Đến nội dung

MHN nội dung

Có 172 mục bởi MHN (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#744418 Cho p là số nguyên tố có dạng 4k+1 (k là số tự nhiên). Chứng minh rằng tồn tạ...

Đã gửi bởi MHN on Hôm qua, 17:43 trong Số học

Bài toán đã có lời giải ở đây.




#744402 Chứng minh rằng: $$\frac{a}{b}+\frac...

Đã gửi bởi MHN on 27-03-2024 - 17:31 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực dương $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c=7$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+abc\geq ab+bc+ca-2$$




#744390 Chứng minh rằng:$$\left ( \frac{b}{a+c...

Đã gửi bởi MHN on 26-03-2024 - 23:24 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực dương $a;b;c$. Chứng minh rằng:$$\left ( \frac{b}{a+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{a+b} \right )^2\geq \frac{b^2-ac+c^2}{a^2+bc}$$



#744389 Chứng minh rằng: $F;H;K$ thẳng hàng.

Đã gửi bởi MHN on 26-03-2024 - 23:21 trong Hình học

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$; $AC$ cắt $BD$ tại $E$; $AB$ cắt $CD$ tại $F$. Các đường cao $AA';DD'$ của $\Delta EAD$ cắt nhau tại $H$, các đường cao $BB';CC'$ của $\Delta EBC$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh rằng: $F;H;K$ thẳng hàng.



#744364 Chứng minh rằng: $I;J;O$ thẳng hàng.

Đã gửi bởi MHN on 25-03-2024 - 23:16 trong Hình học

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(I)$ bàng tiếp $\Delta ABC$ trong $\widehat{BAC}$ tiếp xúc với các đường thẳng $BC;AC;AB$ tại $M;P;N$. Gọi $J$ là tâm đường tròn Ơ-le của $\Delta MNP$. Chứng minh rằng: $I;J;O$ thẳng hàng.



#744337 Chứng minh rằng : $\sqrt{a^2+2 b^2}+\sqrt{b^2+2...

Đã gửi bởi MHN on 24-03-2024 - 10:06 trong Bất đẳng thức và cực trị

Với $a,b,c$ là các số thực không âm,chứng minh rằng : $\sqrt{a^2+2 b^2}+\sqrt{b^2+2 c^2}+\sqrt{c^2+2 a^2} \geqslant \sqrt{3}(a+b+c)$

Bài này có một cách khác đó là sử dụng BĐT quen thuộc: $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$

Ta có: $a^2+2b^2=a^2+b^2+b^2\geq \frac{(a+b+b)^2}{3}\Rightarrow \sqrt{a^2+2b^2}\geq \frac{a+2b}{\sqrt{3}}$

TT: $\sqrt{b^2+2c^2}\geq \frac{b+2c}{\sqrt{3}};\sqrt{c^2+2a^2}\geq \frac{c+2a}{\sqrt{3}}.$

$\Rightarrow VT\geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(a+b+c).$

Dấu $'='$ xảy ra khi $a=b=c.$




#744334 Chứng minh rằng : $\sqrt{a^2+2 b^2}+\sqrt{b^2+2...

Đã gửi bởi MHN on 23-03-2024 - 23:53 trong Bất đẳng thức và cực trị

bài tương tự
chứng minh $\sqrt{a^{2}+(a+b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(b+c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(c+a)^{2}}\geq \sqrt{5}(a+b+c)$

Áp dụng BĐT Minkowski ta có:
$\sqrt{a^{2}+(a+b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(b+c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(c+a)^{2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(a+b+b+c+c+a)^2}=\sqrt{5}(a+b+c)$
Dấu $'='$ xảy ra khi $a=b=c$



#744331 $\frac{xy}{3y+1}$

Đã gửi bởi MHN on 23-03-2024 - 22:29 trong Bất đẳng thức và cực trị

Ta có:$P=\frac{xy}{3y+1}\Leftrightarrow P^2=\frac{x^2y^2}{(3y+1)^2}$
$x^2y^2+2y+1=0\Leftrightarrow x^2y^2=-2y-1$$\Rightarrow P^2=\frac{-2y-1}{(3y+1)^2}\Leftrightarrow P^2=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{-2y-1}{(3y+1)^2}=\frac{1}{3}-\frac{(3y+2)^2}{3(3y-1)^2}\leq \frac{1}{3}$
$\Rightarrow \frac{-1}{\sqrt{3}}\leq P\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$
Vậy $Min$ $P$$=\frac{-1}{\sqrt{3}}$ khi $x=\frac{-\sqrt{3}}{2};y=\frac{-2}{3}$
$Max$ $P$$=\frac{1}{\sqrt{3}}$ khi $x=\frac{\sqrt{3}}{2};y=\frac{-2}{3}$



#744317 Tìm số thực $A$ lớn nhất sao cho: $\sum \frac{1...

Đã gửi bởi MHN on 23-03-2024 - 11:01 trong Bất đẳng thức và cực trị

Tìm số thực $A$ lớn nhất sao cho: $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}> A$ luôn đúng với mọi số thực $x;y;z$ thỏa mãn $x+y+z=xy+yz+zx> 0.$



#744315 Chứng minh rằng:$\sum \frac{x^3}{a(b^2+c^2)...

Đã gửi bởi MHN on 22-03-2024 - 23:34 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số dương $a;b;c$ và $x;y;z$ là một hoán vị của $a;b;c$. Chứng minh rằng:$$\frac{x^3}{a(b^2+c^2)}+\frac{y^3}{b(c^2+a^2)}\frac{z^3}{c(a^2+b^2)}\geq \frac{3}{2}$$



#744314 $3\sqrt{cosA}+4\sqrt{cosB}+5\sqrt...

Đã gửi bởi MHN on 22-03-2024 - 22:24 trong Bất đẳng thức và cực trị

$R$ và $r$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp à bạn?



#744309 $$\sqrt{\frac{a}{a+b}}+...

Đã gửi bởi MHN on 22-03-2024 - 21:03 trong Bất đẳng thức và cực trị

Một cách khác.
https://diendantoanh...leq-frac3sqrt2/



#744301 $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2\...

Đã gửi bởi MHN on 22-03-2024 - 16:57 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Có câu này $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2 & \\x^8(x^2+1)+y^8(y^2+1)=4 & \end{matrix}\right.$ giống form đề kia nhưng dễ hơn.



#744282 Chứng minh rằng: $\frac{AH}{A'H'}=...

Đã gửi bởi MHN on 20-03-2024 - 23:46 trong Hình học

Theo gợi ý của anh perfectstrong thì ta có lời giải sau:
Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Kẻ đường kính $AD$; Hạ $OM\bot BC$
Ta có:$\widehat{BAC}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {BC}^{\displaystyle\frown}$;$\widehat{BOC}=$sđ$\mathop {BC}^{\displaystyle\frown}$$\Rightarrow \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$
$OM\bot BC\Rightarrow BM=MC\Rightarrow \widehat{MOB}=\widehat{MOC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$
$\Rightarrow \widehat{BOM}=\widehat{BAC}$; $\widehat{OMB}=\widehat{AEB}=90^o\Rightarrow \Delta ABE\sim \Delta OBM$
$\Rightarrow \frac{OM}{BM}=\frac{AE}{BE}=\cot\widehat{BAC}$
$BHCD$ là hình bình hành$\Rightarrow HM=MD$
$\Rightarrow OM$ là đường trung bình $\Delta AHD\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AH$$\Rightarrow \frac{OM}{BM}=\frac{1}{2}\frac{AH}{BC}\Rightarrow \frac{AE}{BE}=\frac{1}{2}\frac{AH}{BC}\Rightarrow \frac{AH}{BC}=2\cot\widehat{BAC}$
Tương tự với $\Delta A'B'C'$ có $\frac{A'H'}{B'C'}=2\cot\widehat{B'A'C'}$
$\Rightarrow \frac{AH}{BC}=\frac{A'H'}{B'C'}$
Screenshot 2024-03-20 233150.jpg
P/s: Bổ đề này đã được nhắc đến trong topic này:https://diendantoanh...1h-2-right-224/ nhưng chưa chứng minh được.



#744270 Chứng minh rằng: $\frac{AH}{A'H'}=...

Đã gửi bởi MHN on 20-03-2024 - 16:39 trong Hình học

Điểm $O$ và $M$ ở đâu vậy ạ.



#744257 Chứng minh rằng: $\frac{AH}{A'H'}=...

Đã gửi bởi MHN on 19-03-2024 - 22:22 trong Hình học

Cho $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ có $H$ và $H'$ lần lượt là trực tâm; $\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}$.

Chứng minh rằng: $\frac{AH}{A'H'}=\frac{BC}{B'C'}.$




#744213 Chứng mình rằng: $\sum (2a+b)\sqrt{\frac{b...

Đã gửi bởi MHN on 17-03-2024 - 21:23 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số dương $a;b;c$. Chứng minh rằng: $$(2a+b)\sqrt{\frac{b}{c+a}}+(2b+c)\sqrt{\frac{c}{a+b}}+(2c+a)\sqrt{\frac{a}{b+c}}>2(a+b+c).$$



#744209 Giải phương trình $(3x^2+4x+6)\sqrt{3x^2+4x+5}=27x^3+3x...

Đã gửi bởi MHN on 17-03-2024 - 14:53 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 4:
ĐK:...
$(x^3-3x+1)\sqrt{x^2-1}+x^4-3x^2+x+1=0\Leftrightarrow -(x^3-3x+1)\sqrt{x^2-1}-x^4+3x^2-x-1=0$
$\Leftrightarrow (x^2-1)-(x^3-3x+1)\sqrt{x^2-1}-(x^4-2x^2+x)=0$
Đặt:$\sqrt{x^2-1}=a\geq 0$
$PT\Rightarrow a^2-(x^3-3x+1)a-(x^4-2x^2+x)=0$
Xem $PT$ trên là $PT$ bậc $2$ ẩn $a$:
$\Delta =(x^3-3x+1)^2+4(x^4-2x^2+x)=x^6+9x^2+1-6x-6x^4+2x^3+4x^4-8x^2+4x$
$=x^6-2x^4+2x^3+x^2-2x+1=(x^3-x+1)^2$
$\Rightarrow a_{1}=x^3-2x+1;a_{2}=-x$
...



#744198 Giải phương trình $-2x^3+10x^2-17x+8=2x^2\sqrt[3]{5x-x^2}...

Đã gửi bởi MHN on 16-03-2024 - 23:00 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Câu 2:
Xét $x=0$ thấy không phải là nghiệm của phương trình.
Xét $x\neq 0$; chia cả $2$ vế cho $x^3$ được:
$-2+\frac{10}{x}-\frac{17}{x^2}+\frac{8}{x^3}=2\frac{\sqrt[3]{5x-x^3}}{x}=2\sqrt[3]{\frac{5}{x^2}-1}$
Đặt:$\frac{1}{x}=a$
$PT\Rightarrow 8a^3-17a^2+10a-2=2\sqrt[3]{5a^2-1}\Leftrightarrow 8a^3-12a^2+6a-1-5a^2+1+4a-2=2\sqrt[3]{5a^2-1}$
$\Leftrightarrow \left ( 2a-1 \right )^3-\left ( 5a^2-1 \right )+2(2a-1)=2\sqrt[3]{5a^2-1}$ $\Leftrightarrow \left ( 2a-1-\sqrt[3]{5a^2-1} \right )\left [ (2a-1)^2+(2a-1)\sqrt[3]{5a^2-1}+\left ( \sqrt[3]{5a^2-1} \right )^2 \right ]+2\left ( 2a-1-\sqrt[3]{5a^2-1} \right )=0$
$...$



#744196 Giải phương trình $-2x^3+10x^2-17x+8=2x^2\sqrt[3]{5x-x^2}...

Đã gửi bởi MHN on 16-03-2024 - 22:02 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Câu 2 đề đúng là $-2x^3+10x^2-17x+8=2x^2\sqrt[3]{5x-x^3}$ chứ



#744181 Chứng minh rằng:$8(2-a-b)(2-b-c)(2-c-a)\geq a^2b^2c^2$

Đã gửi bởi MHN on 15-03-2024 - 22:40 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực không âm $a;b;c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=2$. Chứng minh rằng:$$8(2-a-b)(2-b-c)(2-c-a)\geq a^2b^2c^2$$



#744152 Giải phương trình $(3x^2+4x+6)\sqrt{3x^2+4x+5}=27x^3+3x...

Đã gửi bởi MHN on 14-03-2024 - 16:52 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Câu 3)
$7x^2-10x+14=5\sqrt{x^4+4}\Leftrightarrow 7x^2-10x+14=5\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$
$\Leftrightarrow 6(x^2-2x+2)+(x^2+2x+2)=5\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$
Đặt:$\sqrt{x^2-2x+2}=a;\sqrt{x^2+2x+2}=b$
$\Rightarrow 6a^2+b^2=5ab\Leftrightarrow 6a^2-5ab+b^2=0\Leftrightarrow (2a-b)(3a-b)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2a=b\\3a=b \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left[ \begin{matrix}2\sqrt{x^2-2x+2}=\sqrt{x^2+2x+2} \\ \\3\sqrt{x^2-2x+2}=\sqrt{x^2+2x+2} \end{matrix} \right.$
Rồi xét các trường hợp.



#744151 Giải phương trình $(3x^2+4x+6)\sqrt{3x^2+4x+5}=27x^3+3x...

Đã gửi bởi MHN on 14-03-2024 - 16:26 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Câu 2)

ĐK:$x\geq \frac{-1}{3}$
$x^3+3x^2+4x+2=(3x+2)\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1+x+1=(3x+1+1)\sqrt{3x+1}$
$\Leftrightarrow (x+1)^3+(x+1)=(3x+1)\sqrt{3x+1}+\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow (x+1)^3+(x+1)=\sqrt{(3x+1)^3}+\sqrt{3x+1}$
Đặt:$x+1=a;\sqrt{3x+1}=b$ $(b\geq 0)$
$PT\Leftrightarrow a^3+a=b^3+b\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)-(a-b)=0\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2-1)=0$
$\Rightarrow \left ( x+1-\sqrt{3x+1} \right )\left [ x^2+2x+1+(x+1)\sqrt{3x+1}+3x+1-1 \right ]=0$
$\Leftrightarrow \left ( x+1-\sqrt{3x+1} \right )\left [ x^2+5x+1+(x+1)\sqrt{3x+1} \right ]=0$
$\Rightarrow x+1=\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow x^2+2x+1=3x+1\Leftrightarrow x^2-x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0(tm)\\x=1(tm) \\ \end{matrix} \right.$




#744150 Chứng minh rằng: $AI=r.$

Đã gửi bởi MHN on 14-03-2024 - 15:24 trong Hình học

Cách khác:

Gọi $D$ là giao điểm của $OA$ với đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

Gọi $E$ là tiếp điểm của đường tròn $(O)$ với $AB$$\Rightarrow OE=r$
$AO$ là phân giác $\widehat{BAC}$$\Rightarrow \mathop {BD}^{\displaystyle\frown}=\mathop {DC}^{\displaystyle\frown}\Rightarrow BD=DC$
$\Rightarrow MD\bot BC;MD//AH\Rightarrow \frac{AI}{MD}=\frac{AO}{OD}$
Ta có:$\widehat{BOD}=\widehat{BAO}+\widehat{ABO}=\widehat{CBD}+\widehat{OBC}=\widehat{OBD}$$\Rightarrow \Delta OBD$ cân tại $D$

$\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\mathop {BD}^{\displaystyle\frown}=\frac{1}{2}\mathop {CD}^{\displaystyle\frown}=\widehat{DBC}$

$\widehat{AEO}=\widehat{BMD}=90^o\Rightarrow \Delta AOE\sim \Delta BDM(g.g)$$\Rightarrow \frac{AO}{BD}=\frac{OE}{MD}$

$\Rightarrow \frac{AI}{MD}=\frac{AO}{OD}=\frac{AO}{BD}=\frac{OE}{MD}$

$\Rightarrow AI=OE=r.$

Screenshot 2024-03-14 152418.jpg




#744144 Chứng minh rằng: $AI=r.$

Đã gửi bởi MHN on 14-03-2024 - 11:41 trong Hình học

Cho $(O;r)$ là đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$, $M$ là trung điểm $BC$; $MO$ cắt đường cao $AH$ của $\Delta ABC$ tại $I$. Chứng minh rằng: $AI=r.$