Vậy là sau gần 2 năm đã có người đoán ra ý tưởng của mình
Mình có lời khen dành cho Mai Hoàn Hảo ... nhưng pp này vẫn có hạn chế , đó là nếu biểu thức bên phải là phân số hoặc hệ số là phân số thì ta cần dùng tới 2 thuật toán nữa để giải quyết
Xin dành phần đó cho bạn đọc tự nghiên cứu

Theo mình thì còn 1 vấn đề nữa, nếu như đề bài cho tổng của hàm số mũ ($2^x$, $3^x$, ... , nói chung là đưa hàm siêu việt vào) thì cách này có thể gặp trở ngại.

DÙNG CALC 100 TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA TỔNG DÃY SỐ

Mở đầu

Dùng CALC 100 có thể giải được hầu hết các bài toán trên. Các bạn làm thử nhé, sau đây là một ví dụ

Ví dụ

Tìm công thức tổng quát của $ S_n=\sum_{y=1}^{n} \frac{4y^2-12y+9}{(y+3)(y+2)(y+1)y}. $

Đặt $ S_n=\sum_{y=1}^{n} \frac{4y^2-12y+9}{(y+3)(y+2)(y+1)y}.$
Ta có
 + $ S_{100}=\sum_{y=1}^{100}\frac{4y^2-12y+9}{(y+3)(y+2)(y+1)y}=\frac{245075}{530553}; $
 + $ 245075 \times 4=980300; $
 + $ 530553\times 2=1061106. $

Suy ra
$\frac{4}{2} S_{100} =\frac{980300}{1061106}$

$\rightarrow 2S_{n} =\frac{98/03/00}{1/06/11/06}$

$\rightarrow 2S_{n} =\frac{0/98/03/00}{1/06/11/06}$

$\rightarrow 2S_{n} =\frac{(0+1)/(98-100)/3/0}{1/6/11/6}$

$\rightarrow 2S_{n} =\frac{1/-2/3/0}{1/6/11/6}$

$\rightarrow 2S_{n} =\frac{1n^3-2n^2+3n+0}{n^3+6n^2+11n+6}$

$\Rightarrow S_{n} =\frac{n^3-2n^2+3n}{2(n^3+6n^2+11n+6)}$

$\Leftrightarrow S_{n} =\frac{n^3-2n^2+3n}{2(n+1)(n+2)(n+3)}.$
 

Hạn chế

Phương pháp này chưa thể hiện rõ cách tìm số thích hợp để nhân lên. Nếu đa thức có mẫu bằng 1 thì theo kinh nghiệm ta có thể nhân thêm cho các ước của (bậc+1)!, tối đa là nhân với (bậc+1)!. Nhưng nếu là phân thức thì... cần có những nghiên cứu tiếp theo.

Phiên bản tiếng Anh của bài viết đã được đăng lên https://math.stackex...2323211#2323211

Bạn ơi, bạn có đề thi các môn còn lại không? Mình đang rất cần đề thi môn sinh học, kì thi mtct quốc gia 2016, tại Long An   

anh ơi em co xem video hướng dẫn cua anh va thấy nó ko có phần chia da thức mà no có dư. Nếu gặp trường hợp mà ko chia hết thì phải làm sao ạ

Không chia hết thì quy về phân thức và tiếp tục CALC 100 cho tử thức là ra kết quả.

tại sao lại chọn 10 100 mà 0 chọn số khác vậy anh . mấy số đó là do mình tự chọn à hay là có quy luật gì đó

Chọn như vậy vì chúng ta làm theo định lí cơ sở của phương pháp. Vấn đề là chưa có ai nêu cách chứng minh định lí này. Nó có liên quan đến hệ đếm thập phân và sự biểu diễn các đa thức.

Mình mới tìm hiểu sâu hơn chút về chức năng solve. Mọi người cho mình hỏi đoạn này làm sao có? Mình bấm toàn ra nghiệm thập phân và mình  cũng không biết làm sao để tính ra được 2 nghiệm. Mình tìm hiểu trên internet cách tìm nghiệm thứ 2 thi vào đây.

Có thể hiểu nôm na là khi solve phương trình $x^2+1-(x+1)\sqrt{x^2-2x+3}=0$ thì máy hiện nghiệm 2,414213562 (ta gán vào A), và -0,4142135624 (ta gán vào B). Tiếp tục bấm máy A+B và AB ta lại có A+B=2 và AB= -1 nên theo Viet ta được hai nghiệm là $1\pm \sqrt{2}$.

Với tích $\left ( x-2 \right )\left ( x-10 \right )$ thì ta nhận ra lỗi trong cách mà bạn nthoangcute đã đưa ra bởi vì khi thay x=10 ta có giá trị là 0, vì thế ta cần thay x vào là một giá trị lớn hơn: 100. Thay vào ta được tích bằng 8820, chia các khoảng là $\left | 88 \right |20|$. Theo cách của bạn nthoangcute thì ta có hệ số tự do là 20, hệ số bậc 1 là 88 (vì vị trí đầu khoảng thứ 2 từ phải qua là 8 không phải 9, không có số 9). Do đó không tồn tại hệ số bậc 2 (?). Vì thế, sai sót là ở phần bạn xét số ở vị trí đầu tiên! Xin hãy tìm phương pháp hoàn thiện hơn!

Thủ thuật CALC 100 chỉ áp dụng cho đa thức có hệ số nguyên trong đoạn $[-50; +50]$ mà thôi. Bởi vì đề thi đại học thường ra như vậy nên chúng ta mới tập trung vào mảng đó. CALC 100 không phải cách phân tích tổng quát nên không áp dụng vào mọi trường hợp được

Anh ơi cho em hỏi áp dụng thủ thuật 8 ấy, em đã làm thử với một số bài thì OK, nhưng tại sao với bài này : 12x^4-10x+6y^2+y-18xy-12 thì tới phần phân tích thành nhân tử thì nó lại không ra? Anh có thể trình bày giúp em cách giải được không? Cảm ơn anh nhiều

Thủ thuật 8 chỉ áp dụng khi chắc chắn đa thức có thể phân tích thành nhân tử. Mình dùng wolframalpha vẫn không phân tích $12x^4-10x+6y^2+y-18xy-12$ thành nhân tử được

Muahahahaha =))) 
Hỏi thừa rồi anh , với nthoangcute thì còn gì là không thể nữa . Đến cách giải pt bậc 4 nghiệm căn trong căn mà anh Việt vẫn có cách nhanh hơn của em thì không còn gì để nói nữa rồi ...  
P/s : Sau này học đến tích phân em nhất định sẽ tìm ra thủ thuật đấy , ráng chờ nhé anh Mẫn Tiệp     !

Từ bậc 7 bạn nhóm kiểu gì mà đẹp vậy @@

 

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng máy tính Casio!

$4x^6  + 4x^5 + 8x^4 + 4x^3 + 5x^2 - 5x - 5 -\frac{(4x^4+4x^3+4x^2+5)^{2}}{4(x+1)^2}=0$

Mọi người giúp dùm em ạ!

 

$$4x^6  + 4x^5 + 8x^4 + 4x^3 + 5x^2 - 5x - 5 -\frac{(4x^4+4x^3+4x^2+5)^{2}}{4(x+1)^2}$$

$$=\frac{16 x^7+32 x^6+64 x^5+28 x^4-4 x^3-80 x^2-60 x-45}{4 (x+1)^2}$$

$$=\frac{(2 x^2+2 x+3)^2 (4 x^3-5)}{4 (x+1)^2}$$

...
Một số thủ thuật khác tuy không được hay nhưng khá ảo ...
VD: Tính tích phân, nguyên hàm : $$\int \dfrac{17x^3+12x+14}{(x-1)^3(x+1)^2(x^2+1)^2} dx$$
[klq nhưng hôm nay ngày 17/12/2014]
Lời giải vô cùng ngắn gọn :
$$\dfrac{17x^3+12x+14}{(x-1)^3(x+1)^2(x^2+1)^2}
=\dfrac{43}{16(x-1)^3}-\dfrac{33}{8(x-1)^2}+\dfrac{265}{64(x-1)}+\dfrac{15}{32(x+1)^2}-\dfrac{21}{64(x+1)}+\dfrac{19x^2-9x}{8(x^2+1)^2}-\dfrac{51+61x}{16(x^2+1)}$$
Vì đề thi ĐH chẳng bao giờ cho khó thế này nên mình cũng chẳng dại gì up lên ...
Nhưng khá hay đó ! Thủ thuật này có thể không cần nháp một tẹo nào cũng có thể viết được trực tiếp đáp án lên giấy biểu thức kia ...

Mình nghĩ kết quả đúng phải là

$$\dfrac{17x^3+12x+14}{(x-1)^3(x+1)^2(x^2+1)^2} =\dfrac{43}{16(x-1)^3}-\dfrac{33}{8(x-1)^2}+\dfrac{265}{64(x-1)}
+\dfrac{15}{32(x+1)^2}-\dfrac{21}{64(x+1)}+\dfrac{19x-9}{8(x^2+1)^2}-\dfrac{51+61x}{16(x^2+1)}$$
 

Muahahahaha =))) 
Hỏi thừa rồi anh , với nthoangcute thì còn gì là không thể nữa . Đến cách giải pt bậc 4 nghiệm căn trong căn mà anh Việt vẫn có cách nhanh hơn của em thì không còn gì để nói nữa rồi ...  

P/s : Sau này học đến tích phân em nhất định sẽ tìm ra thủ thuật đấy , ráng chờ nhé anh Mẫn Tiệp     !

Anh nhờ bạn anh nghiên cứu rồi, nhưng mà tạm thời chưa nghĩ ra, mới chỉ tìm được phương pháp giải trường hợp đơn giản hơn thôi, em xem email bạn Hảo gửi cho anh như sau

CALC 1000 và Đồng nhất thức

Mai Hoàn Hảo, SP Toán, K36, CTU

$$\frac{x-1}{(x-2)(x^2+4)^2}
=\frac{A}{x-2}+\frac{B_2x+C_2}{(x^2+4)^2}+\frac{B_1x+C_1}{x^2+4}$$

Ta có $A$ là giá trị của $\frac{x-1}{(x^2+4)^2}$ tại $x=2$, suy ra $A=\frac{1}{64}$

Đặt $B_2x+C_2=T_2$ và $B_1x+C_1=T_1$, khi đó
$$ \frac{x-1}{(x-2)(x^2+4)^2}
=\frac{1/64}{x-2}+\frac{T_2}{(x^2+4)^2}+\frac{T_1}{x^2+4}$$
suy ra
$$ \frac{64(x-1)-(x^2+4)^2}{x-2}=64T_2+64T_1(x^2+4) (*)$$
Cho $x=1000$ ta được $(*)$ trở thành
$$ 64T_2+64T_1. 1000004=-1002011960 $$
hay
$$ 64T_1+\frac{64T_2}{1000004}=\frac{-1002011960}{1000004}=-1002-\frac{7952}{1000004} $$
suy ra
$$ 64T_1=-1002=-1/002=-(2+x)=-x-2 $$
và
$$ 64T_2=-7952=-7/952=-(-48+8x)=-8x+48 $$
Vậy
$$ T_1=-\frac{1}{64}x-\frac{1}{32} $$
và
$$ T_2=-\frac{1}{8}x+\frac{3}{4} $$
 

Một số thủ thuật khác tuy không được hay nhưng khá ảo ...
VD: Tính tích phân, nguyên hàm : $$\int \dfrac{17x^3+12x+14}{(x-1)^3(x+1)^2(x^2+1)^2} dx$$
[klq nhưng hôm nay ngày 17/12/2014]
Lời giải vô cùng ngắn gọn :
$$\dfrac{17x^3+12x+14}{(x-1)^3(x+1)^2(x^2+1)^2}
=\dfrac{43}{16(x-1)^3}-\dfrac{33}{8(x-1)^2}+\dfrac{265}{64(x-1)}+\dfrac{15}{32(x+1)^2}-\dfrac{21}{64(x+1)}+\dfrac{19x^2-9x}{8(x^2+1)^2}-\dfrac{51+61x}{16(x^2+1)}$$
Vì đề thi ĐH chẳng bao giờ cho khó thế này nên mình cũng chẳng dại gì up lên ...
Nhưng khá hay đó ! Thủ thuật này có thể không cần nháp một tẹo nào cũng có thể viết được trực tiếp đáp án lên giấy biểu thức kia ...

Sử dụng phương pháp thặng dư hay Repeated Real Roots (ở trang http://lpsa.swarthmo...alFraction.html) thì chỉ tìm được tử thức ở các phân số có mẫu bậc 1, bậc 2 thôi. Đằng này bạn có thể nhanh chóng tìm được ở cả bậc 3 và nghiệm phức. Hay thật! Nhưng mà cụ thể làm theo thuật toán nào?

Bài tập 1
$$ x^4-10x^3+33x^2-30x+9=0. $$

Sử dụng SOLVE suy ra phương trình có 2 nghiệm thực là

$ x_1=-0.234888729 $ gán vào $A$.

$ x_2=2.072611069 $ gán vào $B$.

Nhìn hệ số của $x^3$ suy ra $-10=-2\alpha$, nên $\alpha=5$.

Mà $x_1+x_2=A+B=\alpha-\sqrt{\beta}$ nên $-0.234888729 +2.072611069=5-\sqrt{\beta}$, suy ra $\sqrt{\beta}=3.16227766$, kéo theo $\beta=10$. Tóm lại ta có $\sqrt{\beta}=\sqrt{10}$.

Nhìn hệ số của $x^2$ suy ra $33=\alpha^2-\beta+2\gamma=5^2-10+2\gamma$, nên $\gamma=9$.

Mà $x_1.x_2=A.B=\gamma-\sqrt{\delta}$ nên $(-0.234888729). 2.072611069=9-\sqrt{\delta}$, suy ra $\sqrt{\delta}=9.486832981$, kéo theo $\delta=90$. Tóm lại ta có $\sqrt{\delta}=3\sqrt{10}$.

Vậy, $S=x_1+x_2=\alpha-\sqrt{\beta}=5-\sqrt{10}$ và $P=x_1.x_2=\gamma-\sqrt{\delta}=9-3\sqrt{10}$. Từ đây suy ra $S'=5+\sqrt{10}$ và $P'=9+3\sqrt{10}$.

Kết luận,
$$ x^4-10x^3+33x^2-30x+9=(x^2-Sx+P)(x^2-S'x+P')$$

$$=[x^2-(5-\sqrt{10})x+9-3\sqrt{10}].[x^2-(5+\sqrt{10})x+9+3\sqrt{10}]. $$

-------------------------------------

Bài tập 2
$$ x^4-2x^3+x^2+2x-1=0. $$

Sử dụng SOLVE suy ra phương trình có 2 nghiệm thực là

$ x_1=0.4689899435 $ gán vào $A$.

$ x_2=-0.8832035059 $ gán vào $B$.

Nhìn hệ số của $x^3$ suy ra $-2=-2\alpha$, nên $\alpha=1$.

Mà $x_1+x_2=A+B=\alpha-\sqrt{\beta}$ nên $0.4689899435-0.8832035059=1-\sqrt{\beta}$, suy ra $\sqrt{\beta}=1.414213562$, kéo theo $\beta=2$. Tóm lại ta có $\sqrt{\beta}=\sqrt{2}$.

Nhìn hệ số của $x^2$ suy ra $1=\alpha^2-\beta+2\gamma=1^2-2+2\gamma$, nên $\gamma=1$.

Mà $x_1.x_2=A.B=\gamma-\sqrt{\delta}$ nên $0.4689899435.(-0.8832035059)=1-\sqrt{\delta}$, suy ra $\sqrt{\delta}=1.414213562$, kéo theo $\delta=2$. Tóm lại ta có $\sqrt{\delta}=\sqrt{2}$.

Vậy, $S=x_1+x_2=\alpha-\sqrt{\beta}=1-\sqrt{2}$ và $P=x_1.x_2=\gamma-\sqrt{\delta}=1-\sqrt{2}$. Từ đây suy ra $S'=1+\sqrt{2}$ và $P'=1+\sqrt{2}$.

Kết luận,
$$ x^4-2x^3+x^2+2x-1=(x^2-Sx+P)(x^2-S'x+P')$$

$$=[x^2-(1-\sqrt{2})x+1-\sqrt{2}].[x^2-(1+\sqrt{2})x+1+\sqrt{2}]. $$

-------------------------------------

Bài tập 3
$$ x^4-2x^3+x-1=0. $$

Sử dụng SOLVE suy ra phương trình có 2 nghiệm thực là

$ x_1=1.866760399 $ gán vào $A$.

$ x_2=-0.8667603992 $ gán vào $B$.

Nhìn hệ số của $x^3$ suy ra $-2=-2\alpha$, nên $\alpha=1$.

Mà $x_1+x_2=A+B=\alpha-\sqrt{\beta}$ nên $1.866760399-0.8667603992=1-\sqrt{\beta}$, suy ra $\sqrt{\beta}=0$, kéo theo $\beta=0$. Tóm lại ta có $\sqrt{\beta}=0$.

Nhìn hệ số của $x^2$ suy ra $0=\alpha^2-\beta+2\gamma=1^2-0+2\gamma$, nên $\gamma=-1/2$.

Mà $x_1.x_2=A.B=\gamma-\sqrt{\delta}$ nên $1.866760399.(-0.8667603992)=-1/2-\sqrt{\delta}$, suy ra $\sqrt{\delta}=1.118033989$, kéo theo $\delta=5/4$. Tóm lại ta có $\sqrt{\delta}=\sqrt{5}/2$.

Vậy, $S=x_1+x_2=1$ và $P=x_1.x_2=\gamma-\sqrt{\delta}=-1/2-\sqrt{5}/2$. Từ đây suy ra $S'=1$ và $P'=-1/2+\sqrt{5}/2$.

Kết luận,
$$ x^4-2x^3+x-1=(x^2-Sx+P)(x^2-S'x+P')$$

$$=[x^2-x-1/2-\sqrt{5}/2].[x^2-x-1/2+\sqrt{5}/2]. $$
 

"Giải theo phương pháp đề nghị của Trần Ngọc Ánh Phương -kinhnghiemhoctap.blogspost.com " kèm theo phân vân về cách nhận biêt

những hệ số âm ở đa thức kết quả.

Chào thầy và các bạn ở VMF, mình nghĩ phương pháp dùng giá trị hàm số tại 1000 để đưa đa thức hệ số nguyên về dạng chính tắc là rất hay, phát triển mạnh mẽ trong thời gian gần đây (theo mình được biết, nó khởi đầu từ video của linhhonbatdiet trên youtube, bài viết của Trần Ngọc Ánh Phương, Bùi Thế Việt, video bài giảng của GSTT, sách của k2pi và nhiều thành viên nghiên cứu khác nữa). Song, định lý cơ sở của nó, cũng như nghi ngờ (phân vân) của thầy Chấng, vẫn chưa được chứng minh cặn kẽ. Và do đó, nếu chính xác hóa được định lý nền tảng trên, thì phương pháp này (mình gọi là CALC 1000) sẽ còn tiến xa hơn.

link die rồi anh ơi! 

link bản word 2007 vẫn còn

http://www.mediafire... T 2007 doc.zip

mình đính kèm bản pdf 2013 cho bạn rồi đó

thỉnh thoảng mình mới vào diễn đàn, có gì email cho mình nhé

Gán x=100 thì kết quả là −4179813, tách thành −4|17|98|13| ta được hệ số bậc 3 là −4, hệ số bậc 2 là −18, hệ số bậc nhất là 2, hệ số tự do là −1
__________________
Giải thích giúp mình đoạn này với, không cộng thêm 1 à bạn?

Làm từ phải sang trái chứ không phải từ trái sang phải bạn ạ.

...tách thành −4|17|98|13|

Suy ra

$$-[13 +(98-100)x +(17+1)x^2+4x^3]=-(13-2x+18x^2+4x^3)=-4x^3-18x^2+2x-13$$

còn thủ thuậ nào mới lạ nữa k anh ?

Tạm thời mình chưa nghĩ ra thêm, bạn nào có ý tưởng mới có thể nêu lên để mình tham khảo hướng nghiên cứu ấy.

mình chưa được học đến số phức nhưng lại rất hứng thú với các thủ thuật trên CASIO của bạn Bùi Thế Việt    đã tải về máy sau này học thì mở ra xem.

 

nhân tiện cho em hỏi luôn bao giờ thì mới học số phức vậy? 

Học kì 2 lớp 12 là học số phức rồi bạn ạ.

Số phức cũng không khó lắm, theo ý kiến riêng của mình thì số phức dễ lấy điểm nhất trong đề Đại học đó.

DOWNLOAD (có kèm file nguồn LaTex)

Cập nhật ngày 1735/2014

http://www.mediafire...source_17.5.zip

 dung mtct rut gon bieu thuc so phuc co source 17.5.zip   122.48K   389 Số lần tải

Mọi người ơi, cho em hỏi là phương trình  : $ x^4 + 6x^3 + 16x^2 + 22x + 15 =0 $ thì phân tích thành nhân tử như thế nào ạ? Nhờ mọi người nói rõ hướng làm. Em xin cám ơn.

Cách của các bạn rất hay, nhưng phương trình tìm $m$ còn phức tạp quá, học sinh khó nhớ lắm.

Nếu pt bậc 4 có 4 nghiệm phức thì mới rắc rối, nếu có 2 nghiệm thực thì ta chia cho $x^2-Sx+P$ dễ hơn

Các bạn có hướng tiếp cận nào khác để làm pt tìm $m$ đơn giản hơn không?

Mình thử rôi ra 256 ( với phương trình của mình ), nhưng mình chưa thấy có liên hệ gì giữa $a$ với $b$ cả.

Cái phương trình bậc 6 là sao, bạn có thể nói rõ ra hơn được không?

Hi, xin lỗi mình nói nhầm, ý mình là $a$ và $b$ trong nhân tử $(x^2+ax+b)$ mà pt bậc 4 chia hết (đã sửa lại ở post trên)

Khi đó, liên hệ giữa $\alpha$ và $\beta$ của nghiệm phức $z=\alpha+i\beta$ là: $a=-2\alpha$ và $b=\alpha^2+\beta^2$

Mà thực ra ta chỉ cần tìm ra $a,b$ trong nhân tử $(x^2+ax+b)$ thôi, không cần ra luôn nghiệm phức

Cách tìm như thế này

Thanks bạn nhé! Ý tớ là kĩ thuật dùng casio để phân tích phương trình trên thành nhân tử. Hy vọng các cao thủ sẽ ra tay để giúp em. Còn cái cách hệ số bất định là kinh điển rồi. Hi !

Còn cách 2 bạn bảo phân tích bình thường nhưng không đơn giản đâu, quan trọng là mình phải biết 1 nhân tử chung của nó..

+ Không hẳn là không có, nhưng mà... haizz

Nếu biết 1 nghiệm phức $z=\alpha+i\beta$ thì phân tích được, bởi vì

$a=-2 \alpha$

và

$b= \alpha^2+\beta^2$

có liên hệ với nhau,

bạn tính $f(i)f(-i)$ sẽ thấy

+ Cái hạn chế ở đây: 

$b$ là nghiệm của 1 phương trình bậc 6 rất khó nhớ, nên mặc dù solve 1 nghiệm là ra $b$ nhưng cách này xem ra không hiệu quả lắm.

Giải phương trình:

 $2x^{4}-3x^{2}+4x-1=0$

Giải bằng wolfram alpha ta được

2 nghiệm thực

$x_1 = -1.6906$

$x_2 = 0.32266$

2 nghiệm phức

$x_3 = 0.68395-0.66995 i$

$x_4 = 0.68395+0.66995 i$

chắc phải dùng hồi quy mới đưa về bậc hai được, hic hic.

Lấy $x_3+x_4=S$, $x_3x_4=P$ đều là số xấu, nếu nó đẹp thì chia đa thức cho $x^2-Sx+P$

Tương tự, $x_1+x_2=$, $x_1x_2$ cũng ra số xấu

Bó tay bài này rồi