Cho hàm số Dirichlet $D(x)=\left\{\begin{matrix} 1, x\in \mathbb{Q}\\0, x\in \mathbb{I} \end{matrix}\right.$ . Áp dụng tính chất trù mật của $\mathbb{I},\mathbb{Q}$ trong $\mathbb{R}$ chứng minh rằng hàm số gián đoạn tại mọi điểm.

Chặn dưới thì bạn chọn GTNN và ta cũng có $f(x) > l - \delta,\forall x > x_0$.

E cảm ơn ạ ^^

Do $\lim_{x\to+\infty} = l$ nên $\forall \delta > 0,\exists x_0 \geq a: |f(x) - l| < \delta,\forall x > x_0$

$\Rightarrow f(x) \leq \delta + l,\forall x > x_0$.

Đồng thời $f$ liên tục trên $[a; x_0]$ nên nó có giá trị lớn nhất là $M$ trên đoạn này.

Vậy $f$ bị chặn trên bởi $\max\{M, \delta + l\}$.

Vậy còn chứng minh $f$ bị chặn dưới trên $\left \lfloor a,+\infty \right )$ thì sao ạ

Ta có $f$ đạt GTNN trên $\left [ a,x_{o} \right ]$ tại $m$ nên f bị chặn dưới bởi $min\left \{ m,l+\delta \right \}$ trên $\left [a,+\infty \right )$

E trình bày như vậy có đúng không ạ?

Cho hàm số $f:\left [ a,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục trên $\left [ a,+\infty \right )$ và $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=l \in \mathbb{R}$. Chứng minh f bị chặn trên $\left [ a,+\infty \right )$.