Đến nội dung

anh qua nội dung

Có 23 mục bởi anh qua (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)


Sắp theo                Sắp xếp  

#666883 Cho $a, b, c $ là các số thực thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + (a+b...

Đã gửi bởi anh qua on 03-01-2017 - 23:14 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Có lẽ đề bài là 

 

Cho $a, b, c $ là các số thực thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 = 8 $. Chứng minh rằng. $|a|, |b|, |c| \leq \sqrt{6}.$

 

Giải:

 

Vì $a^2+\frac{1}{3} \left(a+b+c-b-c\right)^2\le a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 = 8$ nên $|a|\le \sqrt{6}.$

Cảm ơn bạn, đúng là mình nhấm, phải thay $\sqrt{2} = \sqrt{6}$

Ta có thể tổng quát với $n$ biến $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2 + (a_1+a_2+...a_n)^2 = n^2 - 1$ thì $|a_i| \leq \sqrt{n^2-n}$

Lời giải cho trường hợp tổng quát của mình dùng Cauchy Schwarz tương tự như của bạn vanchanh123 ở trên, 




#666742 Cho $a, b, c $ là các số thực thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + (a+b...

Đã gửi bởi anh qua on 03-01-2017 - 00:04 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Bài toán. Cho $a, b, c $ là các số thực thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 = 8 $. Chứng minh rằng. $|a|, |b|, |c| \leq \sqrt{6} $   

Nguồn: tự chế




#666662 Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a | (b-c)^2; b...

Đã gửi bởi anh qua on 02-01-2017 - 17:50 trong Số học

Bài toán. (Baltic Way Contest) Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $a | (b-c)^2; b | (c-a)^2; c | (a-b)^2$. Chứng minh rằng không tồn tại một tam giác không suy biến có độ dài 3 cạnh là $a, b, c$ 

 Tam giác suy biến là tam giác có độ dài 1 cạnh bằng tổng độ dài hai cạnh còn lại. 




#521147 Chứng minh : $a\geq \frac{(a,b).(a,c)}{(a,b,c)...

Đã gửi bởi anh qua on 25-08-2014 - 09:17 trong Số học

Chứng minh bổ đề sau : 
Cho $a,b,c\in\mathbb{Z^+}$ , khi đó ta có :$$a\geq \frac{(a,b).(a,c)}{(a,b,c)}$$

với $(a,b)$ là ước chung lớn nhất của $a,b$ và $(a,b,c)$ là ước chung lớn nhất của $a,b,c$

 

File gửi kèm




#488810 Giải phương trình. $x^2+x-1=x.e^{x^2-1}+(x^2-1).e^x$

Đã gửi bởi anh qua on 25-03-2014 - 22:34 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Toc Ngan xem lại đoạn $x < 0$ đi, $ x < -1$ thì VP < 0



#488692 Giải phương trình. $x^2+x-1=x.e^{x^2-1}+(x^2-1).e^x$

Đã gửi bởi anh qua on 25-03-2014 - 13:39 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài toán. Giải phương trình.

$x^2+x-1=x.e^{x^2-1}+(x^2-1).e^x$ 




#459790 $S_1(p)= \{ (a,b,c) \mathbb{Z}^3, p|a^2b^2+b^2c...

Đã gửi bởi anh qua on 24-10-2013 - 23:04 trong Số học

cái này là MR mà 




#454384 phương trình $x^2+y^2+z^2=7^{2^n}$ có ít nhất $1...

Đã gửi bởi anh qua on 30-09-2013 - 22:56 trong Số học

@barcavodich: đề nghị chú không nên up bài thầy mới cho lên đây.

@tuan10121993: lâu lắm mới thấy anh on :), anh là thần tượng của em trên VMF hồi cấp hai :)




#448393 Phương trình nghiệm nguyên $2^{2^n}+5=m^{7}$.

Đã gửi bởi anh qua on 07-09-2013 - 12:28 trong Số học

Ồ, anh chế vội quá, không tính đến chỗ 4k+3. Em thay cho anh thành $m^5$ nhé.



#448360 Phương trình nghiệm nguyên $2^{2^n}+5=m^{7}$.

Đã gửi bởi anh qua on 07-09-2013 - 03:08 trong Số học

Pro. Tìm các số nguyên dương $m,n$ sao cho.
$2^{2^n}+5=m^{7}$.

p.s: Chế một cách thô thiển học :v



#444797 Chứng minh tồn tại vô số n nguyên dương.

Đã gửi bởi anh qua on 22-08-2013 - 19:24 trong Số học

Bài này đúng là không biết bổ đề thì chỉ có ăn hành :D Chú học gì mấy thứ này, biết thôi chứ thi cử ngoài IMO chắc chả dùng :-j Bổ đề này anh thấy giống giống cái phân bố tập hợp trong sách của anh Tân (nhớ mài mại là thế chứ thực cũng chả nhớ nó là cái gì), thử cm bổ đề này thì anh lại nghĩ đến hàm liên tục :))

Với một số $k$ bất kì thì dĩ nhiên là $\frac{1}{a_1} \le k$, vì $\lim_{n\rightarrow +\infty }(\frac{n}{a_n})=+\infty$ nên tồn tại $n_0$ mà $\frac{n_0}{a_{n_0}} \le k < \frac{n_0+1}{a_{n_0+1}}$ từ đây suy ra đc là $\frac{n_0}{a_{n_0}} = k $

Sử dụng vào bài toán thì có thể thấy là tồn tại $n$ thỏa mãn. Nhưng thử cho $p=2,m=1$ hoặc $p=m=1$ thì thấy vế vô hạn có vẻ không đúng lắm thì phải :-?

Thực ra em làm một bài thấy cái bổ đề này hay hay nên chế lung tung thôi chứ cái này thì ở VN làm gì thi đến :v




#444099 Chứng minh tồn tại vô số n nguyên dương.

Đã gửi bởi anh qua on 19-08-2013 - 18:55 trong Số học

Anh không hiểu ý tưởng của em, em cứ trình bày ra xem nào :) 




#442109 Chứng minh tồn tại vô số n nguyên dương.

Đã gửi bởi anh qua on 11-08-2013 - 23:05 trong Số học

Hint.

Bổ đề. Cho dãy nguyên dương không giảm  $(a_{n})$ thoả mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }(\frac{a_{n}}{n})=0$. Chứng minh rằng dãy $\frac{n}{a_{n}}$ chưa tất cả các số nguyên dương.




#441645 $\sqrt{a_{n+5}}\geq a_{n-5}^2$

Đã gửi bởi anh qua on 09-08-2013 - 22:29 trong Dãy số - Giới hạn

http://www.artofprob...7647d7b#p371488




#437347 Chứng minh tồn tại vô số n nguyên dương.

Đã gửi bởi anh qua on 23-07-2013 - 09:26 trong Số học

Cho $m,p$ là một số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho.

$\frac{n}{m}=\left \lfloor \sqrt[p]{n^{p-1}}\right \rfloor+\left \lfloor \sqrt[p]{n^{p-2}} +...\sqrt[p]{n} +1 \right \rfloor$




#426447 Hình học - Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro

Đã gửi bởi anh qua on 12-06-2013 - 17:30 trong Hình học

Pro44. Cho tam giác $ABC, D$ là một điểm cố định trên cạnh $BC, P$ là điểm di động trên $AD, E,F$ là giao điểm của $AB,PB$ và đường tròn đường kính $BD; Z$ là giao của $PC$ và đường tròn đường kính $CD$. Chứng minh rằng $(EFZ)$ đi qua một điểm cố định




#420495 $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy

Đã gửi bởi anh qua on 23-05-2013 - 16:02 trong Hình học

Cho $\vartriangle ABC$ có các đường cao $AD,BE,CF$. Gọi $(X_a)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $(AEF)$ tại $A_1$ và tiếp xúc $AE,AF$. Xác định tương tự, ta có $(X_b),B_1,(X_c),C_1$.

Chứng minh rằng: $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.

Gọi $(Y_a)$ là đường tròn tiếp xúc trong với (ABC) tại $A_2$ và tiếp xúc trong với AB,AC.

Chú ý, $A$ là tâm vị tự biến $(I)$ - nội tiếp $ABC$ thành $(Y_a)$, $A_2$ là tâm vị tự biến $(Y_a)$  thành $(ABC)$.

Do đó $AA_2$ đi qua tâm vị tự biến $(I)$ thành $(ABC)$, tương tự có $ AA_2,BB_2, CC_2$ đồng quy.

Chú ý; $AA_1$ và $AA_2$ là hai đường đẳng giác

Do đó  $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.

 

Đoạn lí luận $ AA_2,BB_2, CC_2$ đồng quy có thể dùng tâm tỉ cự sẽ tường minh hơn :D 




#409384 $ {m \choose k} +{} {n \choose k...

Đã gửi bởi anh qua on 31-03-2013 - 10:23 trong Số học

Cho $n,m,k,t$ là các số nguyên dương thảo mãn $ n\geq m \geq k$ và  $ n +{} m -{} k +{} 1={} 2^t$. Chứng minh rằng.

$ {m \choose k} +{} {n \choose k}$ là số chẵn




#409379 Chứng minh $b_1b_2+b_2b_3+...+b_{n-1}.b_n+b_n.b_1 \leq...

Đã gửi bởi anh qua on 31-03-2013 - 10:13 trong Số học

Cho $a_1, a_2,..., a_n$ là các số thực dương thỏa mãn $a_1+a_2+...+ a_n=1$. Chứng minh tồn tại một hoán vị $(b_1,b_2,..,b_n)$ của n số đã cho thảo mãn.

$b_1b_2+b_2b_3+...+b_{n-1}.b_n+b_n.b_1 \leq \frac{1}{n}$




#386103 Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất sao cho phương trình $x^{12...

Đã gửi bởi anh qua on 12-01-2013 - 21:30 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình

Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất sao cho phương trình sau có nghiệm thực :
$x^{12} + 1 = 4x^4\sqrt{x^n + 1}$.



#384112 Chứng minh rằng. $AB_{1}, BA_{1},CD_{1},DC...

Đã gửi bởi anh qua on 06-01-2013 - 12:25 trong Hình học

Mình đã xem lại!
Kết quả này không đúng thật (_ _^)



#384110 $x_0=0;x_1=45;x_{n+1}=3x_n+x_{n-1}$

Đã gửi bởi anh qua on 06-01-2013 - 12:21 trong Dãy số - Giới hạn

Bài này giống với bài thi HSG QG 2011
Cho dãy số nguyên $(a_n)$ xác định bởi $a_0=1,a_1=-1$
$a_n=6a_{n-1}+5a_{n-2}$ với mọi $n\ge 2$
Chứng minh rằng $a_{2012}-2010 $ chia hết cho 2011
Cách giải là tìm CTTQ sau đó dùng định lý Fermat :)

Kiên thử giải theo cách này đối với bài của Tú xem có đk không?? :P
___
=(( Hôm qua làm cách này tốn cả buổi trưa mà không thu được gì hết.



#383834 $x_0=0;x_1=45;x_{n+1}=3x_n+x_{n-1}$

Đã gửi bởi anh qua on 05-01-2013 - 15:38 trong Dãy số - Giới hạn

Bài toán: Cho dãy số xác định bởi công thức:
$$\left\{\begin{matrix}x_0=0;x_1=45\\ x_{n+1}=3x_n+x_{n-1}\ \ \ \forall n\ge 1\end{matrix}\right.$$
Tìm số dư của $x_{2008}$ cho $2012$


Vấn đề bây giờ là tìm số dư của $x_{2008}$ cho 503.
Xét dãy $a_{n}$ thỏa mãn $a_{0}=0; a_{1}=45; a_{n+1}=3a_{n}+504.a_{n-1}$
Suy ra $a_{n} \equiv x_{n} (mod 503)$
Mà $a_{n}= 24^n-(-21)^n$
Suy ra $a_{2008}=24^{2008}-21^{2008} \equiv 0 (mod 503)$ (chú ý 2008=4.502)
Do đó $x_{n} \equiv 0 (mod 503)$. (1)
Mặt khác dãy $x_{n} (mod 4)$ tuần hoàn chu kì 6 (cái này em tính 10 giá trị mod 4đầu tiên sẽ thấy ngay).
Suy ra $x_{2008} \equiv 2 (mod 4)$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $x_{2008} \equiv 1006 (mod 2012)$.


@ Tú: Bài thầy Sâm à! (_ _^)