Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Mr Stoke nội dung

Có 24 mục bởi Mr Stoke (Tìm giới hạn từ 12-07-2016)


Sắp theo                Sắp xếp  

#674310 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 chuyên sư phạm 2016-2017

Đã gửi bởi Mr Stoke on 15-03-2017 - 09:28 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Đây là nguyên văn đề thi, MS tạm bỏ phần hướng dẫn giải để các bạn làm.

File gửi kèm




#674309 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 chuyên sư phạm 2016-2017

Đã gửi bởi Mr Stoke on 15-03-2017 - 09:23 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Lâu lắm chưa vào diễn đàn, hôm nay thấy anh Mạnh đăng đề CSP nên vào chém tạm bài dãy vậy. Không biết đúng hay không nữa  :D  :D  :D

Ta sẽ tính được $x_{4}=7$

Theo đề bài ta có: $x_{n}x_{n-3}=x_{n-1}^{2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2} (1)$

Do đúng với mọi $n\geq 4 $

$\Rightarrow x_{n+1}x_{n-2}=x_{n}^{2}+x_{n}x_{n-1}+x_{n-1}^{2} (2)$

Lấy $ (1)-(2)$ 

$\Rightarrow x_{n+1}x_{n-2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2}=x_{n-1}x_{n}+x_{n-3}x_{n}+x_{n}^{2}$

$\Rightarrow \frac{x_{n}}{x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}}=\frac{x_{n-2}}{x_{n}+x_{n-1}+x_{n-3}}$ đúng với mọi $n\geq 4 $

$\Rightarrow \frac{x_{n}}{x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}}=\frac{x_{n-2}}{x_{n}+x_{n-1}+x_{n-3}}=...=\frac{x_{2}}{x_{4}+x_{3}+x_{1}}=\frac{1}{7+3+1}=\frac{1}{11}$

$\Rightarrow 11x_{n}=x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}$

Do $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ nguyên.

Theo quy nạp $\Rightarrow x_{n}\in Z$ $\forall n\geq 4$.

$\Rightarrow Q.E.D$ 

 

Lời giải này sai hoàn toàn.




#666155 Tổng hợp đề thi chuyển hệ học kỳ I lớp 10 CSP

Đã gửi bởi Mr Stoke on 29-12-2016 - 14:23 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Tặng các bạn cái này

File gửi kèm




#664468 Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi VMO tỉnh Đồng Nai

Đã gửi bởi Mr Stoke on 12-12-2016 - 17:21 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Đề bài 5 là $x^3-35y^3+1$ có đúng không hay $x^2-35y^2+1$ vậy em? Hoăc $x,y$ có điều kiện gì không? Nếu đề như thế chọn $x=-1,y=0$ thì còn gì để làm nhỉ? 




#622695 Việt Nam TST 2016 - Thảo luận đề thi

Đã gửi bởi Mr Stoke on 26-03-2016 - 11:39 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

Đáp số của bài toán 1:

 

(a) Nếu $n=1$ thì $a=t$ với $t\ge3$ nguyên tuỳ ý. 

 

(b) Nếu $n=2$ thì $a=2^t-1$ với $t\ge2$ nguyên tuỳ ý. 

 

(c) Nếu $n\ge3$ thì $a=t\ge3$ nguyên tuỳ ý và $n=3^k$ với $k=1,2,\ldots,2016$.




#622471 Việt Nam TST 2016 - Thảo luận đề thi

Đã gửi bởi Mr Stoke on 25-03-2016 - 06:04 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

Bài 1 nếu đã sử dụng định lý Bang-Zsigmondy thì lời giải viết ra chắc không quá 1 hoặc 2 dòng. Vì vậy cách làm của bạn Ego tối đa thì cũng chỉ được 1/7 điểm.




#558663 ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM 2015

Đã gửi bởi Mr Stoke on 10-05-2015 - 20:49 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Đề này nhạt quá nhỉ, thấy mỗi 2 bài hình là hay.




#527724 Đề thi chọn đội tuyển toán THPT chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội năm học...

Đã gửi bởi Mr Stoke on 08-10-2014 - 07:26 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Đây là nguyên văn đề thi, MS bỏ phần đáp án để các bạn học sinh tự làm sẽ thú vị hơn

File gửi kèm




#504706 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN Đại Học Sư Phạm Hà Nội năm 2014

Đã gửi bởi Mr Stoke on 07-06-2014 - 13:15 trong Tài liệu - Đề thi

Gửi tặng các bạn hướng dẫn giải toàn bộ các bài toán

File gửi kèm




#484871 Đề thi học sinh giỏi toán lớp 10 THPT Chuyên ĐHSP HN

Đã gửi bởi Mr Stoke on 26-02-2014 - 06:14 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Thày giáo làm nhanh quá các trò theo không kịp này :D. Đây là file đề thi, ms bỏ phần đáp án, các bạn tự giải sẽ thú vị hơn.




#459383 Đề chọn đội tuyển thi Quốc Gia Khối chuyên ĐHSP 2013-2014

Đã gửi bởi Mr Stoke on 23-10-2013 - 08:53 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài hệ có một biến thể đẹp mắt: Cho $x,y$ là các số thực mà $x^2+xy+y^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $x-y+x^2y$. Xem ra bài này không dễ nếu không dùng lượng giác.




#459189 Đề chọn đội tuyển thi Quốc Gia Khối chuyên ĐHSP 2013-2014

Đã gửi bởi Mr Stoke on 22-10-2013 - 10:46 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Trong các lời giải bài hệ phương trình hiện tại chỉ có bạn mathforlife làm đúng.




#431984 $f\left (f(x)+\dfrac{a}{f(x)} \right...

Đã gửi bởi Mr Stoke on 01-07-2013 - 09:27 trong Các bài toán và vấn đề về PT - HPT - BPT

Tìm tất cả các số thực dương $a$ và $b$ sao cho tồn tại hàm số $f$  thỏa mãn:

 $$f\left (f(x)+\dfrac{a}{f(x)}  \right )=x+b, \forall x  > 0$$

 

Khi đã nói đến hàm số, ta cần biết tập xác định và tập giá trị. Đề bài chưa nói rõ điều đó, vì vậy không ai quân tâm giải cũng phải.




#428898 tồn tại bộ ba đôi một phân biệt $a,b,c$ nguyên lớn hơn $M...

Đã gửi bởi Mr Stoke on 19-06-2013 - 14:24 trong Số học

Em làm đúng rồi, bây giờ ta thây đổi chút xíu: thêm điều kiện $a,b,c$ đôi một nguyên tố cùng nhau. Kết quả sẽ thế nào. Dĩ nhiên lúc này cách làm trên không còn hiệu lực nữa.




#425267 Đề tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán PTNK 2013 - 2014

Đã gửi bởi Mr Stoke on 08-06-2013 - 23:52 trong Tài liệu - Đề thi

Câu 2:

$ \cdot 1$ Giả dụ $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a) = 8abc$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{ab}{(a+b)(b+c)} + \dfrac{bc}{(b+c)(c+a)} + \dfrac{ca}{(c+a)(a+b)}$$.

 

Từ từ đã nào, nhiều bạn ở trên bảo làm bằng biến đổi tương đương? Bạn nào thử kiểm tra lại xem đã post chính xác bài 2 câu a chưa? Nếu bài toán chỉ như trên thì đề toán này sai. Các bạn có thể lấy ví dụ $a=-1$, $b=2$ và $c$ là nghiệm thực (và do đó là số vô tỷ) của phương trình $c^2+17c=2$. Nếu $a,b,c$ thỏa mãn đẳng thức thì $16c^2+2c-5=0$, mâu thuẫn vì cả hai nghiệm phương trình này đều là số hữu tỷ. Vậy là sao đây ? :icon10:




#424981 Đề thi tuyển sinh chuyên Sư phạm vòng 2 năm 2013

Đã gửi bởi Mr Stoke on 08-06-2013 - 07:21 trong Tài liệu - Đề thi

câu 6 làm kiểu gì 

 

Bài 6:  Mỗi số dư của $n$ cho $k$ thuộc tập $\{0,1,\ldots,k-1\}$. Ta có $\sum\limits_{i=1}^{11}\left(a_i-1\right)+\sum\limits_{i=1}^{11}\left(4a_i-1\right)=2013$, do đó $n\equiv -1\pmod{a_i,4a_i}$ trừ ra một chỉ số $i$ nào đó mà $n\equiv-2\pmod{a_i}$ hoặc $n\equiv-2\pmod{4a_i}$. Do đó tồn tại chỉ số $i$ mà $n\equiv-1\pmod{a_i}$ và $n\equiv-2\pmod{4a_i}$ hoặc $n\equiv-1\pmod{4a_i}$ và $n\equiv-2\pmod{a_i}$. Trong cả hai trường hợp ta đều suy ra $a_i\mid 1$, mâu thuẫn. 

 

Nhận xét kĩ hơn:

Bài 1: nếu phản chứng $abc\neq0$ thì lời giải sẽ gọn nhất, không dễ bị mất trường hợp. Trong phòng thi hầu hết các bạn làm dài, và sai lầm ở đoạn:  $a^2+b^2-ab\geq ab$ sau đó nhân các bất đẳng thức vào. (vế sau có thể âm)

 

Bài 2: Đưa về phương trình đồng bậc, đặt $t=\dfrac xy$ với chú ý $t\in\mathbb Q$ suy ra $t=2$. MS quan sát thấy rất nhiều bạn làm bài này rất dài dòng.

 

Bài 3 ngoài cách làm bạn nguyenta98, có thể làm tương tự, nhưng gọn hơn, đó là xét $p_{n+1}=p, p-2,p-4,\ldots$. Cách làm của bạn Vietquang98 sai.

 

Bài 5: Xét tính chẵn lẻ là xong. Phía trên có 1 bạn làm đúng theo cách đó. Hai bài 5,6 dễ nghĩ hơn bài 3 nhưng nhiều bạn lao vào làm bài 3 trước, kết quả đa số bỏ các bài này.

 

 

MS nghĩ đề này bài 3 là bài khó nhất của đề thi, nên bên cạnh độ khó không hợp lý (đề này khó và dài với học sinh THCS) thì cách sắp xếp các câu trong đề thi không hợp lý. Hầu hết các bài toán ở đây đều là các bài thi HSG các nước (ví dụ câu 1, 3, 4a,6). 




#420852 Tìm số nguyên tố - $\frac{(p_1...p_n)^2-1}{(p_1-1)^...

Đã gửi bởi Mr Stoke on 24-05-2013 - 23:41 trong Các bài toán và vấn đề về Số học

Một nhận xét cuối cùng: Nếu ta thay bài toán trên bằng bài toán: Xác định tất cả các số nguyên dương $n$ và các số nguyên tố $p_1,\ldots,p_n$ thỏa mãn

$\frac{(p_1\cdots p_n)^2+1}{(p_1-1)^2\cdots(p_n-1)^2}$ là số nguyên

thì bài toán này đơn giản hơn nhiều. MS để lại như là bài tập.




#420847 Tìm số nguyên tố - $\frac{(p_1...p_n)^2-1}{(p_1-1)^...

Đã gửi bởi Mr Stoke on 24-05-2013 - 23:30 trong Các bài toán và vấn đề về Số học

Tất nhiên bài toán trên không phải do MS sáng tác rồi, bây giờ thật khó mà tìm ra được một bài toán do mình sáng tác mà lại chưa từng có ai đặt ra trước đây. Lời giải ở đây rất hay và do MS sưu tầm được. Hy vọng đây là vấn đề lý thú, bên cạnh việc đi giải quyết các bài toán mà đôi khi nó đã thành lối mòn.

 

Ta tiếp tục ... Chúng ta sẽ cần thêm một số kết quả quen thuộc (nhưng không hề dễ) nữa

 

Bổ đề 4. Cho $t\geq2$ là số nguyên và $p_j$ là số nguyên tố thứ $j$ trong cấp số cộng $2^ts+1$ với $s=1,2,\ldots$. Khi đó với mọi $j\geq2^t$ thì $p_j\geq 2^{t-2}j\log j+1$. Kết quả vẫn đúng nếu ta thay bằng cấp số cộng $2^ts-1$.

 

Bổ đề 5. Ta kí hiệu $(X_k,Y_k)$ là dãy nghiệm của phương trình Pell ở trên. Khi đó mọi $k\geq8$ và $k\neq12$ thì tập các ước nguyên tố $p$ của $Y_k$ mà $p\nmid Y_j$ với mọi $1\leq j<k$ là khác rỗng (mỗi phần tử của tập này được gọi là một ước nguyên tố nguyên thủy) và hơn thế những ước nguyên tố đó hoặc là ước của $d$ hoặc đồng dư với $\pm1$ theo modulo $k$.

 

Bây giờ ta sẽ tiếp tục với Trường hợp 2 ở đó $t\geq2$.  Đầu tiên ta sẽ chứng minh rằng mọi ước nguyên tố $p$ của $X_m$ là ước nguyên tố nguyên thủy của $Y_{2^{t+1}s}$ trong đó $s$ là một ước của $m_1$. Tuy nhiên điều này không khó lắm và chỉ cần sử dụng nhận xét $Y_{2m}=X_mY_m$ với lưu ý $(X_m,Y_m)=1$ .

 

Áp dụng bổ đề 5, ta có $p_i\equiv \pm1\pmod{2^{t+1}}$ (do $(X_m,d)=1$). Giả sử $q_1<q_2<\cdots$ là tập tất cả các số  nguyên tố trong cấp số cộng $2^{t+1}s-1$. Nếu $j<2^{t+1}$ thì hiển nhiên $q_j\geq 2^{t+1}j-1$. Nếu $j\geq2 ^{t+1}$, sử dụng Bổ đề 4 cho ta $q_j\geq 2^{t-1}j\log j+1$. Do đó

$\sum\limits_{j=1}^n\frac1{q_j-1}\leq \sum\limits_{j=1}^{2^{t+1}-1}\frac1{2^{t+1}j-2}+\frac1{2^{t-1}}\sum\limits_{j=2^{t+1}}^n\frac1{j\log j}<\frac1{2^{t+1}-2}+\int_1^{2^{t+1}-1}\frac{dx}{2^{t+1}x-2}+\frac1{2^{t-1}}\int_{2^{t+1}-1}^n\frac{dx}{x\log x}<\frac1{2^{t+1}-2}+\frac{\log(2^{t+1}+1)}{2^{t+1}}+\frac{\log\log n}{2^{t-1}}$.

 

Hoàn toàn tương tự, cho cấp số cộng $2^{t+1}s+1$, nếu ta kí hiệu $r_1<r_2<\cdots$ là tập các số hạng nguyên tố của nó, thì cũng có đánh giá

$\sum\limits_{j=1}^n\frac1{r_j-1}<\frac1{2^{t+1}}+\frac{\log(2^{t+1})}{2^{t+1}}+\frac{\log\log n}{2^{t-1}}$.

 

Do đó

 

$\sum\limits_{j=1}^n\frac1{p_j-1}<\sum\limits_{j=1}^n\frac1{q_j-1}+\sum\limits_{j=1}^n\frac1{r_j-1}<\frac1{2^{t+1}-2}+\frac1{2^{t+1}}+\frac{(t+1)\log2}{2^t}+\frac{\log\log n}{2^{t-2}}$.

 

Một lần nữa ta có

$\log \sqrt d<\frac1{2^{t+1}-2}+\frac1{2^{t+1}}+\frac{(t+1)\log2}{2^t}+\frac{\log\log\left(t+\frac3{\log2}\sqrt d\cdot\log d\right)}{2^{t-2}}$.

 

Lưu ý rằng với $d\geq2$ cố định, thì vế phải là hàm số theo $t$ và giảm $t\geq2$. Do đó đánh giá trên, vế bên phải thay bằng $t=2$, rồi từ đó suy ra $d\leq 161$.

 

Tổng kết hai trường hợp cho ta $d\leq 161$.

 

Đến bây giờ là time cho máy tính, bằng cách thử trực tiếp các trường hợp $d$ không chính phươn, ta nhận thấy rằng $\text{ord}_2(Y_1)< 10$. Áp dụng bổ đề 2, ta có

$\frac{\log2}2\leq \log\sqrt d<\frac1{2^{t+1}-2}+\frac1{2^{t+1}}+\frac{(t+1)\log2}{2^t}+\frac{\log\log\left(t+10\right)}{2^{t-2}}$. Suy ra $t\leq 4$. Do đó $n\leq 14$. Vậy $X_m$ có tối đa $14$ ước nguyên tố nên

$\sqrt d<\dfrac{X_m}{Y_m}=\prod_{i=1}^n\left(1+\frac1{p_i-1}\right)\leq \left(1+\frac{1}{3-1}\right)\left(1+\frac{1}{5-1}\right)\cdots \left(1+\frac{1}{47-1}\right)<3.61$. Suy ra $d\leq 13$.

 

Tiếp tục sự trợ giúp của máy tính ta có $\text{ord}_2(Y_1)\leq 2$. Ta chỉ ra $t\leq1$. Thực vậy nếu $t\geq2$ thì lưu lý $p_i\equiv\pm1\pmod 8$ và đánh giá như trên lần nữa ta được mâu thuẫn như sau

$\sqrt d<\left(1+\frac{1}{7-1}\right)\left(1+\frac{1}{17-1}\right)\left(1+\frac{1}{23-1}\right)\left(1+\frac{1}{31-1}\right)\left(1+\frac{1}{41-1}\right)\left(1+\frac{1}{43-1}\right)<\sqrt2$.

 

Do đó $t\leq 1$ và $n\leq t+ord_2(Y_1)\leq 3$. Lại làm như trên cho ta

$\sqrt d<\left(1+\frac{1}{3-1}\right)\left(1+\frac{1}{5-1}\right)\left(1+\frac{1}{7-1}\right)$ hay $d\leq 3$. Do đó $d=2,3$. Ngoài ra $p_1=3,5$ vì nếu $p_1\geq7$ thì như trên cho ta $\sqrt d<\sqrt2$.  MÂU THUẪN.

 

Đến bây giờ vấn đề trở lên rõ ràng:

Với $d=2$ thì $p_1=3,5$ đều vô nghiệm.

Với $d=3$ thì hiển nhiên $p_1\neq3$. Nếu $p_1=5$ cũng vô nghiệm do $3Y_m^2\not\equiv-1\pmod5$.

 

Vậy $n=1$ thử trực tiếp cho ta $p_1=2,3$. Chứng minh kết thúc.

 

Chú giải. $Ord_2(m)$ ở đây là chỉ số mũ của $2$ trong $m$.




#420407 Tìm số nguyên tố - $\frac{(p_1...p_n)^2-1}{(p_1-1)^...

Đã gửi bởi Mr Stoke on 23-05-2013 - 07:01 trong Các bài toán và vấn đề về Số học

Có vẻ có một vài bạn bạn quan tâm đến lời giải (và hướng giải) của bài toán này, dĩ nhiên là lời giải không hề đơn giản như hình thức của bài toán. Vì MS ngại viết nên sẽ cố gắng nêu các ý chính sau đó các bạn quan tâm có thể tự hoàn thiện lời giải:

 

Ta chỉ cần xét trường hợp $n>1$: đặt $a=p_1\cdots p_n$ và $b=(p_1-1)\cdots(p_n-1)$, khi đó $a,b$ là nghiệm nguyên dương của phương trình $X^2-dY^2=1$ với $d$ là số nguyên dương nào đó. Vì vậy $d$ không là số chính phương và phương trình có dãy nghiệm là $(X_m,Y_m)$. Ta coi $a=X_m,b=Y_m$.  Vì $b$ là số chẵn nên $a$ là số lẻ. Do đó $3\leq p_1<\cdots<p_n$ (không mất tính tổng quát).

 

Trường hợp 1. Ta viết $m=2^t\cdot m_1$, đầu tiên ta đi xét trường hợp $t=0,1$. Ta sẽ chỉ ra $d\leq 161$.  Do $2^n\mid b$ nên $n\leq ord_2(b)\leq \log_2(b)=\dfrac{\log b}{\log 2}$ (ở đây ta chỉ $\log$ là loga cơ số $e$). Thành thử $n\leq \dfrac{\log Y_m}{\log2}$. Ta có bổ đề sau

 

Bổ đề 1. Nếu $m=2^t\cdot m_1$ với $t\geq0$ nguyên và $m_1$ lẻ thì $ ord_2\left(Y_m\right)=t+ ord_2\left(Y_1\right)$.

 

Bổ đề 2. $Y_1<d^{3\sqrt d}$

 

Bổ đề 3. Nếu $2=r_1<r_2<\cdots $ là tập tất cả các số nguyên tố thì $r_k>k\log k$.

 

Đây là ba bài tập MS để lại các bạn tìm hiểu. (Bổ đề 1 hoàn toàn đơn giản, nhưng Bổ đề 2,3 không đơn giản nhưng có trong nhiều giáo trình chuyên khảo về Lý thuyết số).

 

Thành thử $n<t+\frac3{\sqrt{2}}\sqrt{d}\cdot\log d$. Ta có

$\sqrt d<\frac{X_m}{Y_m}=\prod\limits_{i=1}^n\left(1+\frac{1}{p_i-1}\right)$ nên $\log{\sqrt d}<\sum\limits_{i=1}^n\log\left(1+\frac{1}{p_i-1}\right)<\sum\limits_{i=1}^n\frac1{p_i-1}$. Áp dụng Bổ đề 3 cho ta

$\sum\limits_{i=1}^n\frac1{p_i-1}\leq \frac1{3-1}+\frac1{5-1}+\int_3^{n+1}\dfrac{dx}{x\log x}<\frac34+\log\log(n+1)$. Suy ra

$\log{\sqrt d}<\frac34+\log\log\left(t+1+\frac3{\sqrt2}\sqrt d\cdot \log d\right)$. Vì $t=0,1$ nên bất đẳng thức cuối cùng cho ta $d\leq 136$.

 

(còn nữa ...)




#420405 $3+a+b^{2}\vdots 6a$

Đã gửi bởi Mr Stoke on 23-05-2013 - 06:07 trong Các bài toán và vấn đề về Số học


Hệ quả: Với $k$ nguyên dương, $k$ lẻ thì không có $x$ để $k|x^2+3$

$$**********$$

 

Cái hệ quả này của em sai, nhưng em đã giải đúng hướng sửa lại chút xíu thôi.




#418550 Tìm số nguyên tố - $\frac{(p_1...p_n)^2-1}{(p_1-1)^...

Đã gửi bởi Mr Stoke on 15-05-2013 - 14:58 trong Các bài toán và vấn đề về Số học

Đáp số của bài toán này: $n=1$ và $p_1=2,3$.




#418549 Các ước dạng $4k+1$ và $4k+3$ của $n$

Đã gửi bởi Mr Stoke on 15-05-2013 - 14:51 trong Các bài toán và vấn đề về Số học

Cách làm tinh tế hơn: Ta đặt $f(n)$ là hiệu của số các ước dương dạng $4k+1$ với số các ước dương dạng $4k+3$ của $n$. Khi đó dễ dàng chứng minh được $f$ là hàm nhân tính. Do đó bài toán quy về chứng minh cho trường hợp $n=p^m$ với $p$ là số nguyên tố và $m$ là số nguyên dương, điều mà dễ dàng kiểm chứng.




#417778 tồn tại bộ ba đôi một phân biệt $a,b,c$ nguyên lớn hơn $M...

Đã gửi bởi Mr Stoke on 11-05-2013 - 13:19 trong Số học

Bài toán này cũ rồi, nếu không nhầm là một bài thi HSG của Đức, nhưng gần đây MS mới nhận ra có thể giải nó rất đơn giản bằng kiến thức của lớp 7, các bạn cùng nghĩ nhé (cấm cấp 3 vào giải :D )

 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $M$, tồn tại bộ ba đôi một phân biệt $a,b,c$ nguyên cùng lớn hơn $M$ và $abc+1$ là ước của một trong các số $(a-b)^2$, $(b-c)^2$ hoặc $(c-a)^2$.

 

Xin mời ...

 

 




#417264 Tìm số nguyên tố - $\frac{(p_1...p_n)^2-1}{(p_1-1)^...

Đã gửi bởi Mr Stoke on 08-05-2013 - 14:04 trong Các bài toán và vấn đề về Số học

Lâu rồi MS mới viết bài trên diễn đàn, tặng các bạn yêu thích số học bài toán này:

 

Bài toán: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ và $n$ số nguyên tố $p_1,\ldots,p_n$ phân biệt thỏa mãn điều kiện

$$\frac{\left(p_1\cdots p_n\right)^2-1}{\left(p_1-1\right)^2\cdots\left(p_n-1\right)^2}\in\mathbb Z. $$

 

Hy vọng bài toán không quá tầm thường. :)