Vì (O)=(O') nên R=R'=> OA=OB=O'A=O'B

=> $\bigtriangleup OAB=\bigtriangleup O'AB$

=>$\angle AOB=\angle AO'B$

=> ĐPCM

GS a=min(a,b,c) $\Rightarrow a\le \frac{2}{3}$

xét $a\neq 0$

$(1-abc)\frac{abc+a^2(b+c)}{a}\le \frac{(1-abc+abc+a^2(b+c))^2}{4a}=\frac{(1+a^2(2-a))^2}{4a}$

cần CM $\frac{(1+a^2(2-a))^2}{4a}\le 1\Rightarrow (a-1)^2(a^2-3a+1)(a^2+a+1)\le 0$

vì $a\le \frac{2}{3}\Rightarrow a^2-3a+1\le 0$

Bất đẳng thức cuối có vẻ bị sai rồi 

Giải phương trình $\sqrt[3]{x^4+x+1}-\sqrt[3]{x^4-2x^2-x-1}-\sqrt[3]{2x^2+2x+1}=1$

câu ở topic khác với câu này

2)Đặt $\sqrt{x^{2}-x+1}=a; \sqrt{x-2}=b$

PT trở thành $a(a^{2}-5b^{2})=2b(a^{2}-3b^{2})$

Đưa về PT bậc 3 rồi giải như bình thường

1)Đặt $\sqrt{3x^{2}+4}= a$

PT trở thành $a^{2}+2x^{2}+6x=3a(x+1)$

$\Leftrightarrow (a-2x)(a-x-3)=0$

Đến đây dễ rồi

sr bn mình sửa lại rồi đó

Nhờ bạn giải ra giúp mik dc ko ạ.

a,b nguyên tố $\Rightarrow a,b\geq 2$

$\Rightarrow a^{b^{2}}+1\geq 3\Rightarrow a^{b^{2}}+1$ lẻ

Nếu a lẻ$\Rightarrow a^{b^{2}}+1\vdots 2$(loại)

$\Rightarrow a=2$

$\Rightarrow 2^{b^{2}}+1$ là số nguyên tố

Nếu b không chia hết cho 3 $\Rightarrow b^{2}\equiv 1(mod3)\Rightarrow b^{2}=3k+1$($k\geq 1$;k nguyên)

$\Rightarrow 2^{3k+1}$ là số nguyên tố

Nếu b không chia hết cho 2$\Rightarrow b^{2}=4k+1$

$\Rightarrow 2^{b^{2}}=2^{4k+1}\equiv 4^{2k}\cdot 2\equiv -1(mod3)\Rightarrow 2^{b^{2}}+1\vdots 3$(loại)

=>b=2

bài này phải ở trong box số học chứ nhỉ

Ta có $2^{4}\equiv 1(mod15)$

$\Rightarrow 2^{3}\cdot 2\equiv 1(mod15)$

$\Leftrightarrow (2^{3}\cdot 2)^{2024}\equiv 1(mod15)$

mà $2^{2024}\equiv 1(mod15)$

$\Rightarrow 2^{3^{2024}}\equiv 1(mod15)$

Áp dụng module nếu thấy cồng kềnh có thể đưa về đồng dư với 1 hay -1

Cho x,y,z dương thoả x+y+z=3

CMR $\sum \frac{1}{x+yz}\leq \frac{9}{2(xy+yz+zx)}$

Cho p và q là 2 số nguyên tố. CMR có không quá 2 cách viết tích pq thành tổng của 2 số chính phương

G/s $4n^{3}+2n-1$ là số chính phương

Ta có: $4n^{3}+2n-1\equiv n^{3}-n-1(mod 3)$

mà $n^{3}-n=(n-1)n(n+1)\vdots 3$

$\Rightarrow n^{3}-n-1\equiv 2(mod 3)\Leftrightarrow 4n^{3}+2n-1\equiv 2(mod3)$(vô lý)

Câu 1: 

Đặt $\frac{n^2-1}{3}=k(k+1)$

$\Leftrightarrow n^{2}=3k^{2}+3k+1$

$\Leftrightarrow 4n^{2}-1=12k^{2}+12k+3$

$\Leftrightarrow (2n-1)(2n+1)=3(2k+1)^{2}$

Chứng minh được (2n-1,2n+1)=1

Ta xét 2 trường hợp:

TH1: $\left\{\begin{matrix} 2n-1=3p^{2} & \\ 2n+1=q^{2} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow q^{2}=3p^{2}+2$ (loại)

TH2: $\left\{\begin{matrix} 2n-1=p^{2} & \\ 2n+1=3q^{3} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow 2n=(2a+1)^{2}+1\Rightarrow n^{2}=a^{2}+(a+1)^{2}$

Bài toán được chứng minh.

Câu 4 mình không thấy a nhưng vẫn giải nhé

Xét b=0

$\Rightarrow 2^{3}+3^{b}= 9$ (t/m)

Xét b>0

$\Rightarrow 3^{b}\vdots 3 \Rightarrow 2^{3}+3^{b}\equiv -1(mod3)$ (vô lý)

Vậy b=0 là kết quả của bài toán

Tìm tất cả các nghiệm (x;y;z) của phương trình $x(x^{2}+x+1)=z^{y}-1$ thoả mãn x,y là các số tự nhiên và z là số nguyên tố

Tìm các số nguyên dương x,y thoả mãn: $x^{3}-y^{3}=13(x^{2}+y^{2})$

 

Xin đóng góp cách giải của mình cho câu hình c. Thấy đáp án họ làm dài quá:

Ta có:

$\widehat{QBH}=\widehat{QPM}$(góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện)
$\widehat{QPM}=\widehat{QAM}$(2 góc nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{QBH}=\widehat{QAM}$

$\Rightarrow \widehat{QBC}=\widehat{QAC}$

$\Rightarrow$ Tứ giác $AQCB$ nội tiếp
Sau đó ta chứng minh $I$ là điểm cố định giống như đáp án.

 

thi hsg không cho dùng tứ giác nội tiếp nên họ giải kiểu vậy