Bạn có thể tham khảo tại đây
http://en.wikipedia....square_identity
Thực tế bài toán là kết quả trực tiếp của đly lagrange ( mọi số nguyên dương đều là tổng của 4 số chính phương)
Có 316 mục bởi tuan101293 (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)
Đã gửi bởi tuan101293 on 17-10-2013 - 18:39 trong Số học
Bạn có thể tham khảo tại đây
http://en.wikipedia....square_identity
Thực tế bài toán là kết quả trực tiếp của đly lagrange ( mọi số nguyên dương đều là tổng của 4 số chính phương)
Đã gửi bởi tuan101293 on 10-10-2013 - 20:27 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Bài này ghép ghép vui phết
Nhân 2 vế với 9 và dùng bdt svac
ta có $$\frac{9ab}{a+4b+2c+2d} \le \frac{ab}{a+2c} + \frac{2ab}{2b+d}$$
$$\frac{9bc}{b+4c+2d+2a} \le \frac{2bc}{a+2c} +\frac{bc}{b+2d}$$
$$\frac{9cd}{c+4d+2a+2b} \le \frac{2cd}{b+2d} +\frac{cd}{c+2a}$$
$$\frac{9da}{d+4a+2b+2c} \le \frac{2da}{2a+c} +\frac{da}{d+2b}$$
Cộng dọc ta có $$9LHS \le a+b+c+d = 3$$
q,e,d
Đã gửi bởi tuan101293 on 10-10-2013 - 20:05 trong Phương trình hàm
Bạn ko hiểu chỗ nào ???
Lời giải bài 2:
Ký hiệu P(x,y) là thay (x,y) vào đề bài:
P(0,0) ta có $f(2) = 4$
P(0,y) ta có $ f(f(2y)) = f(2y) + 2$, từ biểu thức này thay liên tục y = 1,2,3,.... ta có $f(2n) = 2n+2$ với n dương bằng quy nạp
P(2k,-k) ta có $f(2k+2) = f(4k) +f(-2k) $ thay k =1,2,... ta tìm được nốt $f(2m) = 2m+2$ với m âm
hay ta luôn có $f(2n) = 2n+2$ với mọi n thuộc Z
Tiếp theo ta chứng minh
Nếu $a = b (mod 2)$ và $f(a) = f(b) $ thì $a = b$ (*)
Thật vậy, nếu $a = b( mod 2) $ và $f(a) = f(b)$ ta có x,y,z nguyên mà $x+2y = a, x+2z = b$
P(x,y) ta có $f(x+f(a)) = f(2x) +f(2y) = 2x+2y+4 $ (1)
P(x,z) ta có $f(x+f(b)) = f(2x) + f(2z) = 2x+2z+4$ (2)
(1),(2) suy ra $y=z$ hay $a=b$ nên (*) đúng
Bây h ta tính f(1)
TH1: f(1) lẻ, suy ra f(1)+1 chẵn và từ P(1,0) suy ra $f(1+f(1)) = 6 = f(4)$, theo (*) ta có $f(1) +1 =4$ hay f(1) = 3
TH2: f(1) chẵn hay $f(1) =2k$
P(-2k+1,k) ta có $f(-2k+1+ 2k) = -2k +6$ hay $f(1) = -2k+6$ suy ra $4k =6$ vô lý
hay f(1) =3
Cách tính f(2n+1) hoàn toàn tương tự
Tổng quát là $f(2m+1) = 2k$ thì thay P(2m-2k+1,k) cũng thấy vô lý.
Tóm lại f(x) = x+2
Ps: bài này mệt phết nhỉ @@
Đã gửi bởi tuan101293 on 05-10-2013 - 22:29 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
viet lại pt $\sqrt[3]{x-9}+(x-9) = (x-3) + (x-3)^3$
nếu ta đặt $f(x) = x^3 + x$ (f là hàm tăng) ta có $f(\sqrt[3]{x-9}) = f(x-3)$
hay $\sqrt[3]{x-9} = x-3$, mũ 3 lên phân tích ta có x=1 và $x= 4+- i\sqrt{2}$
Đã gửi bởi tuan101293 on 05-10-2013 - 21:54 trong Phương trình hàm
Bài 2:
$f(f(n-1)) \ge 1 $ suy ra $f(n+1)\ge f(n)+1$ hay f là hàm tăng và $f(n)\ge n$
$f(n+1) =f(n) +f(f(n-1)) \ge f(n)+f(n-1) \ge 2n-1$ (1)
$f(f(n-1))< f(n+1)$ suy ra $f(n-1)<n+1$ hay $f(n)\le n+1$ với mọi n (2)
(1), (2) suy ra vô lý
Đã gửi bởi tuan101293 on 05-10-2013 - 21:39 trong Số học
b nguyên tố cùng nhau với m nên tồn tại nghịch đảo mod m của b là c.
nhân $c^x$ vào pt 1, $c^y$ vào pt 2 ta có
$(ac)^x = 1 (mod m)$ và $(ac)^y = 1 (mod m)$
ac nguyên tố cùng nhau với m, nên q-cấp của ac mod m là ước của cả x và y hay $q|gcd(x,y)$
suy ra $(ac)^{gcd(x,y)} = 1$ mod m nhân lại b vào ta có dpcm
Đã gửi bởi tuan101293 on 03-10-2013 - 18:03 trong Bất đẳng thức và cực trị
$LHS = \sum \frac{x}{x(x+y+z)+yz}= \sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}=\frac{\sum x(y+z)}{\prod (x+y)} =\frac{2(xy+yz+zx)}{\prod (x+y)}=\frac{2(xy+yz+zx)(x+y+z)}{\prod (x+y)}\le \frac{9}{4}$
ngược dấu bdt nhé
Đã gửi bởi tuan101293 on 02-10-2013 - 14:31 trong IQ và Toán thông minh
1, 3 người mà 2 người bất kỳ đều bị nhọ thì cả 3 đều nhọ.
2, Nếu cô thứ 1 nói đúng suy ra cô 2 là Nhị và nói sai vào thứ 2, vô lý
suy ra cô thứ 1 nói sai, cô thứ 1 là Nhị và ngày hôm đó là 3,5,7
cô thứ 2 là Nhất, thứ 4 nói dối tức là cô ta cũng nói dối nên ngày hôm đó là thứ 3.
3, Cụ nói là: chỉ cần nhảy lên ngựa người kia và phi về đích là thắng mà.
Đã gửi bởi tuan101293 on 02-10-2013 - 14:13 trong IQ và Toán thông minh
cái này là conditional probability rõ ràng, sự kiện sau liên quan đến sự kiện trước, bạn rai_2601 nói không đúng nhé.
Cm thì có 1 bạn ở trên nói nghe 33+33=66 cũng đúng nhưng để lập luận toán học thì người ta thường dùng Bayes theorem. có 1 dòng thôi à.
trước mình học cái này cũng hơi bất ngờ. Nhuwng hài ở chỗ là ai cũng nghĩ là 50% thành ra chơi ô cửa bí mật chả ai đổi =)).
Đã gửi bởi tuan101293 on 02-10-2013 - 14:00 trong Phương trình hàm
Hoàn toàn sai nhé,
ví dụ $f(x) =\frac{x-3}{x+1} $
Đã gửi bởi tuan101293 on 02-10-2013 - 01:44 trong Giải tích
trong mục toán đại học thì bạn cứ khai triển taylor quanh lân cận 0 là ra hết mà (xài cái o(x) hay O(x)) đó
ví dụ bài 1:
$e^x-e^{-x} = (1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}) - (1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6})+o(x^3) = 2x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
$sin(x) = x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$
nên $lim = 2$
Đã gửi bởi tuan101293 on 02-10-2013 - 01:38 trong Số học
$s^{q^\alpha} =1$ mod p
suy ra cấp của s mod p là ước của $q^\alpha$ nên có dạng $q^t$
nếu $t\le \alpha -1$ thì$s^{q^t} = 1$ mod p , mũ q lên $\alpha -1-t$ lần ta có $x^{q^{\alpha-1}} = 1$ mod p vô lý nên $t=\alpha$ hay cấp =$q^\alpha$
Đã gửi bởi tuan101293 on 02-10-2013 - 01:31 trong Số học
Bài toán vẫn đúng nếu với n bất kỳ, là 1 hệ quả của định lý Cauchy Davenport.
có thể tham khảo lời giải tại đây
Đã gửi bởi tuan101293 on 02-10-2013 - 00:18 trong Số học
ký hiệu $[n\sqrt{3}] = m$ và $a={n\sqrt{3}}=n\sqrt{3}-m$
ta có $3n^2-m^2>0$ nên $3n^2\ge m^2+2$ ($m^2+1$ không chia hết cho 3)
suy ra $3n^2-m^2\ge 2$ nên $a*(n\sqrt{3}+m) \ge 2$ suy ra $a\ge \frac{2}{n\sqrt{3}+m}>\frac{1}{n\sqrt{3}}$
q.e.d
Đã gửi bởi tuan101293 on 01-10-2013 - 23:11 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Bài này là bài 1 VMO 2010
http://www.artofprob...533ba0#p2103782
ý tưởng là lấy pt trên trừ 8 pt dưới đề quy về bậc 4
Đã gửi bởi tuan101293 on 01-10-2013 - 05:31 trong Dãy số - Giới hạn
Theo em thì có lẽ bài này sai đề, với lại nếu đúng đi nữa thì số hạng thứ 5 cũng không thuộc N nên có lẽ không cần quan tâm cho mệt @@
Đã gửi bởi tuan101293 on 01-10-2013 - 04:37 trong Phương trình hàm
Câu trả lời là không tồn tại nhé:
f(f(x)) = x suy ra f là song ánh.
$x=1-(1-x)=f(f(1-x)+1)$ suy ra $f(x)=f(1-x)+1$, thay 1-x vào cái này ta có $f(1-x)=f(x)+1$ vô lý
Đã gửi bởi tuan101293 on 30-09-2013 - 00:38 trong Số học
Bài này là IranMO 1998 có lời giải trong quyển number theory structure của titu nhé
Đã gửi bởi tuan101293 on 30-09-2013 - 00:16 trong Dãy số - Giới hạn
đặt $$x_n = \frac{y_n}{z_n}$$ với $$y_1 = a, z_1 = 1$$
ta có công thức $$\frac{y_{n+1}}{z_{n+1}} = \frac{z_{n}}{y_{n}+z_{n}}$$
nên công thức truy hồi cho 2 dãy là $$y_{n+1} = z_{n} , z_{n+1} = y_{n}+z_{n}$$ hay $$y_{n+1} = z_{n}, z_{n+1} = z_{n} + z_{n-1}$$
nên $$z_{n}$$ là dãy Fibonacci và $$x_{n}$$ chính là tỷ lệ giữa 2 số Fibo liên tiếp nên dãy hội tụ và $$lim = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$
bài 2 thì tương tự
Đã gửi bởi tuan101293 on 29-09-2013 - 17:42 trong Số học
ta quy nạp mệnh đề sau: ton tại bộ (x,y,z) thoả mãn điều kiện đề bài và có 2 số chẵn, 1 số lẻ.
với n = 1 ta có $$2^2+3^2+6^2 = 7^2$$
Đã gửi bởi tuan101293 on 03-04-2012 - 15:04 trong Phương trình hàm
Đã gửi bởi tuan101293 on 03-04-2012 - 14:47 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Đã gửi bởi tuan101293 on 01-04-2012 - 21:23 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
mình không rõ đoạn này lắm, nếu $p_{n}$ là ước của $m$ thì sao ???Xét số $k$ bất kì có ước nguyên tố là $p_n$.
Nếu số $m$ là một số tốt,không chia hết cho $k$ và $m$ có ít nhất một ước nguyên tố $p_l$ với $l>n$ khi đó số $m.\frac{p_n}{p_l}<m$ và có số ước không ít hơn số ước của $m$. Dẫn đến mâu thuẫn.
Đã gửi bởi tuan101293 on 01-04-2012 - 19:03 trong Phương trình hàm
Đã gửi bởi tuan101293 on 29-02-2012 - 21:29 trong Số học
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học