Cho đoạn thẳng PQcố định. Tìm tập hợp (L) gồm những điểm sao cho tỉ số khoảng cách từ mỗi điểm đó đến P và Q = m/n, m và n là độ dài 2 cạnh cho trc
Phần thuận:
Gọi M là 1 điểm thuộc tập hợp (L) <=> MP/MQ = m/n
Trên đường thẳng PQ, tồn tại 2 điểm D và D' chia đoạn thẳng PQ theo tỉ số m/n đã cho:
D chia đoạn PQ và D' chia ngoài
Ta có: DP/DQ = D'P/D'Q = MP/MQ (=m/n)
=> MD và MD' là phân giác ngoài của góc PMQ
=> góc DMD' = 90^0 => M nằm trên đường tròn dk DD'
Phần đảo:
Lấy M tùy ý nằm trên duog tròn dk DD'
Ta cmr: MP/MQ = m/n
=> (L) là đường tròn dk DD', gọi là đường tròn Apollonius

làm sao chứng minh MP/MQ=m/n bằng kiến thức THCS ạ?

Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O. Một cát tuyến quay quanh O cắt 4 đường tròn (AOB), (BOC), (COD), (DOA) tại X, Y, Z, T. Chứng minh XY = ZT.

mng ơi bài này làm thế nào vậy ạ??

Chế tiếp!
Cho 2 đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại A, B. 2 cát tuyến x, y quay quanh A và B và song song nhau, x cắt (O1), (O2) tại M, N; y cắt (O1), (O2) tại P, Q. Gọi I, K là trung điểm MN, PQ. Tìm quỹ tích trung điểm của IK khi 2 cát tuyến quay quanh A, B.

bài này khá đơn giản khi ta chỉ cần chứng minh MNPQ là hình bình hành. Mình mới nghĩ ra cách dùng tam giác đồng dạng.Gọi C là giao điểm của MQ và NP thì CMP đồng dạng CNQ...

1.

ý mình hỏi là làm ntn để biết là cần phải xét tích 4a.abc? 

2/Gọi y là nghiệm chung.Suy ra: y^{2}+ay+6=0 y^{2}+by+12=0.
=> 2 y^{2} +(a+b)y+18=0
Pt có nghiệm khi và chỉ khi: = (a+b)^{2}-144 0
=>GTTĐ a+b 12
Lại có S GTTĐa+b
Nên S 12
Dấu bằng xảy ra thì bạn tự tìm nhé!

thế này thì chỉ tìm đc a+b=12 thôi hả bn?

Giả sử pt có nghiệm hữu tỉ thì =b^2-4ac=k^2 (k Z)=>4ac=b^2-k^2
Ta có:4a.abc=4a(100a+10b+c)=400a^2+40ab+4ac=400a^2+40ab +b^2-k^2=(20a+b)^2-k^2=(20a+b-k)(20a+b+k)
Vì abc nguyên tố nên: (20a+b-k) abc
hoặc:
(20a+b+k) abc
Dễ thấy abc>(20a+b-k) hoặc abc> (20a+b+k)
Suy ra đpcm.

làm sao để biết phải xét 4a.abc thế ạ???

Cho hai số thực dương a,b. Ký hiệu $A=\dfrac{a+b}{2},B=\sqrt{ab}. $
CMR: $B<\dfrac{(a-b)^2}{8(A-B)}<A.$

mình nghĩ đề này phải là B$\leq$$\frac{(a-b)^{2}}{8(A-B)}$$\leq$A

mình nhầm chút: Thầy Hoàng Minh Quân chỉ trình bày lời giải còn lời giải là của nhà toán học Blundon nhé=)

Mình đang tìm hiểu về bđt blundon và gerretsen thì mình có thấy cách chứng minh bđt blundon của nhà toán học cùng tên như sau: Tam giác ABC với BC=a, AB=c, AC=b và R,r,p lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tg ABC và nửa chu vi tg ABC.
Đặt $X=a+b+c=2p
, Y=abc=4rRp
, Z=ab+bc+ca=r^{2}+p^{2}+4Rr$
thực hiện biến đổi và rút gọn ta có: 
$(a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}=X^{2}Y^{2}-4Y^{3}-4X^{3}Z+18XYZ-27Z^{2}=-4r^{2}[(p^{2}-2R^{2}-10Rr+r^{2})^{2}-4R(R-2r)^{3}]$
mà VT$\geq 0$ nên do đó:$(p^{2}-2R^{2}-10Rr+r^{2})^{2}\leq 4T(R-2r)^{2}$
từ đó suy ra đpcm
Mình thắc mắc ở đoạn thực hiện biến đổi và rút gọn là làm sao ta biết cần cm đẳng thức đó đển chứng minh.Có ai biết thì giải đáp giúp mình với=(