Đầu tiên mình góp ý cách kí hiệu của bạn. $\Delta x_{n}$ được hiểu là $x_{n+1} - x_{n}$, còn $\Delta {x^{2}_{n}}$ được hiểu là ${x^{2}_{n+1}} - {x^{2}_{n}}$. Còn sai phân cấp hai (là sai phân của sai phân) được kí hiệu là $\Delta^{2} x_{n}$ và được xác định như sau

$$\begin{align*} \Delta^{2}(x_{n}) & = \Delta(\Delta(x_{n})) \\ & = \Delta(x_{n+1} - x_{n}) \\ & = \Delta(y_{n}) = y_{n+1} - y_{n} & \text{trong đó $y_{n} = x_{n+1} - x_{n}$} \\ & = (x_{n+2} - x_{n+1}) - (x_{n+1} - x_{n}) \\ & = \Delta x_{n+1} - \Delta x_{n} \end{align*}$$

Mình đã ghi chi tiết, thêm kí hiệu $y_{n}$ chỉ để tiện theo dõi chứ thực tế không ai làm như trên (trừ sách nhập môn về sai phân thì có thể). Lưu ý, sai phân của một dãy số cũng là một dãy số mà thôi.

 

Còn bây giờ mình trả lời tại sao "Nếu $\Delta^{2} x_{n}$ không đổi thì $x_{n}$ có dạng $an^{2} + bn + c$, trong đó $a, b, c$ là các hằng số."

 

Mình bắt đầu với mệnh đề đơn giản hơn

($\dagger$) "Nếu $\Delta x_{n}$ là hằng số thì $x_{n}$ có dạng $an + b$, trong đó $a, b$ là các hằng số" - Kí hiệu hằng số đó là $c$, nghĩa là $\Delta x_{n} = c$. Như vậy $x_{n+1} - x_{n} = c$ với mọi số nguyên dương $n$, và chúng ta có một dãy cấp số cộng, do đó $x_{n} = x_{1} + (n-1)c = cn + (x_{1} - c)$, chính là dạng $an + b$ (bạn có thể chứng minh lại $x_{n} = x_{1} + (n-1)c$ bằng quy nạp hoặc đọc sách giáo khoa giải tích 11).

 

Quay lại câu hỏi ban đầu.

Vì $\Delta^{2}x_{n} = \Delta(\Delta x_{n})$ là hằng số nên theo mệnh đề $\dagger$, $\Delta x_{n}$ có dạng $an + b$ (mấu chốt cho lập luận này là mệnh đề $\dagger$ và "sai phân của một dãy số cũng là một dãy số").

$\Delta x_{n} = x_{n+1} - x_{n} = an + b$ với mọi số nguyên dương $n$ thì

$$\begin{align*} x_{n} - x_{1} & = (x_{n} - x_{n-1}) + \cdots + (x_{2} - x_{1}) \\ & = (a\cdot (n-1) + b) + \cdots + (a\cdot 1 + b) \\ & = a\cdot ((n-1) + \cdots + 1) + bn \\ & = \frac{a}{2}\cdot n(n-1) + bn \\ & = \frac{a}{2}\cdot n^{2} + \left(b - \frac{a}{2} \right )n \end{align*}$$

(trên đây là cách mò ra công thức tổng quát (cộng các sai phân liên tiếp), còn để lập luận chặt chẽ thì cần nêu lập luận bằng quy nạp)

Do đó $x_{n} = \frac{a}{2}\cdot n^{2} + \left(b - \frac{a}{2}\right)n + x_{1}$ (lưu ý $x_{1}$ là hằng số) và đây chính là dạng $an^{2} + bn + c$.

 

Tổng quát hơn, nếu $\Delta^{k}x_{n}$ không đổi thì $x_{n}$ có dạng $a_{0} + a_{1}n + \cdots + a_{k}n^{k}$, trong đó $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}$ là các hằng số.

 

 

Mình không có lời giải nhưng bình luận chút.
Bình thường ra, các bài tập tính giới hạn mà có giá trị lượng giác của số nguyên không khó đến thế này và có thể giải quyết bằng định lý kẹp. Nhưng có vẻ bài toán này không dễ giải quyết như vậy. Mình cảm thấy các bài toán có giá trị lượng giác của số nguyên có vẻ gì đó khá đáng ngại và hình như cần đến nhiều lý thuyết số hơn (liên tưởng đến định lý Niven).
Quay lại với bài toán ban đầu, mình tin là dãy này có giới hạn là $1$ và mình cũng tin là có thể sử dụng định lý kẹp, chỉ là không hề dễ dàng. Mình chú ý bài toán này ít hôm trước và có tra cứu Google với từ khóa "sine of integers", "cosine of integers", thấy có một kết quả khá ấn tượng trong bài báo "An Inequality Involving $\sin(n)$" rằng
\[ \left\vert\sin(n)\right\vert > \frac{1}{2^{n}} \]
Bất đẳng thức này được chứng minh kỳ công với các kết quả đến từ xấp xỉ Diophant và việc xấp xỉ Diophant cho số $\pi$. Mình có đọc ý tưởng lúc trước của Konstante và thấy khá hứa hẹn và cũng động đến xấp xỉ Diophant nhưng mà bạn lại không tiếp tục.
Mình cho rằng có thể có bất đẳng thức phù hợp để mà áp dụng vào bài toán này. Nếu như có một dãy ${(a_{n})}_{n\in\mathbb{N}}$ sao cho $a_{n}\to 1$ và
\[ a_{n}\leq \sqrt[n]{{(\cos(n))}^{2}}\leq 1 \quad\forall n\in\mathbb{N} \]
thì có thể dùng định lý kẹp được. Vấn đề là tìm được một dãy như vậy và chứng minh được (khó vãi). Mình mạnh dạn đoán là có bất đẳng thức này
\[ \left\vert\cos(n)\right\vert > \frac{1}{2n^{\alpha}} \]
trong đó $\alpha$ là một số thực dương nào đó (mình còn đoán là $\alpha = 2$ thì được và có thử tính). Có lẽ xấp xỉ Diophantine là hướng đi hứa hẹn nhất, cho cả bất đẳng thức này lẫn bài toán tính giới hạn trong topic này.
Khi mà chưa giải được một bài toán thì gì nói cũng được mình thì nói thế này: không phải bài toán hay bài tập nào cũng có một lời giải đẹp hoặc lời giải ngắn gọn hoặc lời giải phù hợp với kiến thức của người đang cố giải nó.

Hai kí hiệu đó có ý nghĩa lần lượt là giao của $n$ tập hợp $A_{i}$ và hợp của $n$ tập hợp $A_{i}$.

$$\bigcap^{n}_{i=1} A_{i} = A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n}$$

$$\bigcup^{n}_{i=1} A_{i} = A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}$$

Còn ví dụ, bạn có thể tìm đọc về định lý Cantor về các khoảng đóng lồng nhau. Định lý đó được phát biểu với kí hiệu trên như thế này.

Với mỗi số nguyên dương $n$, $I_{n}$ là khoảng đóng $[a_{n}, b_{n}]$. Nếu $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ với mọi số nguyên dương $n$ thì giao của tất cả các tập hợp $I_{n}$ khác rỗng. Bằng kí hiệu, chúng ta viết

$$\bigcap^{\infty}_{n=1} I_{n} = \bigcap^{\infty}_{n=1} [a_{n}, b_{n}] \ne \varnothing$$

 

Kí hiệu hợp và giao như vậy được áp dụng khi số lượng tập hợp trong phép hợp hay phép giao là nhiều (có thể vô hạn). Thêm ví dụ nhé.

Hợp của các tập hợp $A_{i}$, trong đó $i\in I$ được kí hiệu là $\bigcup_{i\in I} A_{i}$.

Giao của các tập hợp $A_{i}$, trong đó $i\in I$ được kí hiệu là $\bigcap_{i\in I} A_{i}$.

 

Bạn sẽ gặp kí hiệu như trên khi tìm đọc về luật De Morgan.

 

Việc giải thích tại sao kí hiệu như thế là không có ích gì về mặt toán học. Bạn tiếp tục tìm đọc để quen hơn với kí hiệu nhé.

 

 

Mình chưa có lời giải đẹp, chỉ có lời giải brute-force với sự hỗ trợ của máy tính.

Câu trả lời cho bài toán là: phương trình trên không có nghiệm nguyên. Chương trình được viết bằng Python sau đây giúp kiểm tra xem $f(x, y) = {(x + y)}^{3} + x^{3} + y^{3} + 3x^{2}y^{2} - 1$ có khi nào chia hết cho 9 không (thử tất cả các số dư có thể có khi chia $x$, $y$ cho 9)

Thật sự, mò ra được số 9 cũng là một may mắn.

def fn(x, y, mod):
    return (x ** 3 + y ** 3 + (x + y)**3 + 3 * x**2 * y**2 - 1) % mod

mod = 9
for i in range(0, mod):
    for j in range(0, mod):
        if fn(i, j, mod) == 0:
            print(f"(x,y) = ({i},{j})")

Một phân số có tử hoặc mẫu là số thập phân thì có được gọi là số hữu tỉ không ạ ( theo chương trình sách kết nối toán 7) 

 

Mình trả lời câu hỏi của bạn. Câu trả lời dưới đây dùng đến kiến thức mà bạn có lẽ chưa học đến (nhưng trong nội dung sách bạn nêu thì có nhé).

 

Đầu tiên mình nhắc lại định nghĩa.

 

Hai thuật ngữ cần được làm rõ ở đây là phân số và số hữu tỉ. Theo chương trình phổ thông hiện nay (mình đã ngó qua bộ sách lớp 6 tập 2 và lớp 7 tập 1), sách chỉ cho biết rằng kí hiệu $\frac{a}{b}$ biểu thị một phân số (trong đó $a, b$ là các số nguyên và $b\ne 0$). Trong đó số ở trên dấu gạch ngang là tử số, số ở dưới dấu gạch ngang là mẫu số. Còn số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số. Một bên là cái kí hiệu (phân số), còn một bên là số (số hữu tỉ).

 

Trả lời cho câu hỏi: Nếu tử số hoặc mẫu số là số thập phân (mình sẽ hiểu là tử số và mẫu số không phải số nguyên) thì đó có phải phân số không? (cái này khác câu hỏi của bạn chút)

 

Theo định nghĩa đó, nếu tử số hoặc mẫu số không phải số nguyên (chẳng hạn $0.5$, $1.4142$, $3.14$,...) thì "phân số" đó đã vi phạm định nghĩa rồi, tức là kí hiệu đó không hợp lệ. Túm lại, đó không phải phân số.

 

Để thuận tiện trả lời, mình gọi cái kí hiệu phân số mà ít nhất tử số hoặc mẫu số không phải số nguyên là một "phân số không hợp lệ".

 

Trả lời cho câu hỏi: Nếu tử số hoặc mẫu số là số thập phân (mình sẽ hiểu là tử số và mẫu số không phải số nguyên) thì đó có phải số hữu tỉ không? (cái này là câu hỏi của bạn)

 

Câu trả lời là lúc có, lúc không phải. Bởi vì

• (trường hợp có) Nếu tử số hoặc mẫu số là số có phần thập phân hữu hạn (chẳng hạn $0.57$ hay $2.0$), hoặc là số có phần thập phân vô hạn và tuần hoàn (chẳng hạn $\frac{1}{3} = 0.333\ldots = 0.(3)$) thì "phân số không hợp lệ" là số hữu tỉ. Ví dụ của bạn là $\frac{3.5}{7} = \frac{1}{2}$ là một số hữu tỉ.
• (trường hợp không phải, mình chỉ nêu ví dụ, chứ không bao hết mọi trường hợp) Nếu tử số là số có phần thập phân vô hạn không tuần hoàn (số vô tỉ, bạn sẽ học trong học kì 1 lớp 7 thôi), còn mẫu số là số nguyên thì "phân số không hợp lệ" không phải số hữu tỉ (và là số vô tỉ).

Tại hạ vô tình đi ngang qua đây khi đang dạo qua kết quả truy vấn của Toán đàn. Thấy có bất bình, tranh luận trước đây rất sôi nổi về một đạo phái mà bản thân từng theo học nên không thể nhắm mắt làm ngơ.

 

Thôi, không ẩn dụ gì nữa. Em xin dành lời cảm ơn tới anh Hiền và anh Bằng đã nói lên nỗi niềm của nhiều cựu học sinh theo học giáo viên Trần Quang Hùng. Trước đây, vào giai đoạn trước khi thi vào lớp 10, em chỉ nhắm vào HSGS, vì đam mê, mà đâu biết đến khi vào lại lạc lối. Không rõ các bạn đồng niên 2000 có như vậy không? Ở trường chuyên, học trên lớp không khác nhiều với trường không chuyên, cái khác biệt là lớp đội tuyển và lớp dự tuyển. Em đã từng rất hi vọng vào những kiến thức Toán học mà mình có thể sẽ được dạy ở đây, nhưng đã thất vọng. Với hình học, dường như giáo viên không dạy gì, tất cả những gì giáo viên làm là: đưa ra một danh sách kiến thức lý thuyết, rồi ra bài tập, những bài tập chằng chịt đường và dường như chỉ có một hướng đi là một định lý/bổ đề/bài toán quen thuộc nhưng xa lạ với em. Em đã thấy ngay từ khi đó rằng có gì đó sai sai khi học những thứ này. Không dừng lại ở đó, khi đặt câu hỏi: "Thưa thầy, tại sao lại làm như thế này ạ?", thầy đáp lại: "Không được hỏi như thế." Em đã thấy rằng ở đây, những ai đã giỏi sẵn, đã biết sẵn thì sẽ học được, còn em chưa biết những kĩ thuật và kết quả đó thì chẳng được giải đáp và bị bỏ mặc. Bạn cùng lớp cũng có đến mấy bạn thần đồng điển hình: giải bài rất giỏi, nhưng không giải thích được tại sao giải như vậy, và khi em hỏi thì lại nói em kém. Chỉ sau một năm thôi, em rời lớp dự tuyển, rồi về sau theo ngành khác khi học đại học. Chỉ có điều, em vẫn đôi khi nghĩ rằng giá như được định hướng tầm nhìn xa hơn - một chủ đề toán học hiện đại nào đó chẳng hạn, thay vì tập trung vào những nội dung sơ cấp, thì có thể em vẫn theo học ngành Toán khi học đại học.

 

Thấm thoắt đã 5 năm. Năm 2018 em lên đại học, cũng là năm chủ đề này không có thêm trả lời. Nhưng em nghĩ tính thời sự của điều mà anh Hiền và anh Bằng nhắc tới vẫn còn đó. Thời đại này ngày một hỗn loạn. Thi trắc nghiệm làm học sinh tư duy tệ hơn giai đoạn thi tự luận nhiều. Mặt trận trung học phổ thông quốc gia tệ đi đã đành. Mặt trận thi học sinh giỏi cũng vẫn còn nhiều bất cập. Những giáo viên, những học sinh với tình yêu mù quáng dành cho toán sơ cấp, cho IMO vẫn chỉ tập trung làm những gì mình làm được thay vì làm những gì ý nghĩa, và luôn để ngoài tai những lời góp ý từ những người thực sự trong ngành. Bạn Nguyễn Duy Khương ngày nào còn tranh luận ở đây (em lẫn với một bạn khác) giờ đã bỏ học HUS từ sớm để về làm giáo viên, lập ra một đạo phái con của đạo phái mạng nhện. Nhìn và nghĩ mà thấy lực bất tòng tâm với thời đại.

 

Từng đọc trên diễn đàn toán học một topic rất sôi nổi là "Học gì ở toán phổ thông". Hình như những dự định của các anh không còn tiếp tục? Hẳn là mọi người có lí do và kế hoạch riêng. Mong các anh sẽ tiếp tục. Những cố gắng của các anh có thể giúp được ai đó, dù chỉ một thôi, cũng là rất đáng quý.

Mình viết một chương trình Python 3.

 

Ý tưởng trong đoạn code đi kèm là memoize tam giác Pascal bằng đệ quy với công thức Pascal thay vì dùng công thức hệ số nhị thức.

 

Dùng tam giác Pascal thì chỉ cần cộng. Dùng công thức hệ số nhị thức còn phải nhân nữa, nhân rất nhiều. Mình đã chạy thử với input như bên dưới, chỉ mất vài giây trong thời gian thực tế.

def partial_binomial(n: int, m: int) -> int:
    if m > n:
        return 0
    elif m == n:
        return 2 ** n
    else:
        # key: (int, int), value: int
        # key is an int 2-tuple, value is an int
        binomials = dict({})
        def calculate_binomial(n: int, k: int) -> None:
            for r in range(0, n+1):
                if r == 0:
                    binomials[(0, 0)] = 1
                elif r == 1:
                    binomials[(1, 0)] = 1
                    binomials[(1, 1)] = 1
                else:
                    for s in range(0, r+1):
                        if s == 0:
                            binomials[(r, s)] = 1
                        elif r-1 < s:
                            binomials[(r, s)] = binomials.get((r-1,s-1)) 
                        else:
                            binomials[(r, s)] = binomials.get((r-1,s-1)) + binomials.get((r-1,s))

        calculate_binomial(n, m)
        sum = 0
        for j in range(0,m+1):
            sum = sum + binomials.get((n, j))
        return sum

print(partial_binomial(1000, 223))

Mình đoán ý bạn ở câu hỏi trên là tổng đó có một công thức dạng đóng nào không, theo kiểu $\sum^{n}_{k=1} k = \frac{n(n+1)}{2}$. Câu trả lời là: đến nay vẫn chưa có một công thức dạng đóng nào cho tổng $\displaystyle\sum^{m}_{i=0}\binom{n}{i}$.

 

Mình dám nói là chưa có công thức dạng đóng nào vì mình đã tìm kiếm hồi lâu với Google, theo câu tìm kiếm: "partial sum of binomial coefficients". Mặt khác, tổng trên có ý nghĩa thế này: tổng các chuỗi nhị phân độ dài $n$, trong đó số $1$ xuất hiện không quá $m$ lần. Với tổng trên, người ta quan tâm đến cận trên của nó, chưa tim ra (và rất chắc là không có) công thức dạng đóng. "Chấp niệm" này nên bỏ qua thôi. Trong thực tế, có nhiều thứ không có công thức dạng đóng.

 

Còn để tính nhanh, cũng chưa có một cách tính trên giấy mà hiệu quả, ngoại trừ rất ít trường hợp đặc biệt của $m$. Cách tính nhanh nhất hiện giờ là viết một chương trình nhỏ (một hàm) để tính tổng trên. Nếu bạn làm theo cách này thì hãy cẩn thận với giai thừa vì giai thừa tăng rất nhanh.

 

Mình nghĩ là bạn có một mục tiêu hoặc vấn đề toán học/khoa học nào khác để mà dẫn tới nhu cầu tính tổng trên một cách hiệu quả. Nếu là vậy, việc thảo luận vấn đề gốc có thể sẽ có ích hơn, bởi biết đâu lại có một hướng đi không cụt.

Cảm ơn bạn đã trả lời và nêu suy nghĩ. Mình đồng tình với những suy nghĩ đó.

 

Tài liệu này rõ ràng hướng tới việc ôn tập thi trắc nghiệm (kì thi THPT quốc gia). Mình nghĩ là tài liệu này được nếu mục đích của người sử dụng là ôn thi THPT quốc gia.

 

Nhưng nếu bắt bẻ và soi xét thì vẫn có chỗ để nói. Chẳng hạn ở phần định nghĩa hàm tuần hoàn trong tài liệu có viết: "Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó." Phát biểu chặt hơn là: "Nếu tồn tại số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên thì số T được gọi là chu kì cơ sở của hàm số tuần hoàn đó." Tại sao lại vậy? Vì

• Một hàm số có thể có nhiều chu kì, như hàm số $\sin$ có chu kì $2\pi, 4\pi, 6\pi\ldots$ còn chu kì cơ sở của hàm này là $2\pi$. 
• Có những hàm tuần hoàn nhưng không có chu kì cơ sở. Một ví dụ cho điều này là hàm hằng số $c(x) = 0$ với miền xác định là tập số thực. Có các hàm khác tuần hoàn mà không có chu kì cơ sở, như là hàm Dirichlet (nếu học ngành Toán, ở môn giải tích thực, bạn sẽ gặp hàm này) nhưng hàm này sẽ không đời nào xuất hiện trong kì thi THPT quốc gia (nếu một ngày nó xuất hiện, toàn bộ ngành Toán trong nước sẽ dậy sóng).

Cũng như nhiều tài liệu nhằm ôn thi THPT quốc gia, tài liệu này tập trung vào hai thứ: các kết quả và bài tập, nhưng thiếu giải thích (rất nhiều). Mình đánh đồng các tài liệu này: chỉ liệt kê lại các kiến thức đã có ở sách giáo khoa cơ bản và nâng cao, chia thành từng phần rất nhỏ, từng miếng (mánh). Tài liệu khá tràn lan và tiểu tiết, thà rằng học từ gốc. Mình kể chuyện của bản thân: Khi còn học THPT, mình không học thêm Toán và chỉ dùng đến ba loại sách: sách giáo khoa cơ bản, nâng cao, sách chuyên toán (tài liệu chuyên toán đại số, giải tích, hình học 10, 11, 12). Chỉ như vậy mình đã thấy ổn áp với việc thi THPT quốc gia, và ít năm về sau có vài lần giúp người quen ôn thi.

 

Cuối cùng, việc bây giờ bạn mới thích toán không phải là muộn. À mà cũng còn phụ thuộc vào mục đích học Toán. Mình đến lúc còn hai năm là tốt nghiệp đại học mới bắt đầu tự học Toán qua sách bậc đại học. Nếu bạn có thắc mắc gì về định hướng với Toán thì có nhiều thành viên diễn đàn có thể giải đáp cho bạn (tất nhiên là ở một chủ đề khác).

Em không hiểu phần này lắm. Tại sao tập xác định phải vô hạn? Từ đâu lại suy ra được tính chất như thế ạ? Khoảng cách liên tiếp dần tiếp dần tới không là gì? Em cũng chưa học phần đạo hàm không biết có liên quan đến phần này không? Các anh chị giải thích giúp em với chứ e nghĩ mãi chưa thông ạ!! Cảm ơn đã đọc bài viết này 

 

Bài viết của bạn làm mình quan ngại về tài liệu mà bạn dùng. Bạn có thể cho biết những định nghĩa, dấu hiệu mà bạn nêu có trong tài liệu nào không? Nếu có thể dẫn link ra là tốt nhất.

 

Mình nêu lại định nghĩa hàm số tuần hoàn (tuy nhiên hạn chế lại, mình xét hàm một biến và nhận giá trị thực). Bạn nên xem định nghĩa hàm số/ánh xạ trước đã. Định nghĩa đó bao gồm tập nguồn, tập đích, và "biểu thức".

 

Hàm số $f: D\to \mathbb{R}$, trong đó $D\subseteq\mathbb{R}$ là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số $p\ne 0$ sao cho $f(x + p) = f(x)$ với mọi $x\in D$.

 

Ví dụ:

• Hai hàm $\sin, \cos: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là hàm tuần hoàn vì $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$, $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.
• Hàm $\tan: \mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k\in\mathbb{Z} \right\} \to \mathbb{R}$ là hàm tuần hoàn vì $\tan(x + \pi) = \tan(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.
• Một hàm hằng số $c: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ với biểu thức là $c(x) = 1$ cũng là hàm tuần hoàn vì $c(x + 0.1) = c(x)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.

Bây giờ mình trả lời các câu hỏi của bạn.

 

Tại sao tập xác định phải vô hạn?

Trả lời: $f: D\to \mathbb{R}$ là hàm tuần hoàn với chu kỳ $p$ thì $f(x) = f(x + p) = f(x + 2p) = \cdots = f(x + np)$ với $n$ là số tự nhiên. Bạn thấy đấy, có vô hạn đối số để đưa vào $f$ mà: $x, x+p, x+2p, \ldots$. Thậm chí, dãy này không bị chặn - Tức là nếu lấy một số cụ thể, kí hiệu là $C$ đi, thì sẽ tồn tại số tự nhiên $n$ để mà $x + np$ lớn hơn $C$. Vậy nên nếu một hàm tuần hoàn, tập xác định của hàm đó có vô hạn phần tử.

 

Khoảng cách liên tiếp dần tiếp dần tới không là gì? Em cũng chưa học phần đạo hàm không biết có liên quan đến phần này không?

Trả lời: Qua câu hỏi này, mình đoán rằng bạn chưa học khái niệm giới hạn. "dần tới không" là cách phát biểu trực giác chứ chưa phải là chính xác về mặt toán học cho giới hạn. Và giới hạn được sử dụng để định nghĩa đạo hàm. Mình đưa ra định nghĩa giới hạn của dãy số:

Dãy số thực ${\{x_{n}\}}^{\infty}_{n=1}$ có giới hạn là số thực $x$ nếu với mỗi số thực dương $\varepsilon$, tồn tại một số tự nhiên $N(\varepsilon)$ chỉ phụ thuộc vào $\varepsilon$ sao cho: nếu $n \geq N(\varepsilon)$ thì $\left\vert x_{n} - x \right\vert < \varepsilon$. Khi đó, người ta còn phát biểu là dãy ${\{x_{n}\}}^{\infty}_{n=1}$ tiến về $x$.

Thông thường, với người tiếp xúc với định nghĩa này lần đầu, thực sự nó không dễ tiêu hóa cho lắm. Nhưng sự khó tiêu hóa này là bình thường nhé.

Quay lại với ví dụ bạn đưa ra, khoảng cách liên tiếp dần tới không nghĩa là dãy ${\{a_{n}\}}^{\infty}_{n=1}$ có giới hạn bằng $0$, trong đó $a_{n} = x_{n+1} - x_{n}$ và $x_{n}, x_{n+1}$ là hai nghiệm liên tiếp được đánh số $n, n+1$ trong ví dụ bạn đưa ra. Nếu chỉ quan tâm đến tính tuần hoàn thì chưa cần để ý đến đạo hàm, mình chưa bao giờ thấy.

 

 

Bình luận chủ quan: Cách dạy giải tích ở trong nước hơi đáng sợ. Nội dung giải tích có trong chương trình học Đại học, được đưa xuống THPT, đặc biệt là trong chương trình dạy học sinh giỏi, nhưng thường là không được đầy đủ lắm và chỉ nhắm vào bài toán tính giới hạn dãy số. Muốn học giải tích cẩn thận, nên tìm giáo trình bậc đại học để học từ đó. Mình không biết có sách giải tích tiếng Việt nào dễ học cho người mới học không (mình từng thử ở cấp ba và đại học, đều không hài lòng), nhưng nếu bằng tiếng Anh thì mình có hai đề xuất: Calculus (tác giả Michael Spivak) hoặc Understanding Analysis (tác giả Stephen Abbott).