p')$ để $n+2^{m'}+2^{n'}+2^{p'}$ là lũy thừa của 2

hiển nhiên khi viết $n$ dưới dạng cơ số 2 (để ý vị trí số 0)

vd $n=\overline{10110}_{(2)}$ thì $n=2^5-2^3-2^0-2^0$

$n=\overline{100001}_{(2)}$ thì không tồn tại

GS a=min(a,b,c) $\Rightarrow a\le \frac{2}{3}$

xét $a\neq 0$

$(1-abc)\frac{abc+a^2(b+c)}{a}\le \frac{(1-abc+abc+a^2(b+c))^2}{4a}=\frac{(1+a^2(2-a))^2}{4a}$

cần CM $\frac{(1+a^2(2-a))^2}{4a}\le 1\Rightarrow (a-1)^2(a^2-3a+1)(a^2+a+1)\le 0$

vì $a\le \frac{2}{3}\Rightarrow a^2-3a+1\le 0$

cho 4 số thực a,b,c,d thỏa mãn ab+ac+ad+bc+bd+cd=0. CMR $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}+\frac{d}{d^2+1}\ge -1$

IMO 1992

https://artofproblem...c6h24417p154338

đi tối thiểu thì chỉ đi đến ô (x+1,y),(x,y+1). số đường đi ngắn nhất từ (a,b) đến (c,d) thì đã biết theo công thức là $C_{c-a+d-b}^{c-a}$

giờ đếm bằng bù trừ, sẽ đếm số đường đi đã đi qua ô phóng xạ, WLOG giả sử 4 đỉnh của ô có tọa độ (1,1),(2,1)(1,2),(2,2)

đếm bằng cách tính số đường đi từ (0,0) đến (1,1) và từ (1,1) đến (5,5)

ý tưởng đại khái là thế

giả thiết $\Rightarrow a^2+b^2+c^2+4=2(ab+bc+ca)\Rightarrow (a+b-c)^2=4ab-4$

$\Rightarrow (ab+a+b-c)(ab-a-b+c)=a^2b^2-(a+b-c)^2=(ab-2)^2$

từ công thức heron $S^2 =p(p-a)(p-b)(p-c) =\left(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}\right)\left(\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}-\frac{S}{h_a}\right)\left(\frac{S}{h_c}+\frac{S}{h_a}-\frac{S}{h_b}\right)\left(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}-\frac{S}{h_c}\right)$

tính được S theo đường cao

$a=\frac{2S}{h_a}$ là xong

Vào năm 2007, thầy Phạm Kim Hùng có đăng một bài bất đẳng thức rất đẹp và chặt như sau. 

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$\frac{a}{b+c^2}+\frac{b}{c+a^2}+\frac{c}{a+b^2}\geq\frac{3}{2}.$$

Dựa trên ý tưởng của thầy quykhtn-qa1, mình đã tìm ra một cách giải khá đẹp (mình sẽ đăng lên sau). Tuy nhiên, mình mong muốn tìm được những lời giải khác với những ý tưởng khác. Mời mọi người cùng thảo luận về bài toán đẹp này. 

P/s: Trong quá trình tìm hiểu về bài toán này, mình có tìm được một bài toán khác được đăng vào 2006 cùng cấu hình (tuy không đẹp và chặt bằng) như sau.

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1.$ Chứng minh rằng $$\frac{x}{y+z^2}+\frac{y}{z+x^2}+\frac{z}{x+y^2}\geq\frac{9}{4}.$$  

Mời mọi người cùng thảo luận ạ. 

P/s: Em xin lỗi vì phần tiêu đề em gõ LaTeX bị lỗi nhưng không thể sửa được ạ, mong BQT thứ lỗi cho em và sửa lại phần tiêu đề giúp em với ạ.  

$\sum\frac{x}{y+z^2}\ge \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx+z^2x+x^2y+y^2z}$

$\frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx+z^2x+x^2y+y^2z}\ge \frac{9}{4}\Leftrightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)+z^2x+x^2y+y^2z\le \frac{4}{9}$

kết hợp $z^2y+x^2z+y^2x+xyz\le \frac{4}{27}(x+y+z)^3,z^2x+x^2y+y^2z+xyz\le \frac{4}{27}(x+y+z)^3$ là xong

https://artofproblem...h262443p1425956

https://diendantoanh...1fracu-nnu-n21/

5. $a+b+c+2=abc\Rightarrow a=\frac{x+y}{z},b=\frac{y+z}{x},c=\frac{z+x}{y}$

gọi nhóm k người là k-đẹp khi mọi người trong nhóm đó đều biết nhau, xét nhóm k-đẹp có số người đông nhất

nếu $k\le n$ thì giả thiết mâu thuẫn với tính cực đại phần giả sử $\Rightarrow k> n\Rightarrow$ mọi người trong nhóm này đều thỏa đề

IMO 1972

https://artofproblem...c6h21614p139664

Iran TST 2013

https://artofproblem...h530379p3026714

bài này vô nghiệm, IMO 2009

https://artofproblem...h355798p1934626

đặt $x_n=\frac{1}{u_n}\Rightarrow x_{n+1}=x_n+\frac{n}{x_n}$

$x_{n+1}^2=x_n^2+2n+\frac{n^2}{x_n^2}>x_n^2+2n>x_{n-1}^2+2(n-1)+2n>...>x_1^2+n(n+1)$

ngoài ra $\frac{n^2}{x_n^2}<\frac{n^2}{x_1^2+(n-1)n}<2\Rightarrow x_{n+1}^2<x_n^2+2n+2<...<x_1^2+n(n+1)+2n$

vậy $x_1^2+n(n+1)<x_{n+1}^2<x_1^2+n(n+1)+2n\Rightarrow lim\frac{x_n}{n}=1$